高等數學筆記 第一章 第一節 極限

高等數學筆記

第一章 第一節 極限

1.什麼是極限

我們先舉一個例子簡單的了解一下極限是什麼

例： an=nn+1，當n=1，2，3…時，a1，a2，a3=12，23，34…,求1是數列an=nn+1的極限。 a n = n n + 1 ， 當 n = 1 ， 2 ， 3 … 時 ， a 1 ， a 2 ， a 3 = 1 2 ， 2 3 ， 3 4 … , 求 1 是 數 列 a n = n n + 1 的 極 限 。

解： 取∀ε>0,設|an−1|=1n+1<ε。∃N=⌊1ε⌋−1，當n>N時，|an−1|=1n+1<ε, 取 ∀ ε > 0 , 設 | a n − 1 | = 1 n + 1 < ε 。 ∃ N = ⌊ 1 ε ⌋ − 1 ， 當 n > N 時 ， | a n − 1 | = 1 n + 1 < ε ,

∴limn→+∞an=1 ∴ lim n → + ∞ a n = 1

首先我們簡單的觀察一下 {an} { a n } 的規律， an=nn+1 a n = n n + 1 随着n的取值不斷的增大會越來越趨于1，這是可以先判斷出來的。我們先假設一個數 ε ε ，可以是任何一個數，這裡我強調的是一個任意性。 |an−1| | a n − 1 | 表示的是 an a n 與1之間的距離，我們先假設這個距離是小于 ε ε ,也就小于任何一個數字。然後我們再取一個數字N,設 N=⌊1ε⌋−1 N = ⌊ 1 ε ⌋ − 1 ，這個數字是肯定存在的，因為之前這就是我通過假設推出來的: (1n+1<ε⇔n>⌊1ε⌋−1) ( 1 n + 1 < ε ⇔ n > ⌊ 1 ε ⌋ − 1 ) 。也就是說隻要我的n>N了，就是 n>⌊1ε⌋−1 n > ⌊ 1 ε ⌋ − 1 ，就是 |an−1|=1n+1<ε | a n − 1 | = 1 n + 1 < ε 。應為 ε ε 是任何一個數，也就是說 an a n 與1之間的距離可以無限的接近，也就是說 limn→+∞an=1 lim n → + ∞ a n = 1 。

數列的極限可以說是一個數列的終極目标，這個數列的極限對于數列來說可以取到也可以取不到，隻要是無限的接近就可以了。

現在我們給出精确的關于數列的定義：

{an}，若∀ε>0，∃N>0,當n>N時，|an−A|<ε,稱A為{an}的極限，記為limn→+∞an=A { a n } ， 若 ∀ ε > 0 ， ∃ N > 0 , 當 n > N 時 ， | a n − A | < ε , 稱 A 為 { a n } 的 極 限 ， 記 為 lim n → + ∞ a n = A

或an→A(n→+∞) 或 a n → A ( n → + ∞ )

現在再來幾個例題加深一下了解吧：

例1：

證明：limn→+∞n2n+1=12 證 明 ： l i m n → + ∞ n 2 n + 1 = 1 2

解：∀ε>0，|n2n+1−12|=12(2n+1)<ε。 解 ： ∀ ε > 0 ， | n 2 n + 1 − 1 2 | = 1 2 ( 2 n + 1 ) < ε 。

∃N=[12(12ε−1)]，當n>N時，|n2n+1−12|<ε ∃ N = [ 1 2 ( 1 2 ε − 1 ) ] ， 當 n > N 時 ， | n 2 n + 1 − 1 2 | < ε

limn→+∞n2n+1=12 lim n → + ∞ n 2 n + 1 = 1 2

例2：

證明：limn→+∞2n2−12n2+1=1 證 明 ： l i m n → + ∞ 2 n 2 − 1 2 n 2 + 1 = 1

解：∀ε>0，|2n2−12n2+1−1|=22n2+1⩾1n2<ε。 解 ： ∀ ε > 0 ， | 2 n 2 − 1 2 n 2 + 1 − 1 | = 2 2 n 2 + 1 ⩾ 1 n 2 < ε 。

(1.這裡運用到的是放大的方法。當然也可以不要放大，放大後比較友善一些。\放大後比ε小的話，那麼原本就一定會更小了。\2.等式成立的充分必要條件是1n2<ε⇔n>1ε−−√) ( 1. 這 裡 運 用 到 的 是 放 大 的 方 法 。 當 然 也 可 以 不 要 放 大 ， 放 大 後 比 較 方 便 一 些 。 \放 大 後 比 ε 小 的 話 ， 那 麼 原 本 就 一 定 會 更 小 了 。 \2 . 等 式 成 立 的 充 分 必 要 條 件 是 1 n 2 < ε ⇔ n > 1 ε )

∃N=1ε−−√)，當n>N時，|2n2−12n2+1−1|<ε ∃ N = 1 ε ) ， 當 n > N 時 ， | 2 n 2 − 1 2 n 2 + 1 − 1 | < ε

limn→+∞2n2−12n2+1=1 l i m n → + ∞ 2 n 2 − 1 2 n 2 + 1 = 1

現在我們再看看下面的定義是否是正确的：

\left { {a_{n}}^{}\right }，若{\forall}\varepsilon >0，\exists N>0,當n{\geqslant}N時，|{a_{n}}-A|<2\varepsilon, 那麼A是數列的極限嗎？\  

  答：是的。因為2\varepsilon也是任意的小，是可以作為無限接近的标準的。\這隻是換了一個說法擺了，其實本質上是一樣的。 \left { {a_{n}}^{}\right }，若{\forall}\varepsilon >0，\exists N>0,當n{\geqslant}N時，|{a_{n}}-A|<2\varepsilon, 那麼A是數列的極限嗎？\    答：是的。因為2\varepsilon也是任意的小，是可以作為無限接近的标準的。\這隻是換了一個說法擺了，其實本質上是一樣的。

2.極限的性質

1. 唯一性

若limn→∞an=A,limn→∞an=B,則A=B 若 l i m n → ∞ a n = A , l i m n → ∞ a n = B , 則 A = B

證：(反證法)$設A{\neq}B,且A>B,取\varepsilon=\frac{A-B}{2}\

\because{lim_{n\to\infty}{a_{n}=A}}\quad\therefore{\exists}{N_1}>0,\

當n>N_1時，\|a_n-A|<\frac{A-B}{2}\Leftrightarrow\frac{A+B}{2}

2. 有界性

若limn→∞an=A,則∃M>0,使得|an|⩽M 若 l i m n → ∞ a n = A , 則 ∃ M > 0 , 使 得 | a n | ⩽ M

通俗的說，一個數列如果有極限則一定有界。但是反之不對,比如說 an=1+−1n a n = 1 + − 1 n 。

證： ε=1,∵limn→∞an=A∴∃N>0\當n>N時，|an−A|<ε=1 (下面介紹一下一個中學知識，就是三角不等式，||a|−|b||⩽|a±b|⩽||a|+|b||\（也可以寫成||a|−|b||⩽|a±b|⩽|a|+|b|）,這個式子的意思就是說： 三角形一條邊的最大值不會大于另外兩條邊的和也不會小于另外兩條邊的差) ∴||an|−|A||⩽|an−A|<1⇔|an|−|A|<1⇔|an|<1+|A| 取M=max|a1|,|a2|,|a3|…|an|,1+|A| 則∀n,有|an|⩽M ε = 1 , ∵ l i m n → ∞ a n = A ∴ ∃ N > 0 \當 n > N 時 ， | a n − A | < ε = 1   ( 下 面 介 紹 一 下 一 個 中 學 知 識 ， 就 是 三 角 不 等 式 ， | | a | − | b | | ⩽ | a ± b | ⩽ | | a | + | b | | \（ 也 可 以 寫 成 | | a | − | b | | ⩽ | a ± b | ⩽ | a | + | b | ） , 這 個 式 子 的 意 思 就 是 說 ：   三 角 形 一 條 邊 的 最 大 值 不 會 大 于 另 外 兩 條 邊 的 和 也 不 會 小 于 另 外 兩 條 邊 的 差 )   ∴ | | a n | − | A | | ⩽ | a n − A | < 1 ⇔ | a n | − | A | < 1 ⇔ | a n | < 1 + | A |   取 M = m a x | a 1 | , | a 2 | , | a 3 | … | a n | , 1 + | A |   則 ∀ n , 有 | a n | ⩽ M

3. 保号性

若limn→∞an=A>0(<0),則∃N>0,當n>N時，an>0(<0) 若 l i m n → ∞ a n = A > 0 ( < 0 ) , 則 ∃ N > 0 , 當 n > N 時 ， a n > 0 ( < 0 )

證： 設A>0,取ε=A2>0 ∵limn→∞an=A∴∃N>0,當n>N時，|an−A|<A2 ∴an>A2>0 設 A > 0 , 取 ε = A 2 > 0   ∵ l i m n → ∞ a n = A ∴ ∃ N > 0 , 當 n > N 時 ， | a n − A | < A 2   ∴ a n > A 2 > 0