第二单元 用python学习微积分（十四）无穷小量和不定积分

本文内容来自于学习麻省理工学院公开课：单变量微积分-无穷小量和不定积分-网易公开课

开发环境准备：CSDN

目录

一、无穷小量

二、不定积分

1、 ​,这个式子的含义是求谁的导数是sinx

2、 ​

3、 ​

4、 ​

5、 ​

6、 ​

三、例子

1、 ​

2、 ​

3、 ​

4、 ​

5、 ​

6、 ​

一、无穷小量

有函数y = f(x)

y的微分写作：

莱布尼茨的写法，把导数记作为两个无穷小量的比，按老师的说法这种比值的写法更流行，更接近直觉，更易于理解和使用）

dx 取代了

dy 取代了

​

添加图片注释，不超过 140 字（可选）

例子：

(值得注意的是这里的dy实际是 \Delta y ,而并不是无穷小量）

感觉这里老师是用另一种方式阐释了线性近似，因为dy/dx其实取得是x=64时的斜率，而后面dx用的其实是

用线性近似

公式算一遍

二、不定积分

, G(x) 称做g的反导数或g的不定积分

1、

,这个式子的含义是求谁的导数是sinx

from sympy import *
import numpy as np 
x = symbols('x')
y = integrate(1/(x*ln(x)))
y
           

​

G(x) = -cos(x)

G'(x) = sin(x)

这里也可以写成

(c是常数)

G(x) = -cos(x) + c

所以叫做不定积分

2、

因为...

3、

当x>0时，结果正确

当x<0时，

from sympy import *
import numpy as np 

import matplotlib.pyplot as plt 

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)
ax.spines['left'].set_position('zero')
ax.spines['bottom'].set_position('zero')
ax.spines['right'].set_color('none')
ax.spines['top'].set_color('none')
ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax.yaxis.set_ticks_position('left')
ax.set_aspect(1 ) 

def DrawXY(xFrom,xTo,steps,expr,color,label,plt):
    yarr = []
    xarr = np.linspace(xFrom ,xTo, steps) 
    for xval in xarr:
        yval = expr.subs(x,xval)
        yarr.append(yval)
    y_nparr = np.array(yarr) 
    plt.plot(xarr, y_nparr, c=color, label=label)    

def TangentLine(exprY,x0Val,xVal):
    diffExpr = diff(exprY)
    x1,y1,xo,yo = symbols('x1 y1 xo yo')
    expr = (y1-yo)/(x1-xo) - diffExpr.subs(x,x0Val)
    eq = expr.subs(xo,x0Val).subs(x1,xVal).subs(yo,exprY.subs(x,x0Val))
    eq1 = Eq(eq,0)
    solveY = solve(eq1)
    return xVal,solveY

def DrawTangentLine(exprY, x0Val,xVal1, xVal2, clr, txt):
    x1,y1 = TangentLine(exprY, x0Val, xVal1)
    x2,y2 = TangentLine(exprY, x0Val, xVal2)
    plt.plot([x1,x2],[y1,y2], color = clr, label=txt)
    
def Newton(expr, x0):
    ret = x0 - expr.subs(x, x0)/ expr.diff().subs(x,x0)
    return ret

x = symbols('x')
y = ln(x)
DrawXY(0.1,4,100,y,'blue','y = ln(x) x>0',plt)
y = ln(0-x)
DrawXY(-0.1,-4,100,y,'blue','y = ln(-x) x<0',plt)


plt.legend(loc='lower right')
plt.show()
           

​

添加图片注释，不超过 140 字（可选）

4、

5、

6、

积分的唯一性要看它的常数

当

证明：如果 F' = G'

(F-G)' = F' - G' = 0

所以 F(x) -G(x) = c => F(x) = G(x) + c

三、例子

1、

这里做积分有一个技巧 ，换元法：

把这个带入上面的积分式子

2、

推荐的方法——提前猜测：

假设你一眼看出这个会最终导向

就试一试

所以

3、

猜测法

4、

猜测法

5、

换元法：u = sin(x) du= cos(x)

猜测法

另

6、

from sympy import *
import numpy as np 
x = symbols('x')
y = integrate(1/(x*ln(x)))
y
           

​