2021考研數學 高等數學第四章 不定積分

文章目錄

• • 1. 背景
  • 1. 不定積分的概念與性質
  • • 1.1. 不定積分
    • 1.2. 原函數存在定理
    • 1.3. 不定積分的性質
  • 2. 不定積分基本公式
  • 3. 三種主要積分法
  • • 3.1. 第一換元積分法
    • 3.2. 第二換元積分法
    • 3.3. 分部積分法
  • 4. 三類常見可積函數積分
  • • 4.1. 有理函數
    • 4.2. 三角有理式積分
    • 4.3. 簡單無理函數積分
  • 5. 總結

1. 背景

前段時間複習完了高數第四章的内容，我參考《複習全書·基礎篇》和老師講課的内容對這一章的知識點進行了整理，形成了這篇筆記，友善在移動裝置上進行通路和後續的補充修改。

1. 不定積分的概念與性質

1.1. 不定積分

• 定義

f ( x ) f(x) f(x)的原函數的全體成為 f ( x ) f(x) f(x)的不定積分，記為 ∫ f ( x ) d x \int f(x)dx ∫f(x)dx.

如果 F ( x ) F(x) F(x)為 f ( x ) f(x) f(x)的一個原函數，則有

∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C (4.1) \int {f(x)}dx = F(x) + C \tag{4.1} ∫f(x)dx=F(x)+C(4.1)

其中 C C C為任意常數

1.2. 原函數存在定理

• 證明存在的定理

若 f ( x ) f(x) f(x)在區間 I I I上連續，則 f ( x ) f(x) f(x)在區間 I I I上一定存在原函數

• 證明不存在的定理

若 f ( x ) f(x) f(x)在區間 I I I上有第一類間斷點，則 f ( x ) f(x) f(x)在區間 I I I上沒有原函數

1.3. 不定積分的性質

( ∫ f ( x ) d x ) ′ = f ( x ) , d ( ∫ f ( x ) d x ) = f ( x ) d x (4.2) (\int {f(x)}dx)' = f(x), d (\int {f(x)}dx) = f(x)dx \tag{4.2} (∫f(x)dx)′=f(x),d(∫f(x)dx)=f(x)dx(4.2)

∫ f ′ ( x ) d x = f ( x ) + C , ∫ d f ( x ) d x = f ( x ) + C (4.3) \int {f'(x)}dx = f(x) + C, \int d{f(x)}dx = f(x) + C \tag{4.3} ∫f′(x)dx=f(x)+C,∫df(x)dx=f(x)+C(4.3)

∫ f ( x ) ± g ( x ) d x = ∫ f ( x ) d x ± ∫ g ( x ) d x (4.4) \int {f(x) \pm g(x)}dx = \int {f(x)}dx \pm \int {g(x)}dx \tag{4.4} ∫f(x)±g(x)dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx(4.4)

∫ k f ( x ) d x = k ∫ f ( x ) d x , ( k = C ) (4.5) \int k{f(x)}dx = k \int {f(x)}dx, (k = C) \tag{4.5} ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx,(k=C)(4.5)

2. 不定積分基本公式

∫ 0 d x = C (4.6) \int {0}dx = C \tag{4.6} ∫0dx=C(4.6)

∫ x a d x = 1 a + 1 x α + 1 + C , ( α ≠ − 1 ) (4.7) \int {x^a}dx = \frac{1}{a+1}x^{\alpha + 1} + C, (\alpha \ne -1) \tag{4.7} ∫xadx=a+11​xα+1+C,(α​=−1)(4.7)

∫ 1 x d x = ln ⁡ ∣ x ∣ + C (4.8) \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C \tag{4.8} ∫x1​dx=ln∣x∣+C(4.8)

∫ a x d x = a x ln ⁡ a + C , ( a > 0 , a ≠ 1 ) (4.9) \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C, (a > 0, a \ne 1) \tag{4.9} ∫axdx=lnaax​+C,(a>0,a​=1)(4.9)

∫ e x d x = e x + C (4.10) \int e^x dx = e^x + C \tag{4.10} ∫exdx=ex+C(4.10)

∫ sin ⁡ x d x = − cos ⁡ ( x ) + C (4.11) \int \sin x dx = - \cos(x) + C \tag{4.11} ∫sinxdx=−cos(x)+C(4.11)

∫ cos ⁡ ( x ) d x = sin ⁡ ( x ) + C (4.12) \int \cos(x) dx = \sin(x) + C \tag{4.12} ∫cos(x)dx=sin(x)+C(4.12)

∫ sec ⁡ 2 x d x = tan ⁡ ( x ) + C (4.13) \int \sec^2 x dx = \tan(x) + C \tag{4.13} ∫sec2xdx=tan(x)+C(4.13)

∫ csc ⁡ 2 x d x = − ctg ⁡ x + C (4.14) \int \csc^2 x dx = -\ctg x + C \tag{4.14} ∫csc2xdx=−ctgx+C(4.14)

∫ sec ⁡ x tan ⁡ x d x = sec ⁡ x + C (4.15) \int \sec x \tan x dx = \sec x + C \tag{4.15} ∫secxtanxdx=secx+C(4.15)

∫ csc ⁡ x ctg ⁡ x d x = − csc ⁡ x + C (4.16) \int \csc x \ctg x dx = - \csc x + C \tag{4.16} ∫cscxctgxdx=−cscx+C(4.16)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin ⁡ x + C (4.17) \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}dx = \arcsin x + C \tag{4.17} ∫1−x2

​1​dx=arcsinx+C(4.17)

• 證明4.17： 湊微分法

∫ 1 1 − x 2 d x = ∫ d x a 1 − ( x a ) 2 d x = ∫ d ( x a ) 1 − ( x a ) 2 d x = arcsin ⁡ x + C { \begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}dx &= \int \dfrac{dx}{a \sqrt{1 - (\dfrac{x}{a}})^2} dx \\ &= \int \frac{d (\dfrac{x}{a})}{\sqrt{1 - (\dfrac{x}{a}})^2} dx \\ &= \arcsin x + C \end{aligned} } ∫1−x2

​1​dx​=∫a1−(ax​

​)2dx​dx=∫1−(ax​

​)2d(ax​)​dx=arcsinx+C​

∫ 1 1 + x 2 d x = arctan ⁡ x + C (4.18) \int \frac{1}{{1 + x^2}}dx = \arctan x + C \tag{4.18} ∫1+x21​dx=arctanx+C(4.18)

∫ 1 a 2 + x 2 d x = 1 a arctan ⁡ x a + C (4.19) \int \frac{1}{{a^2 + x^2}}dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C \tag{4.19} ∫a2+x21​dx=a1​arctanax​+C(4.19)

∫ 1 x 2 − a 2 d x = 1 2 a ln ⁡ ∣ x − a x + a ∣ + C (4.20) \int \frac{1}{x^2 - a^2} dx = \frac{1}{2a} \ln|\frac{x-a}{x+a}| + C \tag{4.20} ∫x2−a21​dx=2a1​ln∣x+ax−a​∣+C(4.20)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln ⁡ ( x + x 2 + a 2 ) + C (4.21) \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} dx = \ln (x + \sqrt{x^2 + a^2}) + C \tag{4.21} ∫x2+a2

​1​dx=ln(x+x2+a2

​)+C(4.21)

• 證明4.21： 第二類換元法，令 x = a tan ⁡ t x = a\tan t x=atant

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ∫ a sec ⁡ 2 t a sec ⁡ t d t = ∫ sec ⁡ t d t = ln ⁡ ∣ sec ⁡ t + tan ⁡ t ∣ + C = ln ⁡ ∣ x + x 2 + a 2 ∣ − ln ⁡ a + C = ln ⁡ ∣ x + x 2 + a 2 ∣ + C { \begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} dx &= \int \frac{a\sec^2 t}{a \sec t} dt = \int \sec t dt \\ &= \ln |\sec t + \tan t| + C \\ &= \ln |x + \sqrt{x^2 + a^2}| - \ln a+ C\\ &= \ln |x + \sqrt{x^2 + a^2}| + C \end{aligned} } ∫x2+a2

​1​dx​=∫asectasec2t​dt=∫sectdt=ln∣sect+tant∣+C=ln∣x+x2+a2

​∣−lna+C=ln∣x+x2+a2

​∣+C​

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln ⁡ ∣ x + x 2 − a 2 ∣ + C (4.22) \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} dx = \ln |x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C \tag{4.22} ∫x2−a2

​1​dx=ln∣x+x2−a2

​∣+C(4.22)

• 證明4.22： 第二類換元法，令 x = a sec ⁡ t x = a\sec t x=asect

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ∫ a sec ⁡ t tan ⁡ t a tan ⁡ t d t = ∫ sec ⁡ t d t = ln ⁡ ∣ sec ⁡ t + tan ⁡ t ∣ + C = ln ⁡ ∣ x + x 2 − a 2 ∣ − ln ⁡ a + C = ln ⁡ ∣ x + x 2 − a 2 ∣ + C { \begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} dx &= \int \frac{a\sec t \tan t}{a \tan t} dt = \int \sec t dt \\ &= \ln |\sec t + \tan t| + C \\ &= \ln |x + \sqrt{x^2 - a^2}| - \ln a+ C\\ &= \ln |x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C \end{aligned} } ∫x2−a2

​1​dx​=∫atantasecttant​dt=∫sectdt=ln∣sect+tant∣+C=ln∣x+x2−a2

​∣−lna+C=ln∣x+x2−a2

​∣+C​

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ ∣ sec ⁡ x + tan ⁡ x ∣ + C (4.23) \int {\sec x} dx = \ln |\sec x + \tan x| + C \tag{4.23} ∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C(4.23)

• 證明4.23： 湊微分法

∫ sec ⁡ x d x = ∫ sec ⁡ x [ sec ⁡ x + tan ⁡ x ] sec ⁡ x + tan ⁡ x d x = ∫ sec ⁡ 2 x + sec ⁡ x tan ⁡ x sec ⁡ x + tan ⁡ x d x = ∫ d ( sec ⁡ x + tan ⁡ x ) sec ⁡ x + tan ⁡ x = ln ⁡ ∣ sec ⁡ x + tan ⁡ x ∣ + C { \begin{aligned} \int {\sec x} dx &= \int \frac{\sec x[\sec x + \tan x]}{\sec x + \tan x} dx &=& \int \frac{\sec^2 x + \sec x \tan x}{\sec x + \tan x} dx \\ &= \int \frac{d(\sec x + \tan x)}{\sec x + \tan x}\\ &= \ln |\sec x + \tan x| + C \end{aligned} } ∫secxdx​=∫secx+tanxsecx[secx+tanx]​dx=∫secx+tanxd(secx+tanx)​=ln∣secx+tanx∣+C​=∫secx+tanxsec2x+secxtanx​dx

∫ csc ⁡ x d x = − ln ⁡ ∣ csc ⁡ x + ctg ⁡ x ∣ + C (4.24) \int {\csc x} dx = -\ln |\csc x + \ctg x| + C \tag{4.24} ∫cscxdx=−ln∣cscx+ctgx∣+C(4.24)

• 證明4.24： 湊微分法

∫ csc ⁡ x d x = ∫ csc ⁡ x [ csc ⁡ x + ctg ⁡ x ] csc ⁡ x + ctg ⁡ x d x = ∫ csc ⁡ 2 x + csc ⁡ x ctg ⁡ x csc ⁡ x + ctg ⁡ x d x = ∫ d ( csc ⁡ x + ctg ⁡ x ) csc ⁡ x + ctg ⁡ x = ln ⁡ ∣ csc ⁡ x + ctg ⁡ x ∣ + C { \begin{aligned} \int {\csc x} dx &= \int \frac{\csc x[\csc x + \ctg x]}{\csc x + \ctg x} dx &=& \int \frac{\csc^2 x + \csc x \ctg x}{\csc x + \ctg x} dx \\ &= \int \frac{d(\csc x + \ctg x)}{\csc x + \ctg x}\\ &= \ln |\csc x + \ctg x| + C \end{aligned} } ∫cscxdx​=∫cscx+ctgxcscx[cscx+ctgx]​dx=∫cscx+ctgxd(cscx+ctgx)​=ln∣cscx+ctgx∣+C​=∫cscx+ctgxcsc2x+cscxctgx​dx

3. 三種主要積分法

3.1. 第一換元積分法

• 定理 設 ∫ f ( u ) d u = F ( u ) + C \int f(u) du = F(u) + C ∫f(u)du=F(u)+C, u = φ ( x ) u = \varphi(x) u=φ(x)存在連續導數，則

∫ f [ φ ( x ) ] φ ′ ( x ) d x = ∫ f [ φ ( x ) ] d φ x = F ( φ ( x ) ) + C (4.25) \int f[\varphi(x)]\varphi '(x) dx = \int f[\varphi(x)] d\varphi x = F(\varphi(x)) + C \tag{4.25} ∫f[φ(x)]φ′(x)dx=∫f[φ(x)]dφx=F(φ(x))+C(4.25)

3.2. 第二換元積分法

• 定理 設 x = φ ( x ) x = \varphi (x) x=φ(x)是單調的、可導的函數，并且 φ ′ ( t ) ≠ 0 \varphi'(t) \ne 0 φ′(t)​=0，又

∫ f [ φ ( t ) ] φ ′ ( t ) d t = F ( φ ( t ) ) + C \int f[\varphi(t)]\varphi '(t) dt = F(\varphi(t)) + C ∫f[φ(t)]φ′(t)dt=F(φ(t))+C

則

∫ f ( x ) d x = ∫ f [ φ ( t ) ] φ ′ ( t ) d t = F ( φ ( t ) ) + C = F [ φ − 1 ( x ) ] + C (4.26) \int {f(x)} dx = \int f[\varphi(t)]\varphi '(t) dt = F(\varphi(t)) + C = F[\varphi^{-1}(x)] + C \tag{4.26} ∫f(x)dx=∫f[φ(t)]φ′(t)dt=F(φ(t))+C=F[φ−1(x)]+C(4.26)

注：式中對 φ ( t ) \varphi (t) φ(t)求導的部分容易被遺漏

• 常用的三種變量代換

1. 被積函數含有 a 2 − x 2 \sqrt{a^2 - x^2} a2−x2

   ​，令 x = a sin ⁡ x x = a\sin x x=asinx（或 a cos ⁡ x a \cos x acosx).

2. 被積函數含有 x 2 + a 2 \sqrt{x^2 + a^2} x2+a2

   ​，令 x = a tan ⁡ x x = a\tan x x=atanx.

3. 被積函數含有 x 2 − a 2 \sqrt{x^2 - a^2} x2−a2

   ​，令 x = a sec ⁡ x x = a\sec x x=asecx.

3.3. 分部積分法

• 分部積分公式

∫ u d v = u v − ∫ v d u (4.27) \int u dv = uv - \int v du \tag{4.27} ∫udv=uv−∫vdu(4.27)

• 分部積分法中 u , v u,v u,v的選取

1. 把多項式以外的函數湊進微分号，因為對多項式求導若幹次後能夠将其化為常數項

∫ p n ( x ) e α x d x , ∫ p n ( x ) sin ⁡ α x d x , ∫ p n ( x ) cos ⁡ α x d x \int p_n(x)e^{\alpha x} dx, \int p_n(x)\sin \alpha x dx, \int p_n(x)\cos \alpha x dx ∫pn​(x)eαxdx,∫pn​(x)sinαxdx,∫pn​(x)cosαxdx

1. 把指數函數或三角函數湊進微分号都可以，但把指數湊進去更簡單

∫ e α x sin ⁡ β x d x , ∫ e α x cos ⁡ β x \int e^{\alpha x}\sin \beta x dx, \int e^{\alpha x}\cos \beta x ∫eαxsinβxdx,∫eαxcosβx

1. 把多項式湊進微分号，多項式以外的函數友善求導，不友善積分

∫ p n ( x ) ln ⁡ x d x , ∫ p n ( x ) arctan ⁡ x d x , ∫ p n ( x ) arcsin ⁡ x d x \int p_n(x)\ln x dx, \int p_n(x)\arctan x dx, \int p_n(x)\arcsin x dx ∫pn​(x)lnxdx,∫pn​(x)arctanxdx,∫pn​(x)arcsinxdx

4. 三類常見可積函數積分

4.1. 有理函數

• 有理函數積分 ∫ R ( x ) d x \int R(x) dx ∫R(x)dx

1. 一般方法（部分分式法）
2. 特殊方法（加項減項拆或湊微分降幂）

4.2. 三角有理式積分

• 三角有理式積分 ∫ R ( sin ⁡ x , cos ⁡ x ) d x \int R(\sin x, \cos x) dx ∫R(sinx,cosx)dx

1. 一般方法（萬能代換）令 tan ⁡ x 2 = t \tan \dfrac{x}{2} = t tan2x​=t.

∫ R ( sin ⁡ x , cos ⁡ x ) d x = ∫ R ( 2 t 1 + t 2 , 1 − t 2 1 + t 2 ) d t (4.28) \int R(\sin x, \cos x) dx = \int R(\frac{2t}{1 + t^2}, \frac{1 - t^2}{1 + t^2}) dt \tag{4.28} ∫R(sinx,cosx)dx=∫R(1+t22t​,1+t21−t2​)dt(4.28)

1. 特殊方法（三角變形，換元，分解）

• 幾種常用的換元法

1. 若 R ( − sin ⁡ x , cos ⁡ x ) = − R ( sin ⁡ x , cos ⁡ x ) R(- \sin x, \cos x) = - R(\sin x, \cos x) R(−sinx,cosx)=−R(sinx,cosx)，則令 u = cos ⁡ x u = \cos x u=cosx，或湊 d cos ⁡ x d\cos x dcosx.
2. 若 R ( sin ⁡ x , − cos ⁡ x ) = − R ( sin ⁡ x , cos ⁡ x ) R(\sin x, - \cos x) = - R(\sin x, \cos x) R(sinx,−cosx)=−R(sinx,cosx)，則令 u = sin ⁡ x u = \sin x u=sinx，或湊 d sin ⁡ x d\sin x dsinx.
3. 若 R ( − sin ⁡ x , − cos ⁡ x ) = R ( sin ⁡ x , cos ⁡ x ) R(- \sin x, - \cos x) = R(\sin x, \cos x) R(−sinx,−cosx)=R(sinx,cosx)，則令 u = tan ⁡ x u = \tan x u=tanx，或湊 d tan ⁡ x d\tan x dtanx.

4.3. 簡單無理函數積分

• 簡單無理函數積分 $

  \int R(x, \sqrt[n]{\dfrac{ax + b}{cx + d}}) dx$

令 a x + b c x + d n = t \sqrt[n]{\dfrac{ax + b}{cx + d}} = t ncx+dax+b​

​=t，将其轉化為有理函數積分進行計算

5. 總結

• 兩個概念
  • 原函數
  • 不定積分
• 三種方法
  • 第一類換元法
  • 第二類換元法
  • 分部積分法
• 三種形式
  • 有理函數
  • 三角有理式
  • 簡單無理函數