导数与微积分初步

看了一下书，来口胡一下自己

极限

极限运算法则

lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)

lim[f(x)⋅g(x)]=limf(x)⋅limg(x)

limf(x)g(x)=limf(x)limg(x) ( limg(x)!=0 )

夹逼定理

若有

limx→X0F(x)=limx→X0G(x)=A

且函数 f(x) 在 X0 的某邻域内恒有 F(x)<=f(x)<=G(x)

则有 limx→X0F(x)<=limx→X0f(x)<=limx→X0G(x)

故 limx→X0f(x)=A

(这里 X0 可以换成 ∞ )

两个重要极限

(1) limx→0sinxx=1

(2) limx→∞(1+1x)x=e

[变] limx→∞(1−1x)x=1e

函数的间断点

第一类：可去间断点、跳跃间断点

第二类：无穷间断点、震荡间断点

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导数

常用求导公式

(1) C′=0

(2) xμ=μxμ−1

(3) (ax)′=axlnx (a > 0,a != 1)

(4) (logax)′=1xlna (a > 0,a != 1)

(5) (sinx)′=cosx

(6) (cosx)′=−sinx

(7) (tanx)′=sec2x

导数的四则运算法则

(1) u±v=u′±v′

(2) (uv)′=u′v+uv′

(3) (uv)=u′v−uv′v2 (v != 0)

反函数的求导法则

反函数的导数等于直接函数导数的倒数，即 [f−1(x)]′=1f′(y)

复合函数的求导法则

如果 u=g(x) 在点 x 可导，而 y=f(u) 在点 u=g(x) 可导，那么复合函数 y=f[g(x)] 在点 x 可导，且其导数为

dydx=f′(u)⋅g′(x)或dydx=dydu⋅dudx

ex1. 设 y=sin2x1+x2 ，求 dydx

设 y=sinu,u=2x1+x2

dydududx=cosu=2(1+x2)−(2x)2(1+x2)2=2(1−x2)(1+x2)2

所以 dydx=cosu⋅2(1−x2)(1+x2)2=2(1−x2)(1+x2)2⋅cos2x1+x2

高阶导数

莱布尼茨公式： (uv)(n)=∑nk=0Cknu(n−k)v(k)

隐函数的导数

ex1. 求椭圆 x216+y29=1 在点 (2,323√) 处的切线方程

所求斜率为 k=y′|x=2

椭圆方程的两边分别对 x 求导，有

x8+29y⋅dydx=0

有 dydx=−9x16y

代入 x=2,y=323√

有 dydx|x=2=−3√4

所以切线方程为 3√x+4y−83√=0

ex2. 求 y=xsinx(x>0)的导数

先在等式两边取对

lny=sinx⋅lnx

再同时对 x 求导，得 1yy′=cosx⋅lnx+sinx⋅1xy′=y(cosx⋅lnx+sinxx)=xsinx(cosx⋅lnx+sinxx)

所以对于 y=uv(u>０) 的形式都可以用对数求导法

参数方程求导

若有参数方程

{x=φ(t)y=ψ(t)

有 t=φ−1(x) ,所以得到复合函数 y=ψ[φ−1(x)] ,有

dydx=dydt⋅dtdx=dydt⋅1dxdt=ψ′(t)φ′(t)

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微分

罗尔中值定理

如果函数 f(x) 满足

(1) 在闭区间 [a,b] 上连续

(2) 在闭区间 (a,b) 内可导

(3) 在区间端点处的函数值相等，即 f(a)=f(b)

那么在 (a,b) 内至少有一点 ξ(a<ξ<b) ,使得 f′(ξ)=0

拉格朗日中值定理

如果函数 f(x) 满足

(1) 在闭区间 [a,b] 上连续

(2) 在闭区间 (a,b) 内可导

那么在 (a,b) 内至少有一点 ξ(a<ξ<b) ,使得等式

f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)

成立

这个式子又可以写成 Δy=f′(x+θΔx)⋅Δx(0<θ<1)

所以这个定理又叫 有限增量定理，上面的式子也称有限增量公式。这个定理还称 微分中值定理。

柯西中值定理

如果函数 f(x) 及 F(x) 满足

(1) 在闭区间 [a,b] 上连续

(2) 在闭区间 (a,b) 内可导

(3) 对任一 x∈(a,b),F′(x)≠0

那么在 (a,b) 内至少有一点 ξ ,使得

f(b)−f(a)F(b)−F(a)=f′(ξ)F′(ξ)

成立

洛必达法则

1 : 设

(1) 当 x→a 时，函数 f(x) 及 F(x) 都趋于零

(2) 在点 a 的某去心邻域内， f′(x) 及 F′(x) 都存在且 F′(x)≠0

(3) limx→af′(x)F′(x) 存在(或为无穷大)

则

limx→af(x)F(x)=limx→af′(x)F′(x)

2 : 设

(1) 当 x→∞ 时，函数 f(x) 及 F(x) 都趋于零

(2) 当 |x|>N 时, f′(x) 与 F′(x) 都存在且 F′(x)≠0

(3) limx→∞f′(x)F′(x) 存在(或为无穷大)

则

limx→∞f(x)F(x)=limx→∞f′(x)F′(x)

当然还有许多其他形式的未定式

ex1. 求 limx→0+xnlnx(n>0)

limx→0+xnlnx=limx→0+lnxx−n=limx→0+1x−nx−n−1=limx→0+(−xnn)=0

ex2. 求 limx→0+xx

设 y=xx ,取对数得 lny=xlnx

limx→0+lny=limx→0+(xlnx)=0∵y=elny∴limx→0+xx=limy=limelny=elimlny=e0=1

泰勒中值定理

一： 如果函数 f(x) 在 x0 处具有 n 阶导数，那么存在 x0 的一个邻域，对于该邻域内的任一 x，有

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)

其中 Rn(x)=o((x−x0)n)

当 x0=0 的时候就是麦克劳林公式

二： 如果函数 f(x) 在 x0 的某个邻域 U(x0) 内具有 (n + 1) 阶导数，那么对任一 x∈U(x0) ，有

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)

其中 Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1

曲线的凹凸性

定义： 设 f(x) 在区间 I 上连续，如果对 I 上任意两点 x1,x2 恒有

f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2

那么称 f(x) 在 I 上的图形是（向上）凹的（凹弧）；如果恒有 f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2

那么称 f(x) 在 I 上的图形是（向上）凸的（凸弧）

定理： 设 f(x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内具有一阶和二阶导数，那么

(1) 若在 (a,b) 内 f′′(x)>0 ,则 f(x) 在 [a,b] 上的图形是凹的

(2) 若在 (a,b) 内 f′′(x)<0 ,则 f(x) 在 [a,b] 上的图形是凸的

若 f(x) 在 (a,b) 内具有二阶导数，那么对于拐点有 f′′(x0)=0

曲率

弧微分公式： ds=1+y′2−−−−−−√dx

曲率： K=limΔs→0|ΔαΔs|

直线上任意一点曲率为0

圆上任意一点曲率为 1r

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积分

连续函数一定有原函数

如果一个函数有原函数那么它就有无穷多个原函数

常用积分公式 .

(1) ∫kdx=kx+C

(2) ∫xμdx=xμ+1μ+1+C(μ≠−1)

(3) ∫1xdx=lnx+C

(4) ∫axdx=axlna+C

(5) ∫cosxdx=sinx+C

(6) ∫sinxdx=−cosx+C

(7) ∫tanxdx=−lncosx+C

(8) ∫lnxdx=xlnx−x+C

换元法

复合函数貌似没有统一的求积分公式QAQ

第一类换元法 ：

设 f(u) 具有原函数， u=φ(x) 可导，则有换元公式

∫f[φ(x)]φ′(x)dx=[∫f(u)du]u=φ(x)

ex1. 求 ∫2xex2dx

设 u=x2

∫2xex2dx=∫euu′dx=∫eudu=ex2+C

第二类换元法 ：

设 x=ψ(t) 是单调的可导函数，并且 ψ′(t)≠0 .又设 f[ψ(t)]ψ′(t) 具有原函数，则有换元公式

∫f(x)dx=[∫f[ψ(t)]ψ′(t)dt]t=ψ−1(x)

分部积分法

分部积分公式：

∫uv′dx=uv−∫u′vdx

也可以写成： ∫udv=uv−∫vdu

不想写了QAQ