高等數學 · 第一章 函數

• • 第一節 實數
  • • 一、實數的定義
    • 二、區間和領域
    • • 區間
      • 鄰域
    • 三、絕對值
    • • 例題
  • 第二節 函數的定義及其表示法
  • • 一、常量與變量
    • 二、函數的定義
    • • 函數的定義域
      • 參考例題
  • 第三節 函數的幾種特性
  • 第四節 反函數和複合函數
  • • 一、反函數
    • • 參考例題
    • 二、複合函數
    • • 參考例題
  • 第五節 初等函數
  • 第六節 總結

第一節 實數

一、實數的定義

有理數與無理數統稱為 實數 ，全體實數組成的數內建為實數集，用 R R R 表示；用 Q Q Q 表示有理數集， Z Z Z 表示整數集， N N N 表示自然數集。

二、區間和領域

區間

1. 列舉法： A = { 1 , 2 , 3 , 4 } A = \{ 1,2,3,4 \} A={1,2,3,4}
2. 屬性法： A = { n ∣ n 是 小 于 5 的 正 整 數 } A = \{ n | n是小于5的正整數\} A={n∣n是小于5的正整數} 或 B = { x ∣ 1 &lt; x &lt; 2 } B = \{ x | 1 \lt x \lt 2 \} B={x∣1<x<2}

像這樣由數軸上的“一段”連續的點構成的數集，我們稱之為區間，記為 ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2)，這是開區間。

如果數集為： C = { y ∣ 1 ≤ y ≤ 2 } C = \{ y | 1 \le y \le 2 \} C={y∣1≤y≤2}，那麼記為 [ 1 , 2 ] [1,2] [1,2]，這是閉區間。

鄰域

我們經常會運用一種特殊的開區間 ( α − δ , α + δ ) (\alpha - \delta, \alpha + \delta) (α−δ,α+δ)，我們稱這個開區間為點 α \alpha α 的鄰域，記為 U ( α , δ ) U(\alpha,\delta) U(α,δ)，即

U ( α , δ ) = ( α − δ , α + δ ) U(\alpha, \delta) = (\alpha - \delta, \alpha + \delta) U(α,δ)=(α−δ,α+δ)

稱點 α \alpha α 為鄰域的中心， δ \delta δ為鄰域的半徑。

有時候，我們隻考慮點 α \alpha α 鄰近的點，而不考慮點 α \alpha α ,即考慮點集 { x ∣ α − δ &lt; x &lt; α 且 α &lt; x &lt; α + δ } \{ x | \alpha - \delta \lt x \lt \alpha 且 \alpha \lt x \lt \alpha + \delta \} {x∣α−δ<x<α且α<x<α+δ}，我們稱這個點集為點 α \alpha α 的 “去心鄰域”，記為 U ∘ ( α , δ ) {U^\circ(\alpha,\delta)} U∘(α,δ)，即

U ∘ = { x ∣ α − δ &lt; x &lt; α 且 α &lt; x &lt; α + δ } U^\circ = \{ x | \alpha - \delta \lt x \lt \alpha 且 \alpha \lt x \lt \alpha + \delta \} U∘={x∣α−δ<x<α且α<x<α+δ}

三、絕對值

設 x x x 是一實數，用 ∣ x ∣ |x| ∣x∣ 記 x x x 的絕對值，其定義如下：

∣ x ∣ = { x x ≥ 0 , − x x &lt; 0. |x| = \begin{cases} x &amp; \quad x \ge 0, \\ -x &amp; \quad x \lt 0. \end{cases} ∣x∣={x−x​x≥0,x<0.​

∣ x ∣ |x| ∣x∣ 的幾何意義是 x x x 到原點的距離。顯然， ∣ x − y ∣ |x-y| ∣x−y∣ 表示點 x x x 與點 y y y 之間的距離。

絕對值有以下性質：設 x , y x,y x,y 是實數，則

1. ∣ x ∣ ≥ 0 , |x| \ge 0, ∣x∣≥0, 當且僅當 x = 0 x = 0 x=0 時才有 ∣ x ∣ = 0 ; |x| = 0; ∣x∣=0;
2. ∣ − x ∣ = ∣ x ∣ ; |-x| = |x|; ∣−x∣=∣x∣;
3. ∣ x y ∣ = ∣ x ∣ ∣ y ∣ ; |xy| = |x||y|; ∣xy∣=∣x∣∣y∣;
4. a &gt; 0 , ∣ x ∣ &lt; a a \gt 0, |x| \lt a a>0,∣x∣<a 當且僅當 − a &lt; x &lt; a ; -a \lt x \lt a; −a<x<a;
5. − ∣ x ∣ ≤ x ≤ ∣ x ∣ ; -|x| \le x \le |x|; −∣x∣≤x≤∣x∣;
6. ∣ x + y ∣ ≤ ∣ x ∣ + ∣ y ∣ ; |x + y| \le |x| + |y|; ∣x+y∣≤∣x∣+∣y∣;

7. ∣ x − y ∣ ≥ ∣ ∣ x ∣ − ∣ y ∣ ∣ ≥ ∣ x ∣ − ∣ y ∣ . |x - y| \ge ||x| - |y|| \ge |x| - |y|. ∣x−y∣≥∣∣x∣−∣y∣∣≥∣x∣−∣y∣.

   以上性質均可通過其他性質證明，基本上直接運用。

例題

1、已知不等式 ∣ 2 x + 1 x − 1 ∣ &lt; 1 |\frac {2x + 1} { x - 1}| \lt 1 ∣x−12x+1​∣<1，求 x x x的取值範圍。

解析： − 4 &lt; x &lt; 2 / 3 -4 \lt x \lt {^2/_3} −4<x<2/3​，通過性質四，再分段求解即可。

第二節 函數的定義及其表示法

一、常量與變量

有些量在所考慮問題的過程中始終不變，保持定量，這些量我們稱之為常量；而有些量在所考慮問題的過程中是變化的，他們刻在一定的範圍内取不同的值，這些量我們稱之為變量。

二、函數的定義

設 x ， y x，y x，y是兩個變量， x x x 的變化範圍是實數集 D D D.如果對于任何的 x ∈ D x \in D x∈D，按照一定的法則都有唯一确定的 y y y 值與之對應，則稱變量 y y y 是變量 x x x 的函數，記為 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x)，稱D是函數的定義域，x 為自變量，y為因變量.

對于一個确定的 x 0 ∈ D x_0 \in D x0​∈D，與之對應的 y 0 = f ( x 0 ) y_0 = f(x_0) y0​=f(x0​) 稱為函數 y y y 在點 x 0 x_0 x0​ 處的函數值，全體函數值的幾何稱為函數 y y y 的值域，記為 f ( D ) f(D) f(D) ，即

f ( D ) = { y ∣ y = f ( x ) , x ∈ D } f(D) = \{ y | y = f(x), x \in D \} f(D)={y∣y=f(x),x∈D}

函數的兩要素：定義域和對應法則

“兩個函數相等”意味着這兩個函數的定義域相同，對應法則也相同。

常用的函數表示法：

1. 公式法——分段函數
2. 圖像法
3. 表格法

函數的定義域

一般地，自然定義域應如此讨論:

1. 分式的分母不能為零
2. 開偶次方的被開方式子不能為負
3. 當方幂的指數是無理數或含有變數時，方底的式子應為正
4. 對數符号後的式子（真數）不能為負
5. 反正弦、反餘弦符号後式子的絕對值不能大于1
6. 有限個函數由四則運算得到的新函數， 其定義域是各函數定義域的交集

參考例題

1. 計算題 : 求函數 f ( x ) = 1 x + 1 arcsin ⁡ e x f(x) = \cfrac {1}{x + 1} \arcsin e^x f(x)=x+11​arcsinex 的定義域.

   [解析] :

   • x + 1 x + 1 x+1 作為分母不應該為 0 0 0.
   • 因為要考慮 arcsin ⁡ x \arcsin x arcsinx 的定義域, 是以 e x ∈ [ − 1 , 1 ] e ^ x \in [-1,1] ex∈[−1,1]
   計算求兩者區間的交集就好.

第三節 函數的幾種特性

1. 有界性 : ∣ f ( x ) ∣ ≤ M |f(x)| \le M ∣f(x)∣≤M
2. 單調性 :
   1. 單調遞增 : 如果 x 1 , x 2 ∈ I , x 1 &lt; x 2 x_1,x_2 \in I, x_1 \lt x_2 x1​,x2​∈I,x1​<x2​ , 都存在 f ( x 1 ) &lt; f ( x 2 ) f(x_1) &lt; f(x_2) f(x1​)<f(x2​)
   2. 單調遞減 : 如果 x 1 , x 2 ∈ I , x 1 &lt; x 2 x_1,x_2 \in I, x_1 \lt x_2 x1​,x2​∈I,x1​<x2​ , 都存在 f ( x 1 ) &gt; f ( x 2 ) f(x_1) \gt f(x_2) f(x1​)>f(x2​)
3. 奇偶性
   1. 偶函數 : 對于定義域中的任意 x x x , 都存在 f ( − x ) = f ( x ) f(-x) = f(x) f(−x)=f(x)
   2. 奇函數 : 對于定義域中的任意 x x x , 都存在 f ( − x ) = − f ( x ) f(-x) = -f(x) f(−x)=−f(x)
   其中，對于對于兩個在定義域内有定義的函數 :
   1. 兩個偶函數之和，之積為偶函數
   2. 兩個奇函數之和為奇函數，之積為偶函數
   3. 一個奇函數與一個偶函數之積為奇函數

4. 周期性 : 必然存在 f ( x + T ) = f ( x ) f(x+T) = f(x) f(x+T)=f(x)

   例如 y = sin ⁡ x , y = cos ⁡ x , y = tan ⁡ x , y = cot ⁡ x 均 為 周 期 函 數 . y = \sin x, y = \cos x, y = \tan x, y = \cot x 均為周期函數. y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx均為周期函數.

第四節 反函數和複合函數

一、反函數

函數 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x) 的定義域為 D D D，至于為 f ( D ) f(D) f(D). 若對任何 y ∈ f ( D ) y \in f(D) y∈f(D)， 在 D D D 内有唯一确定的 x x x 使 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x), 則稱這樣形成的函數 x x x 為 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x) 的反函數，記為 x = f − 1 ( y ) x = f^{-1}(y) x=f−1(y), 相應地，也稱函數 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x) 是直接函數(原函數).

對于反函數 x = f − 1 ( y ) x = f^{-1}(y) x=f−1(y), 定義域是 f ( D ) f(D) f(D), 值域是 D D D,

1. 單調函數具有反函數

2. 原函數與反函數關于 y = x y = x y=x 對稱

參考例題

1. 求 y = e x − e − x 2 y = \cfrac {e^x - e^{-x}} {2} y=2ex−e−x​ 的反函數

   【解析】由 y = e x − e − x 2 ⇒ 2 y = e x − e − x y = \cfrac {e^x - e^{-x}} {2} \Rightarrow 2y = e^x - e^{-x} y=2ex−e−x​⇒2y=ex−e−x，等式兩邊乘以 e x e^x ex 可得：

   ( e x ) 2 − 2 y e x − 1 = 0 (e^x)^2 - 2ye^x - 1 = 0 (ex)2−2yex−1=0

   解關于 e x e^x ex 的二次方程，得 e x = y ± y 2 + 1 . e^x = y \pm \sqrt {y^2 + 1}. ex=y±y2+1

   ​.

   由于 e x ≥ 0 e^x \ge 0 ex≥0, 是以隻取 e x = y + y 2 + 1 e^x = y + \sqrt{y^2 + 1} ex=y+y2+1

   ​ .進而

   x = l n ( y + y 2 + 1 ) . x = ln(y + \sqrt{y^2 + 1}). x=ln(y+y2+1

   ​).

   故反函數為 y = l n ( x + x 2 + 1 ) . y = ln(x + \sqrt{x^2 + 1}). y=ln(x+x2+1

   ​).

二、複合函數

函數 y = f ( u ) , u ∈ D u , u = φ ( x ) , x ∈ D x . y = f(u), u \in D_u, u = \varphi(x), x \in D_x. y=f(u),u∈Du​,u=φ(x),x∈Dx​. 如果函數 u = φ ( x ) u = \varphi(x) u=φ(x) 的值域 φ ( D ) \varphi(D) φ(D) 包含在函數 y = f ( u ) y = f(u) y=f(u) 的定義域 D u D_u Du​ 内, 即 φ ( D x ) ⊂ D u \varphi(D_x) \subset D_u φ(Dx​)⊂Du​, 那麼,對任何 x ∈ D x \in D x∈D. 有 u = φ ( x ) u = \varphi(x) u=φ(x) 與之對應,又有 y = f ( u ) y = f(u) y=f(u) 與 u u u 對應,進而對于任何 x ∈ D x \in D x∈D, 有确定的 y y y 與之對應,形成 y y y 是 x x x 的函數,記為 y = f ( φ ( x ) )    ( x ∈ D x ) y = f(\varphi(x))\ \ (x \in D_x) y=f(φ(x))  (x∈Dx​) , 稱之為是由 y = f ( u ) y = f(u) y=f(u) 和 u = φ ( x ) u = \varphi(x) u=φ(x) 複合而成的複合函數. y y y 是因變量, x x x 是自變量, 稱 u u u 是中間變量.

參考例題

1. 計算題: 已知 f ( 1 + x ) = x 2 f(1+x) = x^2 f(1+x)=x2, 求 f ( x ) f(x) f(x).

   [解析] : 令 1 + x = u 1+x = u 1+x=u, 則 f ( u ) = ( u − 1 ) 2 f(u) = (u-1)^2 f(u)=(u−1)2, 是以 f ( x ) = ( x − 1 ) 2 f(x) = (x - 1)^2 f(x)=(x−1)2.

第五節 初等函數

1. 基本初等函數
   • 常值函數 ( y = c y = c y=c)
   • 幂函數 ( y = x 2 y = x^2 y=x2)
   • 指數函數 ( y = a x y = a^x y=ax)
   • 對數函數 ( y = l o g a x y = log_ax y=loga​x)
   • 三角函數 ( { y = sin ⁡ x y = cos ⁡ x y = tan ⁡ x y = cot ⁡ x \begin{cases} y = \sin x \\ y = \cos x \\ y = \tan x \\ y = \cot x \\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx​)
   • 反三角函數 ( { y = arcsin ⁡ x y = arccos ⁡ x y = arctan ⁡ x y = a r c c o t   x \begin{cases} y = \arcsin x \\ y = \arccos x \\ y = \arctan x \\ y = arccot \ x \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​y=arcsinxy=arccosxy=arctanxy=arccot x​)(與對應的三角函數互為反函數)

2. 初等函數

   由基本初等函數經過有限次四則運算和複合運算構成,并且在其定義域内具有統一的解析表達式的函數,稱為初等函數.

3. 非初等函數

   代表性的例子 : 分段函數

第六節 總結