高等數學：第三章 微分中值定理與導數的應用（4）函數的單調性

§3.4  函數的單調性

在

上小于零，在

上大于零。

函數的單調性是否與導函數的符号有關呢?為此，我們進一步地作圖，希望從中獲得更多的感性認識。

函數

在

上單調增加(減少)，則它的圖形是一條沿

軸正向上升(下降)的曲線， 曲線上各點處的切線之斜率均為正的(負的)，即：

  (

)

這表明：函數的單調性确實與其導數的符号有關，是以，可以利用導數的符号來判定函數的單調性。

二、函數單調性的判别法

設函數

在

上連續， 在

上可導，

，則

若在

内

，則

，進而

；

即：   函數

在

上單調增加；

若在

内

，則

，進而

，

即：   函數

在

上單調減少。

綜上讨論， 我們有如下結論：

【函數單調性判别法】

設函數

在

上連續， 在

上可導，

(1)、若在

内

， 則

在

上單調增加；

(2)、若在

内

， 則

在

上單調減少。

注明：

1、判别法中的閉區間若換成其它各種區間（包括無窮區間），結論仍成立。

2、以後把函數單調的區間稱之為函數的單調區間。

【例1】讨論函數

的單調性。

 解：函數的定義域為

， 且

當

時，

， 故函數在

上單調減少；

當

時，

， 故函數在

上單調增加。

【例2】讨論函數

的單調性。

解： 函數的定義域為

，

當

時，

，

，  故函數在

上單減；

當

時，

  ，

 ，  故函數在

上單增。

是以，可以通過求函數的一階導數其符号不确定的點，将函數的定義域分劃成若幹個部分區間，再判定函數一階導數在這些部分區間上的符号，繼而可決定函數在這些部分區間上的單調性。

【例3】試确定函數

 的單調區間。

解： 當

時，函數無定義， 故函數在

處不可導；

當

時， 導函數為

令

得：

于是， 點

将函數定義域(

 )分劃成四個區間

、

、

、

，函數在這四個區間上的單調性如下：

在

上，

，   函數

單增；

在

   上，

，  函數

單減；

在

     上，

，  函數

單減；

在

  上， 

，  函數

單增。

【例4】讨論函數

的單調性。

【結論】

一般地，如果

在某區間上的有限個點處為零， 而在其餘各點處均為正(或負)時，那麼

在該區間上仍是單調增加(或單調減少)的。

利用函數的單調性可以證明較為複雜的函數不等式。

【例5】試證明：當

時， 有

解：作輔助函數

，

，

，

當

時， 

 ， 

，

故 

，

在

上單調增加，進而有

，

而

，

于是

，

在

上也單調增加。

進而有

，

即    

。

該證明方法十分典型，對于一些較精細的函數不等式的證明可借助些法。