高等數學：第三章 微分中值定理與導數的應用（3）泰勒公式

§3.3  泰勒公式

常用近似公式

，将複雜函數用簡單的一次多項式函數近似地表示，這是一個進步。當然這種近似表示式還較粗糙（尤其當

較大時），從下圖可看出。

上述近似表達式至少可在下述兩個方面進行改進：

1、提高近似程度，其可能的途徑是提高多項式的次數。

2、任何一種近似，應告訴它的誤差，否則，使用者“ 心中不安”。

将上述兩個想法作進一步地數學化：

對複雜函數

，想找多項式

來近似表示它。自然地，我們希望

盡可能多地反映出函數

所具有的性态 —— 如：在某點處的值與導數值；我們還關心

的形式如何确定；

近似

所産生的誤差

。

【問題一】

設

在含

的開區間内具有直到

階的導數，能否找出一個關于

的

 次多項式

近似

?

【問題二】

若問題一的解存在，其誤差

的表達式是什麼?

一、【求解問題一】

問題一的求解就是确定多項式的系數

。

……………

上述工整且有規律的求系數過程，不難歸納出：

于是， 所求的多項式為：

 (2)

二、【解決問題二】

泰勒(Tayler)中值定理

若函數

在含有

的某個開區間

内具有直到

階導數，則當

時，

可以表示成

這裡

是

與

之間的某個值。

先用倒推分析法探索證明泰勒中值定理的思路：

這表明：

隻要對函數

 及

在

與

之間反複使用

次柯西中值定理就有可能完成該定理的證明工作。

【證明】

以

與

為端點的區間

或

記為

，

。

函數

 在

上具有直至

 階的導數，

且 

函數

 在

上有直至

階的非零導數，

且 

于是，對函數

 及

 在

上反複使用

 次柯西中值定理， 有

三、幾個概念

1、

此式稱為函數

按

的幂次展開到

階的泰勒公式；

或者稱之為函數

在點

 處的

 階泰勒展開式。

當

 時， 泰勒公式變為

這正是拉格朗日中值定理的形式。 是以，我們也稱泰勒公式中的餘項。

 為拉格朗日餘項。

2、對固定的

，若

有 

此式可用作誤差界的估計。

故 

表明： 誤差

是當

時較

 高階無窮小， 這一餘項表達式稱之為皮亞諾餘項。

3、若

，則

在

 與

之間，它表示成形式  

，

泰勒公式有較簡單的形式 —— 麥克勞林公式

近似公式

誤差估計式

【例1】求

的麥克勞林公式。

解：

，

 于是 

有近似公式   

其誤差的界為 

我們有函數

的一些近似表達式。

(1)、

    (2)、

  (3)、

在matlab中再分别作出這些圖象，觀察到它們确實在逐漸逼近指數函數。

【例2】求

 的

階麥克勞林公式。

解：

它們的值依次取四個數值

。

其中：  

同樣，我們也可給出曲線

 的近似曲線如下，并用matlab作出它們的圖象。

【例3】求

的麥克勞林展開式的前四項，并給出皮亞諾餘項。

解：

于是：

利用泰勒展開式求函數的極限，可以說是求極限方法中的“終極武器”， 使用這一方法可求許多其它方法難以處理的極限。

【例4】利用泰勒展開式再求極限

。

解：

，  

【注解】

現在，我們可以徹底地說清楚下述解法的錯誤之處

因為

，進而

當

時，

，應為

【例5】利用三階泰勒公式求

的近似值， 并估計誤差。

解：

故：