多元函數微分法及其應用
由一進制微分演化而來
1 多元函數
一、函數——極限——連續
分段函數-分片函數；趨于定點的方式；不連續點的證明方法，連續函數的性質
- 聚點=内點+邊界
- 鄰域( O ( M , δ ) O(M,\delta) O(M,δ)) → \rightarrow →開集 内點 → \rightarrow →開集 （不帶“=”）
- 點集的所有邊界點稱為邊界(邊界是點集)，邊界不一定封閉（如：x ≥ \geq ≥y）
-
開集+連通=開區域 開區域+邊界=閉區域
P3 定義1：二進制函數的定義
模型：和式的極限
步驟：1.分割 2.求和 3.取極限
- 孤立點是邊界點，不是聚點
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1.定義2 極限: P 0 ( x 0 , y 0 ) 是 定 義 域 D 的 聚 點 ， ∀ ϵ > 0 , ∃ δ > 0 , 當 0 < ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 < δ 時 , 恒 有 ∣ f ( x , y ) − A ∣ < ϵ P_0(x_0,y_0)是定義域D的聚點，\forall\ \epsilon>0,\exists\ \delta>0,當0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta時,恒有\left|f(x,y)-A\right|<\epsilon P0(x0,y0)是定義域D的聚點，∀ ϵ>0,∃ δ>0,當0<(x−x0)2+(y−y0)2
<δ時,恒有∣f(x,y)−A∣<ϵ
- 2.(後者有先後) lim x → x 0 y → y 0 f ( x , y ) ≠ lim x → x 0 lim y → y 0 f ( x , y ) \lim\limits_{x\to x_0 \\ y\to y_0}f(x,y) \ne \lim\limits_{x\to x_0}\lim\limits_{y\to y_0} f(x,y) x→x0y→y0limf(x,y)=x→x0limy→y0limf(x,y)
- 3. lim x → 0 y → 0 sin ( x 2 y ) x 2 + y 2 = lim x → 0 y → 0 sin ( x 2 y ) x 2 y x 2 y x 2 + y 2 ≤ 1 ⋅ ∣ x ∣ 2 = 0 × lim x → 0 y → 0 sin ( x 2 y ) x 2 + y 2 ≤ lim x → 0 y → 0 x 2 y x 2 + y 2 ≤ ∣ x ∣ 2 = 0 ✓ \lim\limits_{x\to 0 \\ y\to 0}\dfrac{\sin(x^2y)}{x^2+y^2}= \lim\limits_{x\to 0 \\ y\to 0}\dfrac{\sin(x^2y)}{\color{Red}x^2y}\dfrac{\color{Red}x^2y}{x^2+y^2} \le 1\cdot\dfrac{|x|}{2}=0 \ \times \\ \lim\limits_{x\to 0 \\ y\to 0}\dfrac{\sin(x^2y)}{x^2+y^2} \le \lim\limits_{x\to 0 \\ y\to 0}\dfrac{x^2y}{x^2+y^2} \le \dfrac{|x|}{2}=0 \ \checkmark x→0y→0limx2+y2sin(x2y)=x→0y→0limx2ysin(x2y)x2+y2x2y≤1⋅2∣x∣=0 ×x→0y→0limx2+y2sin(x2y)≤x→0y→0limx2+y2x2y≤2∣x∣=0 ✓
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4.例： 求 lim x → 0 y → 0 x 3 + y 3 x 2 + y 2 {\color{blue}求\lim\limits_{x\to 0 \\ y\to 0}\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2}} 求x→0y→0limx2+y2x3+y3 使用極坐标
解 ： 取 x = ρ cos θ , y = ρ sin θ 原 式 = lim ρ → 0 ρ ( sin 3 θ + cos 3 θ ) ≤ lim ρ → 0 ρ = 0 解：取x=\rho\cos\theta,y=\rho\sin\theta \\原式=\lim\limits_{\rho\to 0}\rho(\sin^3\theta+\cos^3\theta) \le \lim\limits_{\rho\to 0}\rho=0 解：取x=ρcosθ,y=ρsinθ原式=ρ→0limρ(sin3θ+cos3θ)≤ρ→0limρ=0
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f x ( 0 , 0 ) 是 否 存 在 , 看 f_x(0,0)是否存在,看 fx(0,0)是否存在,看
lim x → 0 f ( x , 0 ) − f ( 0 , 0 ) x − 0 \lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0} x→0limx−0f(x,0)−f(0,0)
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- 确定極限不存在的方法：
- 例 y = k x y=kx y=kx,若極限值與== k k k==有關，可斷言極限不存在
- 不同種趨近方式使 lim x → x 0 y → y 0 f ( x , y ) \lim\limits_{x\to x_0 \\ y\to y_0}f(x,y) x→x0y→y0limf(x,y)存在但兩者不相等，可斷言極限不存在
- P5 定義3 連續性：若 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)的某鄰域有意義，則 lim x → x 0 y → y 0 f ( x , y ) = f ( x 0 , y 0 ) \lim\limits_{x\rightarrow x_0 \\ y\rightarrow y_0}f(x,y)=f(x_0,y_0) x→x0y→y0limf(x,y)=f(x0,y0) ⟺ \iff ⟺ f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在點 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)連續
- 定理3 複合函數連續性
- 有界性定理
- 最值定理
- 媒體定理
二、偏導數
- 求 分界點，不連續點 處的偏導數要用 定義 求（一進制函數不連續必不可導，多元函數不連續可能偏導數存在）
- 求偏導數複雜可轉化為求導數： ∂ z ∂ x ∣ ( x 0 , y 0 ) = d z ( x 0 , y 0 ) d x ∣ x = x 0 \left.\dfrac{\partial z}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)}=\left.\dfrac{dz(x_0,y_0)}{dx}\right|_{x=x_0} ∂x∂z∣∣∣∣(x0,y0)=dxdz(x0,y0)∣∣∣∣x=x0.
例： f ( x , y ) = ∣ x y ∣ , 求 f x ( 0 , 0 ) {\color{blue}f(x,y)=\sqrt{|xy|} ,求f_x(0,0)} f(x,y)=∣xy∣
,求fx(0,0)
解：
f ( x , y ) = { x y 一 三 象 限 − x y 二 四 象 限 0 坐 标 軸 上 則 f x ( 0 , 0 ) = lim Δ x → 0 ( 0 + Δ x ) ⋅ 0 − 0 ⋅ 0 Δ x = 0 f(x,y)=\begin{cases}\sqrt{xy} \ 一三象限\\ \sqrt{-xy} \ 二四象限\\ 0 \ 坐标軸上\end{cases} \\ 則 f_x(0,0)=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow0}\dfrac{\sqrt{(0+\Delta x)\cdot0}-\sqrt{0\cdot0}}{\Delta x}=0 f(x,y)=⎩⎪⎨⎪⎧xy
一三象限−xy
二四象限0 坐标軸上則fx(0,0)=Δx→0limΔx(0+Δx)⋅0
−0⋅0
=0
- 多元函數偏導存在不一定連續
-
高階偏導數（ 混 合 偏 導 ： f x y , f y x 純 偏 導 ： f x x , f y y 混合偏導：f_{xy},f_{yx}\ 純偏導：f_{xx},f_{yy} 混合偏導：fxy,fyx 純偏導：fxx,fyy）
若兩個混合偏導數連續，則 f x y = f y x f_{xy}=f_{yx} fxy=fyx.
三、全微分
- 全增量 ( Δ z ) (\Delta z) (Δz)=全微分 ( A Δ x + B Δ y ) (A\Delta x+B\Delta y) (AΔx+BΔy)+ o ( ρ ) o(\rho) o(ρ)
-
1.稱 Δ z \Delta z Δz為 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)對應于 Δ x , Δ y \Delta x,\Delta y Δx,Δy的全增量
Δ z = f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) \Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0) Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0).
-
2. Δ z \Delta z Δz能分解為線性主部 A Δ x + B Δ y A\Delta x+B\Delta y AΔx+BΔy和高階無窮小量 o ( ρ ) ( ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 ) o(\rho)(\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}) o(ρ)(ρ=(Δx)2+(Δy)2
)，
稱 d z = A Δ x + B Δ y dz=A\Delta x+B\Delta y dz=AΔx+BΔy為 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)的全微分.
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- 三個定理：
- 1.定理3：可微 ⇒ \Rightarrow ⇒連續
- 2.定理4：可微 ⇒ \Rightarrow ⇒偏導存在
- 3.定理5：偏導存在+偏導數連續 ⇒ \Rightarrow ⇒可微
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近似計算（ 忽 略 o ( ρ ) 忽略o(\rho) 忽略o(ρ)）: f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) = f ( x 0 , y 0 ) + f x ′ ( x 0 , y 0 ) Δ x + f y ′ ( x 0 , y 0 ) Δ y f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)=f(x_0,y_0)+f'_x(x_0,y_0)\Delta x+f'_y(x_0,y_0)\Delta y f(x0+Δx,y0+Δy)=f(x0,y0)+fx′(x0,y0)Δx+fy′(x0,y0)Δy
例：
( 1 ) 求 ( 1.04 ) 2.02 ( 2 ) 求 l n ( 1.03 3 + 0.98 4 − 1 ) {\color{blue}(1)求(1.04)^{2.02}\ \ (2)求ln(\sqrt[3]{1.03}+\sqrt[4]{0.98}-1)} (1)求(1.04)2.02 (2)求ln(31.03
+40.98
−1)
解：（1）
設 函 數 f ( x , y ) = x y ， 取 x 0 = 1 , y 0 = 2 , Δ x = 0.04 , Δ y = 0.02 且 f x = y x y − 1 , f y = x y l n x . 故 f x ( 1 , 2 ) = 2 , f y ( 1 , 2 ) = 0 ( 1.04 ) 2 . 02 = 1 2 + 2 × 0.04 + 0 × 0.02 = 1.08 設函數f(x,y)=x^y，取x_0=1,y_0=2,\Delta x=0.04,\Delta y=0.02\\ 且f_x=yx^{y-1},f_y=x^ylnx.故f_x(1,2)=2,f_y(1,2)=0\\ (1.04)^2.02=1^2+2 \times 0.04+0 \times 0.02=1.08 設函數f(x,y)=xy，取x0=1,y0=2,Δx=0.04,Δy=0.02且fx=yxy−1,fy=xylnx.故fx(1,2)=2,fy(1,2)=0(1.04)2.02=12+2×0.04+0×0.02=1.08
（2）
設 函 數 f ( x , y ) = l n ( x 3 + y 4 − 1 ) ， 取 x 1 = 1 , y 0 = 1 , Δ x = 0.03 , Δ y = − 0.02 且 f x = 1 3 x 2 3 ( x 3 + y 4 − 1 ) , f y = 1 4 y 3 4 ( x 3 + y 4 − 1 ) . 故 f x ( 1 , 1 ) = 1 3 , f y ( 1 , 1 ) = 1 4 l n ( 1.03 3 + 0.98 4 − 1 ) = 0 + 1 3 × 0.03 + 1 4 × ( − 0.02 ) = 0.005 設函數f(x,y)=ln(\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{y}-1)，取x_1=1,y_0=1,\Delta x=0.03,\Delta y=-0.02\\ 且f_x=\dfrac{1}{3x^{\frac{2}{3}}(\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{y}-1)},f_y=\dfrac{1}{4y^{\frac{3}{4}}(\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{y}-1)}.故f_x(1,1)=\frac{1}{3},f_y(1,1)=\frac{1}{4}\\ ln(\sqrt[3]{1.03}+\sqrt[4]{0.98}-1)=0+\frac{1}{3} \times 0.03+\frac{1}{4} \times (-0.02)=0.005 設函數f(x,y)=ln(3x
+4y
−1)，取x1=1,y0=1,Δx=0.03,Δy=−0.02且fx=3x32(3x
+4y
−1)1,fy=4y43(3x
+4y
−1)1.故fx(1,1)=31,fy(1,1)=41ln(31.03
+40.98
−1)=0+31×0.03+41×(−0.02)=0.005
- 證明全微分存在（判斷可微的步驟）：（ Δ z ， f x ( x 0 , y 0 ) ， f y ( x 0 , y 0 ) ， ρ \Delta z，f_x(x_0,y_0)，f_y(x_0,y_0)，\rho Δz，fx(x0,y0)，fy(x0,y0)，ρ ）
- 1.求出 f x ′ ( x , u ) ， f y ′ ( x , y ) f'_x(x,u)，f'_y(x,y) fx′(x,u)，fy′(x,y)，若偏導數在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)處不連續，則不可微；計算 A = f x ′ ( x , u ) , B = f y ′ ( x , y ) A=f'_x(x,u),B=f'_y(x,y) A=fx′(x,u),B=fy′(x,y)，若其中至少有一個不存在，則不可微；若都存在，進入第二步
-
2.計算
lim ρ → 0 + Δ z − ( A Δ x + B Δ y ) ρ = 0 ( ? ) \lim\limits_{\rho\rightarrow0^+}\dfrac{\Delta z-(A\Delta x+B\Delta y)}{\rho}=0\ (?) ρ→0+limρΔz−(AΔx+BΔy)=0 (?)
其中
Δ z = f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0) \\ \rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)ρ=(Δx)2+(Δy)2
若等于0，則可微（等價條件）
多元函數微分學（微積分）多元函數微分法及其應用 解：
（1）證f(x,y)連續：即證 lim x → x 0 y → y 0 f ( x , y ) = f ( x 0 , y 0 ) \lim\limits_{x\rightarrow x_0 \\ y\rightarrow y_0}f(x,y)=f(x_0,y_0) x→x0y→y0limf(x,y)=f(x0,y0)
（2）證偏導數存在：即證 f x ( x 0 , y 0 ) = lim x → x 0 f ( x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) x f_x(x_0,y_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x} fx(x0,y0)=x→x0limxf(x,y0)−f(x0,y0)為定值
（3）證偏導數不連續
（4）證可微：即證 lim ρ → 0 + f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) − ( A Δ x + B Δ y ) ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 = 0 \lim\limits_{\rho\rightarrow0^+}\dfrac{f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)-(A\Delta x+B\Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}=0 ρ→0+lim(Δx)2+(Δy)2
f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)−(AΔx+BΔy)=0
$$
- 疊加原理：多元函數的全微分等于其多個偏微分之和。（ d z = ∂ z ∂ x d x + ∂ z ∂ y d y dz=\dfrac{\partial z}{\partial x}dx+\dfrac{\partial z}{\partial y}dy dz=∂x∂zdx+∂y∂zdy）
-
全微分不變性：不論 u , v u,v u,v是自變量還是中間變量，對于 z = f ( u , v ) z=f(u,v) z=f(u,v)，都有 d z = f u d u + f v d v dz=f_udu+f_vdv dz=fudu+fvdv.
例： 設 u = sin ( x 2 + y 2 ) + e x z , 求 在 ( 1 , 0 , 1 ) 處 的 全 微 分 d u . \color{blue}設u=\sin(x^2+y^2)+e^{xz},求在(1,0,1)處的全微分du. 設u=sin(x2+y2)+exz,求在(1,0,1)處的全微分du.
解:
d u = cos ( x 2 + y 2 ) d ( x 2 + y 2 ) + e x z d ( x z ) = cos ( x 2 + y 2 ) ( 2 x d x + 2 y d y ) + e x z ( z d x + x d z ) = ( 2 cos 1 + e ) d x + e d z . du= \cos(x^2+y^2)d(x^2+y^2)+e^{xz}d(xz) \\ =\cos(x^2+y^2)(2xdx+2ydy)+e^{xz}(zdx+xdz) \\ =(2\cos1+e)dx+edz. du=cos(x2+y2)d(x2+y2)+exzd(xz)=cos(x2+y2)(2xdx+2ydy)+exz(zdx+xdz)=(2cos1+e)dx+edz.
四、複合函數微分法
-
鍊式法則：
d z d t = ∂ z ∂ x d x d t + ∂ z ∂ y d y d t d z d u = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ u o r d z d w = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ w + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ w \dfrac{dz}{dt}=\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{{\color{red}d} x}{{\color{red}d}t}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{{\color{red}d}y}{{\color{red}d}t} \\ \dfrac{dz}{du}=\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{{\color{red}\partial}x}{{\color{red}\partial}u}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{{\color{red}\partial}y}{{\color{red}\partial}u}\ or\ \dfrac{dz}{dw}=\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{{\color{red}\partial}x}{{\color{red}\partial}w}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{{\color{red}\partial}y}{{\color{red}\partial}w} dtdz=∂x∂zdtdx+∂y∂zdtdydudz=∂x∂z∂u∂x+∂y∂z∂u∂y or dwdz=∂x∂z∂w∂x+∂y∂z∂w∂y
-
例： z = f ( u , x , y ) , 其 中 u = ϕ ( x , y ) ， 求 ∂ z ∂ x 和 ∂ z ∂ y \color{blue}z=f(u,x,y),其中u=\phi(x,y)，求\dfrac{\partial z}{\partial x}和\dfrac{\partial z}{\partial y} z=f(u,x,y),其中u=ϕ(x,y)，求∂x∂z和∂y∂z.
解：
z = f ( ϕ ( x , y ) , x , y ) . 令 w = x , v = y ∂ z ∂ x = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ w d w d x . ∂ z ∂ y = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v d v d y . z=f(\phi(x,y),x,y).令w=x,v=y \\ \dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial f}{\partial w}\dfrac{dw}{dx}. \\ \dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{\partial f}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial y}+\dfrac{\partial f}{\partial v}\dfrac{dv}{dy}. z=f(ϕ(x,y),x,y).令w=x,v=y∂x∂z=∂u∂f∂x∂u+∂w∂fdxdw.∂y∂z=∂u∂f∂y∂u+∂v∂fdydv.
差別： z = f ( u , x , y ) V S z = f ( ϕ ( x , y ) , x , y ) z=f(u,x,y)\ VS\ z=f(\phi(x,y),x,y) z=f(u,x,y) VS z=f(ϕ(x,y),x,y).（ ∂ z ∂ x ≠ ∂ f ∂ x = f 2 \dfrac{\partial z}{\partial x}\ne \dfrac{\partial f}{\partial x}=f_2 ∂x∂z=∂x∂f=f2）
- 做題先寫公式
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例3： w = f ( x + y + z . x y z ) , f 具 有 二 階 連 續 偏 導 ， 求 ∂ w ∂ x 和 ∂ 2 w ∂ x ∂ z {\color{blue}w=f(x+y+z.xyz),f具有二階連續偏導，求\dfrac{\partial w}{\partial x}和\dfrac{\partial^2 w}{\partial x \partial z}} w=f(x+y+z.xyz),f具有二階連續偏導，求∂x∂w和∂x∂z∂2w.
解：
令 u = x + y + z , v = x y z ( 1 ) ∂ w ∂ x = ∂ w ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ w ∂ v ∂ v ∂ x = f 1 ( u , v ) + f 2 ( u , v ) y z . ( 2 ) ∂ 2 w ∂ x ∂ z = f 11 ( u , v ) + f 12 ( u , v ) x y + y z ( f 21 ( u , v ) + f 22 ( u , v ) x y ) = f 12 ( u , v ) y ( x + z ) + f 11 ( u , v ) + f 22 ( u , v ) x y 2 z . （ ∵ f 二 階 連 續 偏 導 ） 令u=x+y+z,v=xyz \\ (1)\dfrac{\partial w}{\partial x}=\dfrac{\partial w}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial w}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x}=f_1(u,v)+f_2(u,v)yz.\\ (2)\dfrac{\partial^2 w}{\partial x \partial z}=f_{11}(u,v)+f_{12}(u,v)xy+yz(f_{21}(u,v)+f_{22}(u,v)xy)\\ =f_{12}(u,v)y(x+z)+f_{11}(u,v)+f_{22}(u,v)xy^2z.（\because f二階連續偏導） 令u=x+y+z,v=xyz(1)∂x∂w=∂u∂w∂x∂u+∂v∂w∂x∂v=f1(u,v)+f2(u,v)yz.(2)∂x∂z∂2w=f11(u,v)+f12(u,v)xy+yz(f21(u,v)+f22(u,v)xy)=f12(u,v)y(x+z)+f11(u,v)+f22(u,v)xy2z.（∵f二階連續偏導）
五、隐函數
- 一個方程時（二進制函數、三元函數）：
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條件1： F ( x 0 , y 0 ) = 0 F(x_0,y_0)=0 F(x0,y0)=0
條件2： F x , F y 連 續 F_x,F_y連續 Fx,Fy連續
條件3： F y ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 F_y(x_0,y_0)\ne0 Fy(x0,y0)=0
則：存在唯一 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)且 f ′ ( x ) = d y d x = − F x F y f'(x)=\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{F_x}{F_y} f′(x)=dxdy=−FyFx.
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條件1： F ( x 0 , y 0 , z 0 ) = 0 F(x_0,y_0,z_0)=0 F(x0,y0,z0)=0
條件2： F x , F y , F z 連 續 F_x,F_y,F_z連續 Fx,Fy,Fz連續
條件3： F z ( x 0 , y 0 , z 0 ) ≠ 0 F_z(x_0,y_0,z_0)\ne0 Fz(x0,y0,z0)=0
則：存在唯一 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)且 d z d x = − F x F z , d z d y = − F y F z \dfrac{dz}{dx}=-\dfrac{F_x}{F_z},\dfrac{dz}{dy}=-\dfrac{F_y}{F_z} dxdz=−FzFx,dydz=−FzFy.
例： x 2 + y 2 + z 2 − 4 z = 0 , 求 ∂ 2 z ∂ x 2 \color{blue}x^2+y^2+z^2-4z=0,求\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2} x2+y2+z2−4z=0,求∂x2∂2z
令 F ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 − 4 z = 0 F x = 2 x , F z = 2 z − 4. ∂ z ∂ x = − 2 x 2 z − 4 = x 2 − z , ∂ 2 z ∂ x 2 = ∂ ∂ x ( x 2 − z ) = 2 − z + x z x ( 2 − z ) 2 = ( 2 − z ) 2 + x 2 ( 2 − z ) 3 . 令F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-4z=0 \\ F_x=2x,F_z=2z-4. \\ \dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{2x}{2z-4}=\dfrac{x}{2-z},\\ \dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}={\color{red}\dfrac{\partial}{\partial x}(\dfrac{x}{2-z})}=\dfrac{2-z+xz_x}{(2-z)^2}=\dfrac{(2-z)^2+x^2}{(2-z)^3}. 令F(x,y,z)=x2+y2+z2−4z=0Fx=2x,Fz=2z−4.∂x∂z=−2z−42x=2−zx,∂x2∂2z=∂x∂(2−zx)=(2−z)22−z+xzx=(2−z)3(2−z)2+x2.
例： z = f ( x + y + z , x y z ) , 求 ∂ z ∂ x \color{blue}z=f(x+y+z,xyz),求\dfrac{\partial z}{\partial x} z=f(x+y+z,xyz),求∂x∂z
法1:
F ( x , y , z ) = z − f ( x + y + z , x y z ) F x = − f 1 ′ − y z f 2 ′ , F z = 1 − f 1 ′ − x y f 2 ′ . ∴ ∂ z ∂ x = f 1 ′ + y z f 2 ′ 1 − f 1 ′ − x y f 2 ′ . \color{red}F(x,y,z)=z-f(x+y+z,xyz) \\ F_x=-f'_1-yzf'_2,F_z=1-f'_1-xyf'_2. \\ \therefore \dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{f'_1+yzf'_2}{1-f'_1-xyf'_2}. F(x,y,z)=z−f(x+y+z,xyz)Fx=−f1′−yzf2′,Fz=1−f1′−xyf2′.∴∂x∂z=1−f1′−xyf2′f1′+yzf2′.
法2：
等 式 兩 邊 看 成 x , y 的 函 數 對 x 求 偏 導 ： ∂ z ∂ x = f 1 ′ ( 1 + ∂ z ∂ x ) + f 2 ′ ( y z + x y ∂ z ∂ x ) ∴ ∂ z ∂ x = f 1 ′ + y z f 2 ′ 1 − f 1 ′ − x y f 2 ′ {\color{red}等式兩邊看成x,y的函數對x求偏導}：\dfrac{\partial z}{\partial x}=f'_1(1+\dfrac{\partial z}{\partial x})+f'_2(yz+xy\dfrac{\partial z}{\partial x}) \\ \therefore \dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{f'_1+yzf'_2}{1-f'_1-xyf'_2} 等式兩邊看成x,y的函數對x求偏導：∂x∂z=f1′(1+∂x∂z)+f2′(yz+xy∂x∂z)∴∂x∂z=1−f1′−xyf2′f1′+yzf2′
-
- 方程組時：由 { F ( x , y , u , v ) = 0 G ( x , y , u , v ) = 0 \begin{cases}F(x,y,u,v)=0 \\G(x,y,u,v)=0\end{cases} {F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0确定隐函數 u = u ( x , y ) , v = v ( x , y ) u=u(x,y),v=v(x,y) u=u(x,y),v=v(x,y)
-
克萊姆法則（聯立求 ∂ u ∂ x , ∂ v ∂ x \dfrac{\partial u}{\partial x},\dfrac{\partial v}{\partial x} ∂x∂u,∂x∂v等即可）
{ F x ′ + F u ′ ∂ u ∂ x + F v ′ ∂ v ∂ x = 0 , G x ′ + G u ′ ∂ u ∂ x + G v ′ ∂ v ∂ x = 0. \begin{cases}F'_x+F'_u\dfrac{\partial u}{\partial x}+F'_v\dfrac{\partial v}{\partial x}=0, \\G'_x+G'_u\dfrac{\partial u}{\partial x}+G'_v\dfrac{\partial v}{\partial x}=0.\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧Fx′+Fu′∂x∂u+Fv′∂x∂v=0,Gx′+Gu′∂x∂u+Gv′∂x∂v=0.
-
2 偏導應用
一、幾何應用
- 曲線
- 參數方程形式 x = x ( t ) , y = y ( t ) , z = z ( t ) x = x(t), y = y(t), z = z(t) x=x(t),y=y(t),z=z(t).取點 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)
- 切線： x − x 0 x ′ ( t 0 ) = y − y 0 y ′ ( t 0 ) = z − z 0 z ′ ( t 0 ) \dfrac{x-x_0}{x'(t_0)} = \dfrac{y-y_0}{y'(t_0)} = \dfrac{z-z_0}{z'(t_0)} x′(t0)x−x0=y′(t0)y−y0=z′(t0)z−z0.（兩點式）
-
切向量（切線的方向向量）： l ⃗ = ( x ′ ( t 0 ) , y ′ ( t 0 ) , z ′ ( t 0 ) ) \vec{l} = (x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0)) l
=(x′(t0),y′(t0),z′(t0)).
- 法平面（與 P 0 P_0 P0處切線垂直的平面）： x ′ ( t 0 ) ( x − x 0 ) + y ′ ( t 0 ) ( y − y 0 ) + z ′ ( t 0 ) ( z − z 0 ) = 0 x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0 x′(t0)(x−x0)+y′(t0)(y−y0)+z′(t0)(z−z0)=0.
- 隐函數形式（兩曲面交線） { F ( x , y , z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0 \left\{\begin{matrix}F(x,y,z)=0 \\G(x, y, z)= 0\\\end{matrix}\right. {F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0
- 切線：
- 切向量:
l ⃗ = ∣ i j k F x F y F z G x G y G z ∣ = { ∣ F y F z G y G z ∣ , − ∣ F x F z G x G z ∣ , ∣ F x F y G x G y ∣ } \vec{l}= \begin{vmatrix}i & j & k \\ F_x & F_y & F_z \\ G_x & G_y & G_z \end{vmatrix}=\{\begin{vmatrix}F_y & F_z \\ G_y & G_z \end{vmatrix},-\begin{vmatrix}F_x & F_z \\ G_x & G_z \end{vmatrix},\begin{vmatrix}F_x & F_y \\ G_x & G_y \end{vmatrix}\} l
=∣∣∣∣∣∣iFxGxjFyGykFzGz∣∣∣∣∣∣={∣∣∣∣FyGyFzGz∣∣∣∣,−∣∣∣∣FxGxFzGz∣∣∣∣,∣∣∣∣FxGxFyGy∣∣∣∣}
- 法平面：
- 參數方程形式 x = x ( t ) , y = y ( t ) , z = z ( t ) x = x(t), y = y(t), z = z(t) x=x(t),y=y(t),z=z(t).取點 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)
- 曲面
- 一般方程為 F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0：
- 切平面： F x ′ ( x − x 0 ) + F y ′ ( y − y 0 ) + F z ′ ( z − z 0 ) = 0 F'_x(x-x_0)+F'_y(y-y_0)+F'_z(z-z_0)=0 Fx′(x−x0)+Fy′(y−y0)+Fz′(z−z0)=0.
- 法線方程（與 P 0 P_0 P0處垂直于切平面的法線）： x − x 0 F x ′ = y − y 0 F y ′ = z − z 0 F z ′ \dfrac{x-x_0}{F'_x}=\dfrac{y-y_0}{F'_y}=\dfrac{z-z_0}{F'_z} Fx′x−x0=Fy′y−y0=Fz′z−z0.
-
法向量（法線的方向向量）： n ⃗ = { F x ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) , F y ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) , F z ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) } \vec{n} =\{F'_x(x_0,y_0,z_0),F'_y(x_0,y_0,z_0),F'_z(x_0,y_0,z_0)\} n
={Fx′(x0,y0,z0),Fy′(x0,y0,z0),Fz′(x0,y0,z0)}.
-
當函數為 z = f ( x . y ) z=f(x.y) z=f(x.y)時，切平面方程為 F x ′ ( x 0 , y 0 ) ( x − x 0 ) + F y ′ ( x 0 , y 0 ) ( y − y 0 ) = ( z − z 0 ) F'_x(x_0,y_0)(x-x_0)+F'_y(x_0,y_0)(y-y_0)=(z-z_0) Fx′(x0,y0)(x−x0)+Fy′(x0,y0)(y−y0)=(z−z0).
表示函數 z = f ( x . y ) z=f(x.y) z=f(x.y)在點 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)的全微分的幾何意義指切平面上對應點的豎坐标的增量。
- 一般方程為 F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0：
二、方向導數與梯度
-
方向導數=平均變化率（ ρ → 0 \rho\rightarrow0 ρ→0）
∂ f ∂ l = ∂ z ∂ l = lim ρ → 0 f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) ρ ， 其 中 ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 . \dfrac{\partial f}{\partial l}=\dfrac{\partial z}{\partial l}=\lim\limits_{\rho\rightarrow0}\dfrac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\rho}，其中\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}. ∂l∂f=∂l∂z=ρ→0limρf(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)，其中ρ=(Δx)2+(Δy)2
.
P31 定理1：若函數 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)可微，則函數 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在點P沿任意射線 l l l的方向導數都存在，且 ∂ z ∂ l = ∂ z ∂ x cos α + ∂ z ∂ y cos β \dfrac{\partial z}{\partial l}=\dfrac{\partial z}{\partial x}\cos\alpha+\dfrac{\partial z}{\partial y}\cos\beta ∂l∂z=∂x∂zcosα+∂y∂zcosβ.
- 梯度（點P出發速度變化最快的方向）
-
對于平面 D D D上的每一點 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)都可定出一個速度變化最快的方向的向量 ∂ z ∂ x i ⃗ + ∂ z ∂ y j ⃗ \dfrac{\partial z}{\partial x}\vec i+\dfrac{\partial z}{\partial y}\vec j ∂x∂zi
+∂y∂zj
稱為函數在此點的梯度，記為 g r a d f ( x , y ) gradf(x,y) gradf(x,y).
-
由方向導數公式知， ∂ z ∂ l = ∂ z ∂ x cos α + ∂ z ∂ y cos β = ( ∂ z ∂ x i ⃗ + ∂ z ∂ y j ⃗ ) ( cos α i ⃗ + cos β j ⃗ ) = g r a d f ( x , y ) ⋅ l ⃗ \dfrac{\partial z}{\partial l}=\dfrac{\partial z}{\partial x}\cos\alpha+\dfrac{\partial z}{\partial y}\cos\beta=(\dfrac{\partial z}{\partial x}\vec i+\dfrac{\partial z}{\partial y}\vec j)(\cos\alpha\vec i+\cos\beta\vec j)=gradf(x,y)\cdot \vec l ∂l∂z=∂x∂zcosα+∂y∂zcosβ=(∂x∂zi
+∂y∂zj
)(cosαi
+cosβj
)=gradf(x,y)⋅l
，
故當==方向導數方向與法線矢量方向相同==時，方向導數的模最大，為 ∣ g r a d f ( x , y ) ∣ = ( ∂ f ∂ x ) 2 + ( ∂ f ∂ y ) 2 |gradf(x,y)|=\sqrt{(\dfrac{\partial f}{\partial x})^2+(\dfrac{\partial f}{\partial y})^2} ∣gradf(x,y)∣=(∂x∂f)2+(∂y∂f)2
，這個方向向量即為此點的梯度。
-
三、多元函數的極值
- 極值 f ( x 0 , y 0 ) f(x_0,y_0) f(x0,y0)，極值點 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0,y_0) P(x0,y0)
-
必要條件：極值存在== ⇒ \Rightarrow ⇒== f x ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 且 f y ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 f'_x(x_0,y_0)=0且f'_y(x_0,y_0)=0 fx′(x0,y0)=0且fy′(x0,y0)=0（駐點）
駐點不一定是極值點。例： z = x y z=xy z=xy中的 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)是駐點但不是極值點.
- 充分條件：
- （1） f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)有連續的二階偏導數（則 f x y ( x 0 , y 0 ) = f y x ( x 0 , y 0 ) f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0) fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0).
- （2） f x ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 且 f y ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 f'_x(x_0,y_0)=0且f'_y(x_0,y_0)=0 fx′(x0,y0)=0且fy′(x0,y0)=0.
- （3） [ f x y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) ] 2 − f x x ( x 0 , y 0 ) f y y ( x 0 , y 0 ) < 0. [f''_{\color{red}xy}(x_0,y_0)]^2-f_{\color{red}xx}(x_0,y_0)f_{\color{red}yy}(x_0,y_0)<0. [fxy′′(x0,y0)]2−fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)<0. ⇒ \Rightarrow ⇒ 極值存在，其中 f x x ( x 0 , y 0 ) < 0 f_{xx}(x_0,y_0)<0 fxx(x0,y0)<0有極大值， f x x ( x 0 , y 0 ) > 0 f_{xx}(x_0,y_0)>0 fxx(x0,y0)>0有極小值。
- 求法：
- 1.解方程 f x ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 和 f y ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 f'_x(x_0,y_0)=0和f'_y(x_0,y_0)=0 fx′(x0,y0)=0和fy′(x0,y0)=0得駐點
- 2.對每個駐點 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)，求 A = f x x ( x 0 , y 0 ) 、 B = f y y ( x 0 , y 0 ) 、 C = f x y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) A=f_{xx}(x_0,y_0) 、B=f_{yy}(x_0,y_0)、C=f''_{xy}(x_0,y_0) A=fxx(x0,y0)、B=fyy(x0,y0)、C=fxy′′(x0,y0)的值
- 3.由 B 2 − A C B^2-AC B2−AC的符号确定是否為極值點，由 A A A的符号确定極大值點或極小值點
例： 求 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x = 2 y − 4 z − 10 = 0 所 确 定 的 z = f ( x , y ) 的 極 值 \color{blue}求x^2+y^2+z^2-2x=2y-4z-10=0所确定的z=f(x,y)的極值 求x2+y2+z2−2x=2y−4z−10=0所确定的z=f(x,y)的極值
求 導 得 z x ′ = x − 1 2 − z ， z y ′ = y + 1 2 − z , 得 駐 點 為 P ( 1 , − 1 ) 求 二 階 導 z x x ′ ′ = 2 − z + ( x − 1 ) z x ′ 2 − z ， 則 z x x ′ ′ ∣ p = 1 2 − z . z x y ′ ′ = ( x − 1 ) z y ′ ( 2 − z ) 2 ， 則 z x y ′ ′ ∣ p = 0. z x y ′ ′ = 2 − z + ( y + 1 ) z y ( 2 − z ) 2 ， 則 z x x ′ ′ ∣ p = 1 2 − z . 故 B 2 − A C = − 1 ( 2 − z ) 2 < 0 ， 則 在 P 點 有 極 值 。 當 P ( 1 , − 1 ) 時 ， z = − 2 或 6. z = − 2 時 , A = 1 4 > 0 ， 為 極 小 值 。 z = 6 時 , A = − 1 4 < 0 ， 為 極 大 值 。 求導得z'_x=\dfrac{x-1}{2-z}，z'_y=\dfrac{y+1}{2-z},得駐點為P(1,-1) \\ 求二階導z''_{xx}=\dfrac{2-z+(x-1)z'_x}{2-z}，則z''_{xx}|_p=\dfrac{1}{2-z}. \\ z''_{xy}=\dfrac{(x-1)z'_y}{(2-z)^2}，則z''_{xy}|_p=0. \\ z''_{xy}=\dfrac{2-z+(y+1)z_y}{(2-z)^2}，則z''_{xx}|_p=\dfrac{1}{2-z}. \\ 故B^2-AC=-\dfrac{1}{(2-z)^2}<0，則在P點有極值。 當P(1,-1)時，z=-2或6.\\ z=-2時,A=\dfrac{1}{4}>0，為極小值。z=6時,A=-\dfrac{1}{4}<0，為極大值。 求導得zx′=2−zx−1，zy′=2−zy+1,得駐點為P(1,−1)求二階導zxx′′=2−z2−z+(x−1)zx′，則zxx′′∣p=2−z1.zxy′′=(2−z)2(x−1)zy′，則zxy′′∣p=0.zxy′′=(2−z)22−z+(y+1)zy，則zxx′′∣p=2−z1.故B2−AC=−(2−z)21<0，則在P點有極值。當P(1,−1)時，z=−2或6.z=−2時,A=41>0，為極小值。z=6時,A=−41<0，為極大值。
-
-
最值：
比較函數 内部的所有駐點和 邊界處的最值點 ，得出整體函數範圍内的最值
-
拉格朗日乘數法（條件極值，即要找 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在條件 g ( x , y ) = 0 g(x,y)=0 g(x,y)=0下可能得極值點）：
方法：構造函數 F ( x , y ) = f ( x , y ) + λ g ( x , y ) = 0 F(x,y)=f(x,y)+\lambda g(x,y)=0 F(x,y)=f(x,y)+λg(x,y)=0，則 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)的極值點便可能為 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)的極值點。
即求解方程 { f x ( x , y ) + λ g x ( x , y ) = 0 f y ( x , y ) + λ g y ( x , y ) = 0 g ( x , y ) = 0 \begin{cases}f_x(x,y)+\lambda g_x(x,y)=0\\f_y(x,y)+\lambda g_y(x,y)=0\\g(x,y)=0\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧fx(x,y)+λgx(x,y)=0fy(x,y)+λgy(x,y)=0g(x,y)=0
例： 求 橢 圓 x 2 + 2 x y + 3 y 2 − 8 y = 0 與 直 線 x + y = 8 之 間 的 最 短 距 離 \color{blue}求橢圓x^2+2xy+3y^2-8y=0與直線x+y=8之間的最短距離 求橢圓x2+2xy+3y2−8y=0與直線x+y=8之間的最短距離
任 一 點 ( x 0 , y 0 ) 到 直 線 距 離 的 平 方 d 2 = ( x + y − 8 ) 2 2 . 構 造 令 F ( x , y ) = 1 2 ( x + y − 8 ) 2 + λ ( x 2 + 2 x y + 3 y 2 − 8 y ) , 解 方 程 { F x ′ = x + y − 8 + ( 2 λ x + 2 λ y ) = 0 F y ′ = x + y − 8 + ( 2 λ x + 6 λ y − 8 λ ) = 0 x 2 + 2 x y + 3 y 2 − 8 y = 0 解 得 { x = − 2 + 2 2 y = 2 或 { x = − 2 − 2 2 y = 2 且 d 1 = 4 2 − 2 , d 2 = 4 2 + 2. 故 最 短 路 徑 為 4 2 − 2. 任一點(x_0,y_0)到直線距離的平方d^2=\dfrac{(x+y-8)^2}{2}. \\ 構造令F(x,y)=\dfrac{1}{2}(x+y-8)^2+\lambda (x^2+2xy+3y^2-8y), \\ 解方程\begin{cases}F'_x=x+y-8+(2\lambda x+2\lambda y)=0 \\ F'_y=x+y-8+(2\lambda x+6\lambda y-8\lambda)=0 \\ x^2+2xy+3y^2-8y=0 \end{cases} \\ 解得\begin{cases}x=-2+2\sqrt{2} \\ y=2 \end{cases} 或\begin{cases}x=-2-2\sqrt{2} \\ y=2 \end{cases}且d_1=4\sqrt{2}-2,d_2=4\sqrt{2}+2. \\ 故最短路徑為4\sqrt{2}-2. 任一點(x0,y0)到直線距離的平方d2=2(x+y−8)2.構造令F(x,y)=21(x+y−8)2+λ(x2+2xy+3y2−8y),解方程⎩⎪⎨⎪⎧Fx′=x+y−8+(2λx+2λy)=0Fy′=x+y−8+(2λx+6λy−8λ)=0x2+2xy+3y2−8y=0解得{x=−2+22
y=2或{x=−2−22
y=2且d1=42
−2,d2=42
+2.故最短路徑為42
−2.
![重積分（微積分）[圖]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)