擴充
來自一位學長：
傅裡葉級數選擇三角函數集，隻是因為三角函數集一類特殊的正交函數集，其實還有很多其他的正交函數集。以下是學長附的圖（我也沒太看懂）：
其實，我們完全可以用其他的完備正交函數集來拟合給定區間的給定函數，不過大學隻涉及到三角函數。而且，我們關心的隻是給定區間内的情況，區間外是不關心的，用三角函數作為正交基帶來的副作用是：在給定區間外，三角級數把給定區間内的函數圖像周期性地重複下去
除了我上面拍的這些，貝塞爾函數，勒讓德多項式，切比雪夫多項式，拉蓋爾多項式，埃爾米特多項式……都是給定區間上的正交函數集，不要把目光局限在三角函數上。而三角函數集，這是這些正交函數集中一個普通的例子。
我們意識到：重點不是周期性（周期性是采用具有周期性的正交函數集引入的副作用），已經隐隐的要發現正交性的作用了。
問題
問：能展開為傅裡葉級數的函數必須是周期函數嗎？
答：
厘清Fourier級數與Fourier變換之間的差別。
對于定義域為負無窮到正無窮的函數，隻有周期函數才能展開成Fourier級數。Fourier級數可以看成是Fourier變換的一種離散的形式。對于定義域為負無窮到正無窮的非周期函數，其經過Fourier變換後頻譜是連續譜，而隻有周期函數其頻譜才是離散譜，這相當于周期函數隻是由可列個諧波疊加而成的，而不需要其它頻率的正弦波。是以，當定義域是負無窮到正無窮的時候，隻有周期函數才能展開成傅裡葉級數的形式。
但是，通常我們研究的實際問題的定義域一般是有限長度的，對于這種問題，我們可以對其進行周期延拓，将有限長度上的函數延拓成定義域為負無窮到正無窮的周期函數。經過延拓之後的函數，是可以展開成Fourier級數的。
參考資料：
百度知道：能展開為傅裡葉級數的函數必須是周期函數嗎
追問：求解系數的時候并沒有用到周期，那待展開為傅裡葉級數的函數不是可以沒有周期嗎？
答：求解過程如下：
此求解過程中an, bn隻用到了一個周期的資料，是以，如果該函數沒有周期，那麼，求出來的系數在其他區間可能不成立。