高等數學第一章第一節--函數與極限

規則：樹立概念，

辨別：自了解

• 映射

  映射的别名：

  非空集合X到數集Y的映射稱為X上的泛函

  非空集合X到自身的映射稱為變換

  從實數集X到實數集Y的映射稱為X的函數

  滿射 對于數集Y上的任意元素，都已X數集上的X與之對應

  單射 對于不同的x的映射y不同

• 函數

  解釋： 自變量和因變量的映射稱為函數，自變量的取值範圍為定義域；因變量的取值取值範圍為值域。

  常用函數：絕對值函數 ,符号函數，取整函數（取小于等于的數），分段函數

• 函數的有界性

  解釋 :對于定于域D 如果對于定義域的子集X ,x取X内的任意數，都有f(x)<=K1成立，則稱K1是f(x)在X的一個上界

  （下界同理可證）

  證明：函數在X上有界的充分必要條件是它在f(x)上既有上界又有下界。

• 函數的單調性

  解釋： 對于設f(x)的定義域為D,x1，x2取D的子集X内的任意一點，當x1<x2時恒有f(x1)<f(x2),那麼則稱f(x)函數在X内單調遞增。（單調遞減同理）

• 函數的奇偶性

  偶函數解釋： 1.定義域關于原點對稱f(x) 2. 對于任意定義域内一點 3.f(x) = f(-x)

  奇函數解釋： 1.定義域關于原點對稱f(x) 2. 對于任意定義域内一點 3.-f(x) = f(-x)

  偶函數圖像 關于y軸對稱

  偶函數圖像 關于原點對稱

• 函數的周期性

  解釋 對于函數f(x)的定義域D,如果存在一個數L,使得對于x，x+L都屬于定義域D,有f(x+L) = f(x) 恒成立，那麼稱f(x)是周期為L的周期函數,L就是我們常說的最小正周期。

  樣例 y = sin(x) y = cos(x)

  特殊函數（狄利克雷函數） 是周期函數，但沒有最小正周期，任何一個有理數都是它的周期

• 反函數

  存在 一個函數是否存在反函數看它是否是單射（單調遞增，即是單射）

• 複合函數

  解釋： 就是函數的遞歸疊加，要考慮一個子函數的值域是父函數的定義域

• 函數的運算

  了解： 可以把函數了解為一個未知的數，可以進行四則運算

  正常運算：

  偶函數+偶函數=偶函數

  奇函數+奇函數=奇函數

  奇函數+偶函數=奇函數

• 初等函數：

  基本初等函數： 幂函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數

  初等函數： 基本初等函數經過有限次的四則運算和有限次的函數複合所構成的可用一個式子表示的函數稱為初等函數。

  特殊函數(雙曲函數：)