第二單元 用python學習微積分（十四）無窮小量和不定積分

本文内容來自于學習麻省理工學院公開課：單變量微積分-無窮小量和不定積分-網易公開課

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目錄

一、無窮小量

二、不定積分

1、 ​,這個式子的含義是求誰的導數是sinx

2、 ​

3、 ​

4、 ​

5、 ​

6、 ​

三、例子

1、 ​

2、 ​

3、 ​

4、 ​

5、 ​

6、 ​

一、無窮小量

有函數y = f(x)

y的微分寫作：

萊布尼茨的寫法，把導數記作為兩個無窮小量的比，按老師的說法這種比值的寫法更流行，更接近直覺，更易于了解和使用）

dx 取代了

dy 取代了

​

添加圖檔注釋，不超過 140 字（可選）

例子：

(值得注意的是這裡的dy實際是 \Delta y ,而并不是無窮小量）

感覺這裡老師是用另一種方式闡釋了線性近似，因為dy/dx其實取得是x=64時的斜率，而後面dx用的其實是

用線性近似

公式算一遍

二、不定積分

, G(x) 稱做g的反導數或g的不定積分

1、

,這個式子的含義是求誰的導數是sinx

from sympy import *
import numpy as np 
x = symbols('x')
y = integrate(1/(x*ln(x)))
y
           

​

G(x) = -cos(x)

G'(x) = sin(x)

這裡也可以寫成

(c是常數)

G(x) = -cos(x) + c

是以叫做不定積分

2、

因為...

3、

當x>0時，結果正确

當x<0時，

from sympy import *
import numpy as np 

import matplotlib.pyplot as plt 

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)
ax.spines['left'].set_position('zero')
ax.spines['bottom'].set_position('zero')
ax.spines['right'].set_color('none')
ax.spines['top'].set_color('none')
ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax.yaxis.set_ticks_position('left')
ax.set_aspect(1 ) 

def DrawXY(xFrom,xTo,steps,expr,color,label,plt):
    yarr = []
    xarr = np.linspace(xFrom ,xTo, steps) 
    for xval in xarr:
        yval = expr.subs(x,xval)
        yarr.append(yval)
    y_nparr = np.array(yarr) 
    plt.plot(xarr, y_nparr, c=color, label=label)    

def TangentLine(exprY,x0Val,xVal):
    diffExpr = diff(exprY)
    x1,y1,xo,yo = symbols('x1 y1 xo yo')
    expr = (y1-yo)/(x1-xo) - diffExpr.subs(x,x0Val)
    eq = expr.subs(xo,x0Val).subs(x1,xVal).subs(yo,exprY.subs(x,x0Val))
    eq1 = Eq(eq,0)
    solveY = solve(eq1)
    return xVal,solveY

def DrawTangentLine(exprY, x0Val,xVal1, xVal2, clr, txt):
    x1,y1 = TangentLine(exprY, x0Val, xVal1)
    x2,y2 = TangentLine(exprY, x0Val, xVal2)
    plt.plot([x1,x2],[y1,y2], color = clr, label=txt)
    
def Newton(expr, x0):
    ret = x0 - expr.subs(x, x0)/ expr.diff().subs(x,x0)
    return ret

x = symbols('x')
y = ln(x)
DrawXY(0.1,4,100,y,'blue','y = ln(x) x>0',plt)
y = ln(0-x)
DrawXY(-0.1,-4,100,y,'blue','y = ln(-x) x<0',plt)


plt.legend(loc='lower right')
plt.show()
           

​

添加圖檔注釋，不超過 140 字（可選）

4、

5、

6、

積分的唯一性要看它的常數

當

證明：如果 F' = G'

(F-G)' = F' - G' = 0

是以 F(x) -G(x) = c => F(x) = G(x) + c

三、例子

1、

這裡做積分有一個技巧 ，換元法：

把這個帶入上面的積分式子

2、

推薦的方法——提前猜測：

假設你一眼看出這個會最終導向

就試一試

是以

3、

猜測法

4、

猜測法

5、

換元法：u = sin(x) du= cos(x)

猜測法

另

6、

from sympy import *
import numpy as np 
x = symbols('x')
y = integrate(1/(x*ln(x)))
y
           

​