高等数学 · 第一章 函数

• • 第一节 实数
  • • 一、实数的定义
    • 二、区间和领域
    • • 区间
      • 邻域
    • 三、绝对值
    • • 例题
  • 第二节 函数的定义及其表示法
  • • 一、常量与变量
    • 二、函数的定义
    • • 函数的定义域
      • 参考例题
  • 第三节 函数的几种特性
  • 第四节 反函数和复合函数
  • • 一、反函数
    • • 参考例题
    • 二、复合函数
    • • 参考例题
  • 第五节 初等函数
  • 第六节 总结

第一节 实数

一、实数的定义

有理数与无理数统称为 实数 ，全体实数组成的数集成为实数集，用 R R R 表示；用 Q Q Q 表示有理数集， Z Z Z 表示整数集， N N N 表示自然数集。

二、区间和领域

区间

1. 列举法： A = { 1 , 2 , 3 , 4 } A = \{ 1,2,3,4 \} A={1,2,3,4}
2. 属性法： A = { n ∣ n 是 小 于 5 的 正 整 数 } A = \{ n | n是小于5的正整数\} A={n∣n是小于5的正整数} 或 B = { x ∣ 1 &lt; x &lt; 2 } B = \{ x | 1 \lt x \lt 2 \} B={x∣1<x<2}

像这样由数轴上的“一段”连续的点构成的数集，我们称之为区间，记为 ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2)，这是开区间。

如果数集为： C = { y ∣ 1 ≤ y ≤ 2 } C = \{ y | 1 \le y \le 2 \} C={y∣1≤y≤2}，那么记为 [ 1 , 2 ] [1,2] [1,2]，这是闭区间。

邻域

我们经常会运用一种特殊的开区间 ( α − δ , α + δ ) (\alpha - \delta, \alpha + \delta) (α−δ,α+δ)，我们称这个开区间为点 α \alpha α 的邻域，记为 U ( α , δ ) U(\alpha,\delta) U(α,δ)，即

U ( α , δ ) = ( α − δ , α + δ ) U(\alpha, \delta) = (\alpha - \delta, \alpha + \delta) U(α,δ)=(α−δ,α+δ)

称点 α \alpha α 为邻域的中心， δ \delta δ为邻域的半径。

有时候，我们只考虑点 α \alpha α 邻近的点，而不考虑点 α \alpha α ,即考虑点集 { x ∣ α − δ &lt; x &lt; α 且 α &lt; x &lt; α + δ } \{ x | \alpha - \delta \lt x \lt \alpha 且 \alpha \lt x \lt \alpha + \delta \} {x∣α−δ<x<α且α<x<α+δ}，我们称这个点集为点 α \alpha α 的 “去心邻域”，记为 U ∘ ( α , δ ) {U^\circ(\alpha,\delta)} U∘(α,δ)，即

U ∘ = { x ∣ α − δ &lt; x &lt; α 且 α &lt; x &lt; α + δ } U^\circ = \{ x | \alpha - \delta \lt x \lt \alpha 且 \alpha \lt x \lt \alpha + \delta \} U∘={x∣α−δ<x<α且α<x<α+δ}

三、绝对值

设 x x x 是一实数，用 ∣ x ∣ |x| ∣x∣ 记 x x x 的绝对值，其定义如下：

∣ x ∣ = { x x ≥ 0 , − x x &lt; 0. |x| = \begin{cases} x &amp; \quad x \ge 0, \\ -x &amp; \quad x \lt 0. \end{cases} ∣x∣={x−x​x≥0,x<0.​

∣ x ∣ |x| ∣x∣ 的几何意义是 x x x 到原点的距离。显然， ∣ x − y ∣ |x-y| ∣x−y∣ 表示点 x x x 与点 y y y 之间的距离。

绝对值有以下性质：设 x , y x,y x,y 是实数，则

1. ∣ x ∣ ≥ 0 , |x| \ge 0, ∣x∣≥0, 当且仅当 x = 0 x = 0 x=0 时才有 ∣ x ∣ = 0 ; |x| = 0; ∣x∣=0;
2. ∣ − x ∣ = ∣ x ∣ ; |-x| = |x|; ∣−x∣=∣x∣;
3. ∣ x y ∣ = ∣ x ∣ ∣ y ∣ ; |xy| = |x||y|; ∣xy∣=∣x∣∣y∣;
4. a &gt; 0 , ∣ x ∣ &lt; a a \gt 0, |x| \lt a a>0,∣x∣<a 当且仅当 − a &lt; x &lt; a ; -a \lt x \lt a; −a<x<a;
5. − ∣ x ∣ ≤ x ≤ ∣ x ∣ ; -|x| \le x \le |x|; −∣x∣≤x≤∣x∣;
6. ∣ x + y ∣ ≤ ∣ x ∣ + ∣ y ∣ ; |x + y| \le |x| + |y|; ∣x+y∣≤∣x∣+∣y∣;

7. ∣ x − y ∣ ≥ ∣ ∣ x ∣ − ∣ y ∣ ∣ ≥ ∣ x ∣ − ∣ y ∣ . |x - y| \ge ||x| - |y|| \ge |x| - |y|. ∣x−y∣≥∣∣x∣−∣y∣∣≥∣x∣−∣y∣.

   以上性质均可通过其他性质证明，基本上直接运用。

例题

1、已知不等式 ∣ 2 x + 1 x − 1 ∣ &lt; 1 |\frac {2x + 1} { x - 1}| \lt 1 ∣x−12x+1​∣<1，求 x x x的取值范围。

解析： − 4 &lt; x &lt; 2 / 3 -4 \lt x \lt {^2/_3} −4<x<2/3​，通过性质四，再分段求解即可。

第二节 函数的定义及其表示法

一、常量与变量

有些量在所考虑问题的过程中始终不变，保持定量，这些量我们称之为常量；而有些量在所考虑问题的过程中是变化的，他们刻在一定的范围内取不同的值，这些量我们称之为变量。

二、函数的定义

设 x ， y x，y x，y是两个变量， x x x 的变化范围是实数集 D D D.如果对于任何的 x ∈ D x \in D x∈D，按照一定的法则都有唯一确定的 y y y 值与之对应，则称变量 y y y 是变量 x x x 的函数，记为 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x)，称D是函数的定义域，x 为自变量，y为因变量.

对于一个确定的 x 0 ∈ D x_0 \in D x0​∈D，与之对应的 y 0 = f ( x 0 ) y_0 = f(x_0) y0​=f(x0​) 称为函数 y y y 在点 x 0 x_0 x0​ 处的函数值，全体函数值的几何称为函数 y y y 的值域，记为 f ( D ) f(D) f(D) ，即

f ( D ) = { y ∣ y = f ( x ) , x ∈ D } f(D) = \{ y | y = f(x), x \in D \} f(D)={y∣y=f(x),x∈D}

函数的两要素：定义域和对应法则

“两个函数相等”意味着这两个函数的定义域相同，对应法则也相同。

常用的函数表示法：

1. 公式法——分段函数
2. 图像法
3. 表格法

函数的定义域

一般地，自然定义域应如此讨论:

1. 分式的分母不能为零
2. 开偶次方的被开方式子不能为负
3. 当方幂的指数是无理数或含有变数时，方底的式子应为正
4. 对数符号后的式子（真数）不能为负
5. 反正弦、反余弦符号后式子的绝对值不能大于1
6. 有限个函数由四则运算得到的新函数， 其定义域是各函数定义域的交集

参考例题

1. 计算题 : 求函数 f ( x ) = 1 x + 1 arcsin ⁡ e x f(x) = \cfrac {1}{x + 1} \arcsin e^x f(x)=x+11​arcsinex 的定义域.

   [解析] :

   • x + 1 x + 1 x+1 作为分母不应该为 0 0 0.
   • 因为要考虑 arcsin ⁡ x \arcsin x arcsinx 的定义域, 所以 e x ∈ [ − 1 , 1 ] e ^ x \in [-1,1] ex∈[−1,1]
   计算求两者区间的交集就好.

第三节 函数的几种特性

1. 有界性 : ∣ f ( x ) ∣ ≤ M |f(x)| \le M ∣f(x)∣≤M
2. 单调性 :
   1. 单调递增 : 如果 x 1 , x 2 ∈ I , x 1 &lt; x 2 x_1,x_2 \in I, x_1 \lt x_2 x1​,x2​∈I,x1​<x2​ , 都存在 f ( x 1 ) &lt; f ( x 2 ) f(x_1) &lt; f(x_2) f(x1​)<f(x2​)
   2. 单调递减 : 如果 x 1 , x 2 ∈ I , x 1 &lt; x 2 x_1,x_2 \in I, x_1 \lt x_2 x1​,x2​∈I,x1​<x2​ , 都存在 f ( x 1 ) &gt; f ( x 2 ) f(x_1) \gt f(x_2) f(x1​)>f(x2​)
3. 奇偶性
   1. 偶函数 : 对于定义域中的任意 x x x , 都存在 f ( − x ) = f ( x ) f(-x) = f(x) f(−x)=f(x)
   2. 奇函数 : 对于定义域中的任意 x x x , 都存在 f ( − x ) = − f ( x ) f(-x) = -f(x) f(−x)=−f(x)
   其中，对于对于两个在定义域内有定义的函数 :
   1. 两个偶函数之和，之积为偶函数
   2. 两个奇函数之和为奇函数，之积为偶函数
   3. 一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数

4. 周期性 : 必然存在 f ( x + T ) = f ( x ) f(x+T) = f(x) f(x+T)=f(x)

   例如 y = sin ⁡ x , y = cos ⁡ x , y = tan ⁡ x , y = cot ⁡ x 均 为 周 期 函 数 . y = \sin x, y = \cos x, y = \tan x, y = \cot x 均为周期函数. y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx均为周期函数.

第四节 反函数和复合函数

一、反函数

函数 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x) 的定义域为 D D D，至于为 f ( D ) f(D) f(D). 若对任何 y ∈ f ( D ) y \in f(D) y∈f(D)， 在 D D D 内有唯一确定的 x x x 使 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x), 则称这样形成的函数 x x x 为 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x) 的反函数，记为 x = f − 1 ( y ) x = f^{-1}(y) x=f−1(y), 相应地，也称函数 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x) 是直接函数(原函数).

对于反函数 x = f − 1 ( y ) x = f^{-1}(y) x=f−1(y), 定义域是 f ( D ) f(D) f(D), 值域是 D D D,

1. 单调函数具有反函数

2. 原函数与反函数关于 y = x y = x y=x 对称

参考例题

1. 求 y = e x − e − x 2 y = \cfrac {e^x - e^{-x}} {2} y=2ex−e−x​ 的反函数

   【解析】由 y = e x − e − x 2 ⇒ 2 y = e x − e − x y = \cfrac {e^x - e^{-x}} {2} \Rightarrow 2y = e^x - e^{-x} y=2ex−e−x​⇒2y=ex−e−x，等式两边乘以 e x e^x ex 可得：

   ( e x ) 2 − 2 y e x − 1 = 0 (e^x)^2 - 2ye^x - 1 = 0 (ex)2−2yex−1=0

   解关于 e x e^x ex 的二次方程，得 e x = y ± y 2 + 1 . e^x = y \pm \sqrt {y^2 + 1}. ex=y±y2+1

   ​.

   由于 e x ≥ 0 e^x \ge 0 ex≥0, 所以只取 e x = y + y 2 + 1 e^x = y + \sqrt{y^2 + 1} ex=y+y2+1

   ​ .从而

   x = l n ( y + y 2 + 1 ) . x = ln(y + \sqrt{y^2 + 1}). x=ln(y+y2+1

   ​).

   故反函数为 y = l n ( x + x 2 + 1 ) . y = ln(x + \sqrt{x^2 + 1}). y=ln(x+x2+1

   ​).

二、复合函数

函数 y = f ( u ) , u ∈ D u , u = φ ( x ) , x ∈ D x . y = f(u), u \in D_u, u = \varphi(x), x \in D_x. y=f(u),u∈Du​,u=φ(x),x∈Dx​. 如果函数 u = φ ( x ) u = \varphi(x) u=φ(x) 的值域 φ ( D ) \varphi(D) φ(D) 包含在函数 y = f ( u ) y = f(u) y=f(u) 的定义域 D u D_u Du​ 内, 即 φ ( D x ) ⊂ D u \varphi(D_x) \subset D_u φ(Dx​)⊂Du​, 那么,对任何 x ∈ D x \in D x∈D. 有 u = φ ( x ) u = \varphi(x) u=φ(x) 与之对应,又有 y = f ( u ) y = f(u) y=f(u) 与 u u u 对应,从而对于任何 x ∈ D x \in D x∈D, 有确定的 y y y 与之对应,形成 y y y 是 x x x 的函数,记为 y = f ( φ ( x ) )    ( x ∈ D x ) y = f(\varphi(x))\ \ (x \in D_x) y=f(φ(x))  (x∈Dx​) , 称之为是由 y = f ( u ) y = f(u) y=f(u) 和 u = φ ( x ) u = \varphi(x) u=φ(x) 复合而成的复合函数. y y y 是因变量, x x x 是自变量, 称 u u u 是中间变量.

参考例题

1. 计算题: 已知 f ( 1 + x ) = x 2 f(1+x) = x^2 f(1+x)=x2, 求 f ( x ) f(x) f(x).

   [解析] : 令 1 + x = u 1+x = u 1+x=u, 则 f ( u ) = ( u − 1 ) 2 f(u) = (u-1)^2 f(u)=(u−1)2, 所以 f ( x ) = ( x − 1 ) 2 f(x) = (x - 1)^2 f(x)=(x−1)2.

第五节 初等函数

1. 基本初等函数
   • 常值函数 ( y = c y = c y=c)
   • 幂函数 ( y = x 2 y = x^2 y=x2)
   • 指数函数 ( y = a x y = a^x y=ax)
   • 对数函数 ( y = l o g a x y = log_ax y=loga​x)
   • 三角函数 ( { y = sin ⁡ x y = cos ⁡ x y = tan ⁡ x y = cot ⁡ x \begin{cases} y = \sin x \\ y = \cos x \\ y = \tan x \\ y = \cot x \\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx​)
   • 反三角函数 ( { y = arcsin ⁡ x y = arccos ⁡ x y = arctan ⁡ x y = a r c c o t   x \begin{cases} y = \arcsin x \\ y = \arccos x \\ y = \arctan x \\ y = arccot \ x \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​y=arcsinxy=arccosxy=arctanxy=arccot x​)(与对应的三角函数互为反函数)

2. 初等函数

   由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算构成,并且在其定义域内具有统一的解析表达式的函数,称为初等函数.

3. 非初等函数

   代表性的例子 : 分段函数

第六节 总结