有關拉格朗日反演的擴充形式的證明

已 知 g ( f ( x ) ) = x 求 證 : [ x n ] h ( g ( x ) ) = 1 n [ x − 1 ] h ′ ( x ) f n ( x ) 已知g(f(x))=x \\求證:[x^{n}]h(g(x))=\frac1n[x^{-1}]\frac{h'(x)}{f^n(x)} 已知g(f(x))=x求證:[xn]h(g(x))=n1​[x−1]fn(x)h′(x)​

證明如下：

令 A ( x ) = h ( g ( x ) ) ， i 次 項 系 數 為 a i 令A(x)=h(g(x))，i次項系數為a_i 令A(x)=h(g(x))，i次項系數為ai​

h ( x ) = h ( g ( f ( x ) ) ) = A ( f ( x ) ) = ∑ i > 0 a i f i ( x ) h(x)=h(g(f(x)))=A(f(x))=\sum_{i>0}a_if^i(x)\\ h(x)=h(g(f(x)))=A(f(x))=i>0∑​ai​fi(x)

求 導 : h ′ ( x ) = ∑ i > 0 i a i f i − 1 ( x ) f ′ ( x ) 求導:h'(x)=\sum_{i>0}ia_if^{i-1}(x)f'(x)\\ 求導:h′(x)=i>0∑​iai​fi−1(x)f′(x)

兩 邊 同 除 以 f n ( x ) : h ′ ( x ) f n ( x ) = ∑ i > 0 且 i ≠ n i a i i − n ( f i − n ( x ) ) ′ + n a n f ′ ( x ) f ( x ) 兩邊同除以f^n(x):\frac{h'(x)}{f^n(x)}=\sum_{i>0且i\neq n}\frac{ia_i}{i-n}(f^{i-n}(x))'+na_n\frac{f'(x)}{f(x)} 兩邊同除以fn(x):fn(x)h′(x)​=i>0且i​=n∑​i−niai​​(fi−n(x))′+nan​f(x)f′(x)​

取 − 1 次 項 ， 因 為 多 項 式 的 導 數 − 1 次 項 為 0 ， ∴ [ x − 1 ] h ′ ( x ) f n ( x ) = [ x − 1 ] n a n f ′ ( x ) f ( x ) 取-1次項，因為多項式的導數-1次項為0，\\\therefore [x^{-1}]\frac{h'(x)}{f^n(x)}=[x^{-1}]na_n\frac{f'(x)}{f(x)} 取−1次項，因為多項式的導數−1次項為0，∴[x−1]fn(x)h′(x)​=[x−1]nan​f(x)f′(x)​

f ′ ( x ) f ( x ) = f 1 + 2 f 2 x + 3 f 3 x 2 + … f 1 x + f 2 x 2 + f 3 x 3 + … \frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{f_1+2f_2x+3f_3x^2+\dots}{f_1x+f_2x^2+f_3x^3+\dots} f(x)f′(x)​=f1​x+f2​x2+f3​x3+…f1​+2f2​x+3f3​x2+…​

f ′ ( x ) f ( x ) = f 1 + 2 f 2 x + 3 f 3 x 2 + … f 1 x × 1 1 + ( f 2 f 1 x + f 3 f 1 x 2 + …   ) \frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{f_1+2f_2x+3f_3x^2+\dots}{f_1x}\times\frac{1}{1+(\frac{f_2}{f_1}x+\frac{f_3}{f_1}x^2+\dots)} f(x)f′(x)​=f1​xf1​+2f2​x+3f3​x2+…​×1+(f1​f2​​x+f1​f3​​x2+…)1​

左 邊 最 低 次 − 1 次 系 數 為 1 ， 右 邊 最 低 次 0 次 系 數 為 1 ， ∴ [ x − 1 ] f ′ ( x ) f ( x ) = 1 左邊最低次-1次系數為1，右邊最低次0次系數為1，\therefore [x^{-1}]\frac{f'(x)}{f(x)}=1 左邊最低次−1次系數為1，右邊最低次0次系數為1，∴[x−1]f(x)f′(x)​=1

∴ [ x − 1 ] h ′ ( x ) f n ( x ) = n a n ， a n = 1 n [ x − 1 ] h ′ ( x ) f n ( x ) ∴ [ x n ] h ( g ( x ) ) = 1 n [ x − 1 ] h ′ ( x ) f n ( x ) \therefore [x^{-1}]\frac{h'(x)}{f^n(x)}=na_n，a_n=\frac1n[x^{-1}]\frac{h'(x)}{f^n(x)}\\ \therefore [x^{n}]h(g(x))=\frac1n[x^{-1}]\frac{h'(x)}{f^n(x)} ∴[x−1]fn(x)h′(x)​=nan​，an​=n1​[x−1]fn(x)h′(x)​∴[xn]h(g(x))=n1​[x−1]fn(x)h′(x)​

終于得證了，撒花~