扩展
来自一位学长：
傅里叶级数选择三角函数集，只是因为三角函数集一类特殊的正交函数集，其实还有很多其他的正交函数集。以下是学长附的图（我也没太看懂）：
其实，我们完全可以用其他的完备正交函数集来拟合给定区间的给定函数，不过本科只涉及到三角函数。而且，我们关心的只是给定区间内的情况，区间外是不关心的，用三角函数作为正交基带来的副作用是：在给定区间外，三角级数把给定区间内的函数图像周期性地重复下去
除了我上面拍的这些，贝塞尔函数，勒让德多项式，切比雪夫多项式，拉盖尔多项式，埃尔米特多项式……都是给定区间上的正交函数集，不要把目光局限在三角函数上。而三角函数集，这是这些正交函数集中一个普通的例子。
我们意识到：重点不是周期性（周期性是采用具有周期性的正交函数集引入的副作用），已经隐隐的要发现正交性的作用了。
问题
问：能展开为傅里叶级数的函数必须是周期函数吗？
答：
分清Fourier级数与Fourier变换之间的区别。
对于定义域为负无穷到正无穷的函数，只有周期函数才能展开成Fourier级数。Fourier级数可以看成是Fourier变换的一种离散的形式。对于定义域为负无穷到正无穷的非周期函数，其经过Fourier变换后频谱是连续谱，而只有周期函数其频谱才是离散谱，这相当于周期函数只是由可列个谐波叠加而成的，而不需要其它频率的正弦波。因此，当定义域是负无穷到正无穷的时候，只有周期函数才能展开成傅里叶级数的形式。
但是，通常我们研究的实际问题的定义域一般是有限长度的，对于这种问题，我们可以对其进行周期延拓，将有限长度上的函数延拓成定义域为负无穷到正无穷的周期函数。经过延拓之后的函数，是可以展开成Fourier级数的。
参考资料：
百度知道：能展开为傅里叶级数的函数必须是周期函数吗
追问：求解系数的时候并没有用到周期，那待展开为傅里叶级数的函数不是可以没有周期吗？
答：求解过程如下：
此求解过程中an, bn只用到了一个周期的数据，所以，如果该函数没有周期，那么，求出来的系数在其他区间可能不成立。