高等數學：第五章 定積分（3） 微積分基本公式

§5.3  微積分基本公式

一、積分上限的函數及其導數

設函數

在區間

上連續，并設

為

上的一點，考察

在部分區間

上的積分

這一特殊形式的積分有兩點應該注意：

• 因

  

  在

  

  連續，該定積分存在。此時，變量

  

  “ 身兼兩職 ”，既是積分變量，又是積分的上限。

為了明确起見，将積分變量改用其它符号如

來表示，這是因為定積分與積分變量的選取無關。上面的定積分改寫成下述形式

• 若上限

  

  在

  

  上任意變動，則對應于每一個取定

  

  ，該定積分有一個對應值。是以，它在

  

  上定義了一個新的函數， 記作

  

稱

為以積分上限為變量的函數( 簡稱變上限函數 )。

是否确有這類函數?

觀察一個例子,正态曲線

在

上的變上限函數為

它表示一個曲邊梯形的面積。運作程式gs0503.m，可分别作出

，

在

上的圖象

這表明，

确實是一個新的函數。

【定理一】如果函數

在區間

上連續， 則變上限函數

在

上具有導數，且它的導數是

證明：當上限

獲得增量

時，

在

處的函數值為

由此得函數的增量

據積分中值定理：

在

與

之間

即：

定理一表明：

是

的一個原函數。是以，我們便有下面原函數的存在性定理。

【定理二】如果函數

在區間

上連續， 則函數

就是

在

上的一個原函數。

定理二的重要意義在于：

• 肯定了連續函數的原函數的存在性。

• 揭示了定積分與原函數之間的聯系。 使得定積分的計算有可能通過原函數來實作。

二、牛頓-萊布尼茲公式

【定理三】設

在

上連續，

是

在

上的任一原函數

則   

證明：

與

均是

在

上的原函數

則 

     ( 

為常數，

  )

令 

， 

而

故

進而

即

若令

， 得：

為了友善，今後記

或

。

最後，我們提醒一句，微積分基本公式時，一定要注意條件：

是

在區間

上的原函數。

【例1】計算

 與 

解： 

注：當初阿基米德用窮竭法計算定積分

，可是費了不少功夫，可如今變得簡單多了，這得益于微積分基本公式。

【例2】設

在

内連續，且

，證明函數

在

内為單調增加函數。

證明：

由假設， 在

上

，

， 故

 ，    

，

進而，

在

上是單增的。

【例3】求極限

解：這是一個

型的不定式，可用羅必達法則來計算，分子可寫成

它是以

為上限的函數， 作為

的函數， 它可視作以

為中間變量的複合函數， 故

注明：試圖用牛頓 -- 萊布尼茲公式計算定積分的思路是不可取的。這是因為

不具有有限形式的原函數。

公元前的古希臘數學家阿基米德最先具有定積分的初步思想方法，而明确提出定積分概念卻是由牛頓(英1642 - 1727)與萊布尼茲(德1646-1716)共同完成的。 而當時的定積分理論基礎尚不嚴謹， 甚至連個嚴格的定義都沒有。直到(1826 - 1866)德國數學家黎曼給出了今天的定積分嚴格定義。

這一事實表明：一個科學概念從萌芽、誕生到成熟需要經曆很長時間。 是以，列甯稱“ 自然科學的生命是概念 ”再恰當不過了。

定積分的符号

是由萊布尼茲首先引用的。其含義是：定積分的實質是求積分和式的極限，英文中求和一詞是Sum，将S拉長變成了

。顯然，符号

從外形到含義均表達了“求和”的涵義，堪稱“形意兼備”。萊布尼茲在微積分中引用的符号系統：

彼此之間有聯系，又各自表達不同的意義，可以說十分先進。現代計算機數學軟體所采用的符号系統便是萊布尼茲所定義的，由這一點可看出先進的符号體系是重要的。

我國古代數學盡管曆史悠久，但發展緩慢，其中一個重要的原因是符号落後。象著名的“勾股定理”也僅被表述成：勾三股四弦五，即：

在計算機程式設計中，合理有效地使用符号與變量的名稱更是一個不容忽視的大問題。