導數與微積分初步

看了一下書，來口胡一下自己

極限

極限運算法則

lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)

lim[f(x)⋅g(x)]=limf(x)⋅limg(x)

limf(x)g(x)=limf(x)limg(x) ( limg(x)!=0 )

夾逼定理

若有

limx→X0F(x)=limx→X0G(x)=A

且函數 f(x) 在 X0 的某鄰域内恒有 F(x)<=f(x)<=G(x)

則有 limx→X0F(x)<=limx→X0f(x)<=limx→X0G(x)

故 limx→X0f(x)=A

(這裡 X0 可以換成 ∞ )

兩個重要極限

(1) limx→0sinxx=1

(2) limx→∞(1+1x)x=e

[變] limx→∞(1−1x)x=1e

函數的間斷點

第一類：可去間斷點、跳躍間斷點

第二類：無窮間斷點、震蕩間斷點

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導數

常用求導公式

(1) C′=0

(2) xμ=μxμ−1

(3) (ax)′=axlnx (a > 0,a != 1)

(4) (logax)′=1xlna (a > 0,a != 1)

(5) (sinx)′=cosx

(6) (cosx)′=−sinx

(7) (tanx)′=sec2x

導數的四則運算法則

(1) u±v=u′±v′

(2) (uv)′=u′v+uv′

(3) (uv)=u′v−uv′v2 (v != 0)

反函數的求導法則

反函數的導數等于直接函數導數的倒數，即 [f−1(x)]′=1f′(y)

複合函數的求導法則

如果 u=g(x) 在點 x 可導，而 y=f(u) 在點 u=g(x) 可導，那麼複合函數 y=f[g(x)] 在點 x 可導，且其導數為

dydx=f′(u)⋅g′(x)或dydx=dydu⋅dudx

ex1. 設 y=sin2x1+x2 ，求 dydx

設 y=sinu,u=2x1+x2

dydududx=cosu=2(1+x2)−(2x)2(1+x2)2=2(1−x2)(1+x2)2

是以 dydx=cosu⋅2(1−x2)(1+x2)2=2(1−x2)(1+x2)2⋅cos2x1+x2

高階導數

萊布尼茨公式： (uv)(n)=∑nk=0Cknu(n−k)v(k)

隐函數的導數

ex1. 求橢圓 x216+y29=1 在點 (2,323√) 處的切線方程

所求斜率為 k=y′|x=2

橢圓方程的兩邊分别對 x 求導，有

x8+29y⋅dydx=0

有 dydx=−9x16y

代入 x=2,y=323√

有 dydx|x=2=−3√4

是以切線方程為 3√x+4y−83√=0

ex2. 求 y=xsinx(x>0)的導數

先在等式兩邊取對

lny=sinx⋅lnx

再同時對 x 求導，得 1yy′=cosx⋅lnx+sinx⋅1xy′=y(cosx⋅lnx+sinxx)=xsinx(cosx⋅lnx+sinxx)

是以對于 y=uv(u>０) 的形式都可以用對數求導法

參數方程求導

若有參數方程

{x=φ(t)y=ψ(t)

有 t=φ−1(x) ,是以得到複合函數 y=ψ[φ−1(x)] ,有

dydx=dydt⋅dtdx=dydt⋅1dxdt=ψ′(t)φ′(t)

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微分

羅爾中值定理

如果函數 f(x) 滿足

(1) 在閉區間 [a,b] 上連續

(2) 在閉區間 (a,b) 内可導

(3) 在區間端點處的函數值相等，即 f(a)=f(b)

那麼在 (a,b) 内至少有一點 ξ(a<ξ<b) ,使得 f′(ξ)=0

拉格朗日中值定理

如果函數 f(x) 滿足

(1) 在閉區間 [a,b] 上連續

(2) 在閉區間 (a,b) 内可導

那麼在 (a,b) 内至少有一點 ξ(a<ξ<b) ,使得等式

f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)

成立

這個式子又可以寫成 Δy=f′(x+θΔx)⋅Δx(0<θ<1)

是以這個定理又叫 有限增量定理，上面的式子也稱有限增量公式。這個定理還稱 微分中值定理。

柯西中值定理

如果函數 f(x) 及 F(x) 滿足

(1) 在閉區間 [a,b] 上連續

(2) 在閉區間 (a,b) 内可導

(3) 對任一 x∈(a,b),F′(x)≠0

那麼在 (a,b) 内至少有一點 ξ ,使得

f(b)−f(a)F(b)−F(a)=f′(ξ)F′(ξ)

成立

洛必達法則

1 : 設

(1) 當 x→a 時，函數 f(x) 及 F(x) 都趨于零

(2) 在點 a 的某去心鄰域内， f′(x) 及 F′(x) 都存在且 F′(x)≠0

(3) limx→af′(x)F′(x) 存在(或為無窮大)

則

limx→af(x)F(x)=limx→af′(x)F′(x)

2 : 設

(1) 當 x→∞ 時，函數 f(x) 及 F(x) 都趨于零

(2) 當 |x|>N 時, f′(x) 與 F′(x) 都存在且 F′(x)≠0

(3) limx→∞f′(x)F′(x) 存在(或為無窮大)

則

limx→∞f(x)F(x)=limx→∞f′(x)F′(x)

當然還有許多其他形式的未定式

ex1. 求 limx→0+xnlnx(n>0)

limx→0+xnlnx=limx→0+lnxx−n=limx→0+1x−nx−n−1=limx→0+(−xnn)=0

ex2. 求 limx→0+xx

設 y=xx ,取對數得 lny=xlnx

limx→0+lny=limx→0+(xlnx)=0∵y=elny∴limx→0+xx=limy=limelny=elimlny=e0=1

泰勒中值定理

一： 如果函數 f(x) 在 x0 處具有 n 階導數，那麼存在 x0 的一個鄰域，對于該鄰域内的任一 x，有

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)

其中 Rn(x)=o((x−x0)n)

當 x0=0 的時候就是麥克勞林公式

二： 如果函數 f(x) 在 x0 的某個鄰域 U(x0) 内具有 (n + 1) 階導數，那麼對任一 x∈U(x0) ，有

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)

其中 Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1

曲線的凹凸性

定義： 設 f(x) 在區間 I 上連續，如果對 I 上任意兩點 x1,x2 恒有

f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2

那麼稱 f(x) 在 I 上的圖形是（向上）凹的（凹弧）；如果恒有 f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2

那麼稱 f(x) 在 I 上的圖形是（向上）凸的（凸弧）

定理： 設 f(x) 在 [a,b] 上連續，在 (a,b) 内具有一階和二階導數，那麼

(1) 若在 (a,b) 内 f′′(x)>0 ,則 f(x) 在 [a,b] 上的圖形是凹的

(2) 若在 (a,b) 内 f′′(x)<0 ,則 f(x) 在 [a,b] 上的圖形是凸的

若 f(x) 在 (a,b) 内具有二階導數，那麼對于拐點有 f′′(x0)=0

曲率

弧微分公式： ds=1+y′2−−−−−−√dx

曲率： K=limΔs→0|ΔαΔs|

直線上任意一點曲率為0

圓上任意一點曲率為 1r

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積分

連續函數一定有原函數

如果一個函數有原函數那麼它就有無窮多個原函數

常用積分公式 .

(1) ∫kdx=kx+C

(2) ∫xμdx=xμ+1μ+1+C(μ≠−1)

(3) ∫1xdx=lnx+C

(4) ∫axdx=axlna+C

(5) ∫cosxdx=sinx+C

(6) ∫sinxdx=−cosx+C

(7) ∫tanxdx=−lncosx+C

(8) ∫lnxdx=xlnx−x+C

換元法

複合函數貌似沒有統一的求積分公式QAQ

第一類換元法 ：

設 f(u) 具有原函數， u=φ(x) 可導，則有換元公式

∫f[φ(x)]φ′(x)dx=[∫f(u)du]u=φ(x)

ex1. 求 ∫2xex2dx

設 u=x2

∫2xex2dx=∫euu′dx=∫eudu=ex2+C

第二類換元法 ：

設 x=ψ(t) 是單調的可導函數，并且 ψ′(t)≠0 .又設 f[ψ(t)]ψ′(t) 具有原函數，則有換元公式

∫f(x)dx=[∫f[ψ(t)]ψ′(t)dt]t=ψ−1(x)

分部積分法

分部積分公式：

∫uv′dx=uv−∫u′vdx

也可以寫成： ∫udv=uv−∫vdu

不想寫了QAQ