帶有積分号的無窮小量去積分号找對等價量的方法

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  • 問題二
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問題一

考慮問題：

∫ x ∞ exp ⁡ ( − u 2 / 2 ) d u \int_x^\infty \exp(-u^2/2) \text{d}u ∫x∞​exp(−u2/2)du當 n → ∞ n\to\infty n→∞的等價無窮小量是什麼？

求解：

利用分部積分法，

∫ x ∞ exp ⁡ ( − u 2 / 2 ) d u = ∫ x ∞ u u exp ⁡ ( − u 2 / 2 ) d u = − ∫ x ∞ 1 u d exp ⁡ ( − u 2 / 2 ) \int_x^\infty \exp(-u^2/2) \text{d}u=\int_x^\infty \frac{u}{u}\exp(-u^2/2) \text{d}u\\ =-\int_x^\infty \frac{1}{u}\text{d}\exp(-u^2/2) ∫x∞​exp(−u2/2)du=∫x∞​uu​exp(−u2/2)du=−∫x∞​u1​dexp(−u2/2)

= − 1 u exp ⁡ ( − u 2 / 2 ) ∣ x ∞ − ∫ x ∞ 1 u 2 exp ⁡ ( − u 2 / 2 ) d u =-\frac{1}{u}\exp(-u^2/2)|_x^\infty-\int^\infty_x\frac{1}{u^2}\exp(-u^2/2)\text{d}u =−u1​exp(−u2/2)∣x∞​−∫x∞​u21​exp(−u2/2)du

= 1 x exp ⁡ ( − x 2 / 2 ) − ∫ x ∞ 1 u 2 exp ⁡ ( − u 2 / 2 ) d u =\frac{1}{x}\exp(-x^2/2)-\int^\infty_x\frac{1}{u^2}\exp(-u^2/2)\text{d}u =x1​exp(−x2/2)−∫x∞​u21​exp(−u2/2)du

觀察可知，第二項是 ∫ x ∞ exp ⁡ ( − u 2 / 2 ) d u \int_x^\infty \exp(-u^2/2) \text{d}u ∫x∞​exp(−u2/2)du的高階無窮小量，是以原式的等價無窮小量是 1 x exp ⁡ ( − x 2 / 2 ) \frac{1}{x}\exp(-x^2/2) x1​exp(−x2/2),進一步可以利用L’Hospital 法則驗證。

Remark:注意在分部積分的時候，我們傾向于使下一個含積分的部分是更高階的小量。

問題二

∫ x ∞ 1 u 2 ln ⁡ u d u \int_x^\infty \frac{1}{u^2\ln u}\text{d}u ∫x∞​u2lnu1​du當 n → ∞ n\to\infty n→∞的等價無窮小量是什麼？

求解：

∫ x ∞ 1 u 2 ln ⁡ u d u = − ∫ x ∞ 1 ln ⁡ u d 1 u \int_x^\infty \frac{1}{u^2\ln u}\text{d}u=-\int_x^\infty \frac{1}{\ln u}\text{d}\frac{1}{u} ∫x∞​u2lnu1​du=−∫x∞​lnu1​du1​

= − 1 u ln ⁡ u ∣ x ∞ − ∫ x ∞ 1 u 2 ln ⁡ 2 u d u =-\frac{1}{u\ln u}|_x^\infty-\int_x^\infty \frac{1}{u^2\ln^2 u}\text{d}u =−ulnu1​∣x∞​−∫x∞​u2ln2u1​du

= 1 x ln ⁡ x − ∫ x ∞ 1 u 2 ln ⁡ 2 u d u =\frac{1}{x\ln x}-\int_x^\infty \frac{1}{u^2\ln^2 u}\text{d}u =xlnx1​−∫x∞​u2ln2u1​du

可見， ∫ x ∞ 1 u 2 ln ⁡ u d u \int_x^\infty \frac{1}{u^2\ln u}\text{d}u ∫x∞​u2lnu1​du的等價量是 1 x ln ⁡ x \frac{1}{x\ln x} xlnx1​,同樣可以利用L’Hospital 法則驗證。

問題三

f ( x ) = ∫ x x + 1 sin ⁡ e t d t f(x)=\int_x^{x+1}\sin e^tdt f(x)=∫xx+1​sinetdt的等價量是多少？

求解：

f ( x ) = ∫ x x + 1 sin ⁡ e t d t = ∫ e x e x + 1 1 u sin ⁡ u d u f(x)=\int_x^{x+1}\sin e^tdt=\int_{e^x}^{e^{x+1}}\frac{1}{u}\sin udu f(x)=∫xx+1​sinetdt=∫exex+1​u1​sinudu

= − 1 u cos ⁡ u ∣ e x e x + 1 − ∫ e x e x + 1 1 u 2 cos ⁡ u d u =-\frac{1}{u}\cos u|_{e^x}^{e^{x+1}}-\int_{e^x}^{e^{x+1}}\frac{1}{u^2}\cos udu =−u1​cosu∣exex+1​−∫exex+1​u21​cosudu

= cos ⁡ e x e x − cos ⁡ e x + 1 e x + 1 − ∫ e x e x + 1 1 u 2 cos ⁡ u d u =\frac{\cos e^x}{e^x}-\frac{\cos e^{x+1}}{e^{x+1}}-\int_{e^x}^{e^{x+1}}\frac{1}{u^2}\cos udu =excosex​−ex+1cosex+1​−∫exex+1​u21​cosudu

顯然，第二項和第三項是低階無窮小量，是以 f ( x ) = ∫ x x + 1 sin ⁡ e t d t f(x)=\int_x^{x+1}\sin e^tdt f(x)=∫xx+1​sinetdt的等價量是 cos ⁡ e x e x \frac{\cos e^x}{e^x} excosex​.