二阶常系数非齐次线性微分方程的解

整理自张宇30讲

前置：解的结构

对于二阶常系数线性微分方程 y ′ ′ + p y ′ + q y = f ( x ) y''+py'+qy=f(x) y′′+py′+qy=f(x)

• 若 f ( x ) ≡ 0 f(x) \equiv 0 f(x)≡0，则该方程为齐次方程
• 若 f ( x ) f(x) f(x)不恒等于0，则该方程为非齐次方程

齐次方程通解：由两个线性无关解 y 1 ( x ) y_1(x) y1​(x)和 y 2 ( x ) y_2(x) y2​(x)组合成齐次方程的通解 y ( x ) y(x) y(x)

y ( x ) = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) y(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) y(x)=C1​y1​(x)+C2​y2​(x)

特解记为 y ∗ ( x ) y^*(x) y∗(x)

非齐次方程通解=齐次方程通解+非齐次方程特解

则非齐次方程通解为 y ( x ) + y ∗ ( x ) y(x)+y^*(x) y(x)+y∗(x)

当有 y ′ ′ + p y ′ + q y = P 1 ( x ) y''+py'+qy=P_1(x) y′′+py′+qy=P1​(x)和 y ′ ′ + p y ′ + q y = P 2 ( x ) y''+py'+qy=P_2(x) y′′+py′+qy=P2​(x)时，且 y 1 ∗ ( x ) y_1^*(x) y1∗​(x)和 y 2 ∗ ( x ) y_2^*(x) y2∗​(x)分别是两式的解，则 y ′ ′ + p y ′ + q y = P 1 ( x ) + P 2 ( x ) y''+py'+qy=P_1(x)+P_2(x) y′′+py′+qy=P1​(x)+P2​(x)的解为 y 1 ∗ ( x ) + y 2 ∗ ( x ) y_1^*(x)+y_2^*(x) y1∗​(x)+y2∗​(x)

二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

二阶常系数非齐次线性微分方程求通解的整体思路都如下：

• 先设特解
• 求出特解
• 和齐次方程通解组合成为非齐次方程的通解

其中特解按自由项 f ( x ) f(x) f(x)分为两种情况：

• 自由项 f ( x ) = P n ( x ) e α x f(x)=P_n(x)e^{\alpha x} f(x)=Pn​(x)eαx
• 自由项 f ( x ) = e α x [ P m ( x ) cos ⁡ β x + P n ( x ) sin ⁡ β x ] f(x)=e^{\alpha x}[P_m(x) \cos \beta x + P_n(x) \sin \beta x] f(x)=eαx[Pm​(x)cosβx+Pn​(x)sinβx]时

确定 x k x^k xk：一看（自由项中的 α ± β i \alpha \pm \beta i α±βi）二算（齐次方程中的特征根）三比较（两者是否相等）

自由项 f ( x ) = P n ( x ) e α x f(x)=P_n(x)e^{\alpha x} f(x)=Pn​(x)eαx

当自由项为 f ( x ) = P n ( x ) e α x f(x)=P_n(x)e^{\alpha x} f(x)=Pn​(x)eαx，将特解设为 e α x Q n ( x ) x k e^{\alpha x}Q_n(x)x^k eαxQn​(x)xk

其中：

• e α x e^{\alpha x} eαx照抄
• Q n ( x ) Q_n(x) Qn​(x)为x的 n n n次多项式
• k k k的取值依据 a + b i a+bi a+bi是否是特征根
  • α ≠ λ 1 , 2 \alpha \neq \lambda_{1,2} α=λ1,2​则 k = 0 k=0 k=0（不是特征根）
  • α = λ 1 \alpha = \lambda_{1} α=λ1​或 α = λ 2 \alpha = \lambda_{2} α=λ2​则 k = 1 k=1 k=1（是单特征根）
  • α = λ 1 = λ 2 \alpha = \lambda_{1}=\lambda_{2} α=λ1​=λ2​则 k = 2 k=2 k=2（是二重特征根）

Q n ( x ) Q_n(x) Qn​(x)为x的 n n n次多项式，意思是 2 x 2x 2x这种写为 A x + B Ax+B Ax+B，而 x 3 − 1 x^3-1 x3−1这种写为 a x 3 + b x 2 + c ax^3+bx^2+c ax3+bx2+c

【例】求 y ′ ′ − 2 y ′ + 5 y = e x y''-2y'+5y=e^x y′′−2y′+5y=ex的通解

自由项符合 f ( x ) = P n ( x ) e α x f(x)=P_n(x)e^{\alpha x} f(x)=Pn​(x)eαx形式，故特解要设为 e α x Q n ( x ) x k e^{\alpha x}Q_n(x)x^k eαxQn​(x)xk形式。

由题意知 α = 1 \alpha = 1 α=1，而特征根 λ 1 , 2 = 1 ± 2 i \lambda_{1,2}= 1 \pm 2i λ1,2​=1±2i，故 k k k写0。

因为 Q n ( x ) = 1 Q_n(x)=1 Qn​(x)=1是0次多项式，所以写成 a a a就行，故特解 y ∗ = a e x y^*=ae^x y∗=aex

将 y ∗ y^* y∗带入 y ′ ′ − 2 y ′ + 5 y = e x y''-2y'+5y=e^x y′′−2y′+5y=ex，即 a e x − 2 a e x + 5 a e x = e x ae^x-2ae^x+5ae^x=e^x aex−2aex+5aex=ex，可解出 a = 1 4 a=\frac14 a=41​

故特解为 y ∗ = 1 4 e x y^*=\frac14e^x y∗=41​ex

但是题目的式子是非齐次的，其解的结构构成是：齐次方程通解+非齐次方程特解

所以先得求出 y ′ ′ − 2 y ′ + 5 y = 0 y''-2y'+5y=0 y′′−2y′+5y=0这个齐次方程的通解 y ( x ) y(x) y(x)，再和特解 y ∗ y^* y∗组合即可，即 y ( x ) + y ∗ y(x)+y^* y(x)+y∗是最终答案

关于 y ′ ′ − 2 y ′ + 5 y = 0 y''-2y'+5y=0 y′′−2y′+5y=0，带入 e λ x e^{\lambda x} eλx得到特征方程：

λ 2 − 2 λ + 5 = 0 \lambda^2-2\lambda+5=0 λ2−2λ+5=0

由于 Δ = b 2 − 4 a = − 16 < 0 \Delta=b^2-4a=-16<0 Δ=b2−4a=−16<0，故有一对共轭复根，即

λ 1 , 2 = 2 ± Δ i 2 = 1 ± 2 i \lambda_{1,2}=\frac{2 \pm \sqrt{\Delta}i}{2}=1\pm 2i λ1,2​=22±Δ