環

• 環：
  • 兩種運算 +,⋅
  • 對加法做成交換群
  • 對乘法做成幺半群
  • 乘法對加法的配置設定律成立
• 例子：零環、整數環、一進制多項式環、全矩陣環
• 0⋅a=0
• 如果環中的元素多于一個，那麼環中的 0 是不可逆的，因為0⋅a=0,1≠0
• 除環：每一個非零元都可逆，也叫體。除環的乘法滿足消去律。
• 零因子：非零元素的乘積為 0 ，互為零因子
• 整環：沒有零因子的交換環。整環的乘法滿足消去律。
• 子環：含有乘法機關元，對原來的運算構成環。
  1. 有機關元1
  2. 對減法封閉
  3. 對乘法封閉
  4. 例子 Z[m−−√]={a+bm−−√|a,b∈Z} .交換、整環，實數域的子環
  5. 域的子環一定是除環。

同态

• 同态：保持運算； 1 映射到1′
• 單同态，滿同态，同構
• φ:R→R′ 是滿同态 ⇔φ(R)=R′
• φ:R→R′ 是單同态 ⇔Kerφ={0}
• 子環的像是子環
• 不能将 1 映射成0，否則像是零環。是以同态核雖然是加法子群，但是不是子環。
• 理想：加法子群、對環中任意的元素，左乘右乘該子群得到的都是該子群子集。
• 非平凡的理想中沒有可逆元。（否則 1 在理想中，進而所有的元素都在理想中）
• 單環：隻有平凡理想的環。
• 除環（域）一定是單環。

• 從單環到非零環的同态一定是單同态。

  Kerφ是環的理想，要麼是零環要麼是自身；零環則單同态，自身則機關元映射到零則為像零環。

• 理想作為加法子群為交換群，是以理想是正規子群（交換群的子群都是正規子群），可以作商群。在商群中可以定義乘法。該商群構成環，為商環。

• 環到商環的自然同态

  η:R→R/S,a↦a+S

  1. 商環是同态像。
  2. 理想是同态核。

• 環同态基本定理（同态像是商環）：

  R/Kerφ≅φ(R)

  證明：首先是一個群同構(同态基本定理)，其次證明它乘法保持運算，再證機關元映成機關元。

• 理想是正規子群在環中的推廣，但是理想不是子環。
• 主理想：環中單個元素左乘環得到的理想。
• 全矩陣環隻有平凡理想，即為單環。

  proof

  設 N 是一個Mn(F)的非零理想，證明任一個元素都在 N 中。

  N為非零理想，則存在非零元 A=(aij)n×n ，則存在 1≤l,k≤n ，使得 alk≠0 ，

  是以 a−1lkellAekk=elk∈N （理想的性質），

  是以任意的 i,j,eilelkekj=eij∈N ，

  是以任意的 B∈N,

  B=∑ijbijeij=∑ijbij(eii)eij∈N

• 域上的一進制多項式環的理想都是主理想。
• 整數環的每個理想也是主理想。
• 主理想整環：每個理想都是主理想的整環。
• 理想的和
• 極大理想：沒有真包含該理想的其他非平凡理想。
• 定理：交換環的理想做成的商環是域當且僅當極大理想。

幾類重要的環

四元數除環

• M2(C) 複數域上 2 階方陣的全矩陣環。

• H={(α−β¯βα¯),α=a+bi,β=c+di}是 M2 的子環，并且構成除環。

  E=(1001),I=(i00−i),J=(0−110),K=(0ii0),E,I,J,K∈H.∀A∈H,A=aE+bI+cJ+dK

• 不滿足交換律，交換除環。
• Wedderburn 定理：有限除環都是域。
• Q={±E,±I,±J,±K} 四元數群，非交換群，二面體群8個元素也不交換，并且和這個不同構。

整數模 n 的剩餘類環

• 整數環的每個理想K都是主理想，即存在自然數n，使得, K=(n)=nZ
  • 定理：整數環 Z 的理想為極大理想當且僅當 n 為素數。

  多項式環

  • Z[x]構成環（可以看作是有理數域上多項式環的子環）。

  • 根據 Z 到 Zp 的自然同态 a↦a¯ ，構造 Z[x] 到 Zp[x] 的自然同态

    f(x)=∑i=0kaixi↦f¯(x)=∑i=0ka¯ixi

  • Eisenstein 判别法：
    1. p 不整除首項系數
    2. p整除所有其他系數

    3. p2 不整除常數項系數

       則該多項式在 Q[x] 上不可約。

  • 例：對任意的素數 p ，xn+p在 Q[x] 中不可約，進而在 Q[x] 上存在任意階不可約多項式。

  F[x] 模某個理想的剩餘類環

  • k¯≠0¯,k¯∈Zn ，則 k¯ 是 Zn 中的可逆元當且僅當 k 與n互素。
  • Zn 中全體可逆元構成一個群，階為 φ(n)

  • Euler−Fermat 定理

    aφ(n)≡1(modn)

    域上的多項式環

    1. 有帶餘除法；2. 是主理想整環。
  • 定理： F[x] 的理想 (f(x)) 為極大理想當且僅當 f(x) 為不可約多項式。

  域的擴張

  域的擴張

  • 子域：子集，在原運算下構成域。
  • 擴域：域是其子域的擴域。
  • 通過域上多項式環的模去某個理想得到子域實作擴域。
  • 嵌入：域到該子域的同構
  • 例子：實數域 → 實數域上的多項式環 → 實數域上多項式環模去任一個二次不可約多項式得到的子環（複數域） → 在複數域中嵌入實數域即實作了擴域

  有限域

  • 通過擴域，可以把 q 階的有限域擴充到qn階的有限域。
  • 例子：借助 Z2[x] 中的不可約多項式 x3+x+1 構造8元域 {0,1,x,1+x,x2,1+x2,x+x2,1+x+x2}
  • 許多問題在擴域上解決。比如實數域上多項式可以分解成一次二次多項式。

  添加元素的擴域

  • 添加元素的擴域（單擴域）
  • 添加集合的擴域

  擴域作為線性空間

  • E 是F的擴域，把 F 對E的乘法看成數量乘法，則 E 成為F上的線性空間
  • 擴張次數，即維數，記作 [E:F] 。
  • 望遠鏡法則： E⊂H⊂E 是域擴張，則 [E:F]=[E:H][H:F]

  proof

  1. If [H:F]=∞,

  ∀N∈Z+,∃線性無關α1,α2,⋯,αN∈H

  ⇒α1,α2,⋯,αN∈E

  ⇒[E:F]=∞

  2. If [E:H]=∞, 反設 [E:F]=n,...

  3. If [E:H]=n,[H:F]=m,e1,e2,⋯,en,f1,f2,⋯,fm are basis.

  ∀e∈E,

  e=∑i=1nliei=∑i=1n∑j=1mcijeifj

  is a linear combination of eifj .

  Assume ∑i=1n∑j=1maijeifj=0

  ⇒li=0,i=1,2,...,n⇒∑mj=1aijei=0⇒aij=0

  ⇒eifj are linear independent.

  so [E:F]=mn=[E:H][H:F]

  代數擴張

  • 代數元：是 F 上非零多項式的根。
  • 超越元：非代數元。
  • 代數擴張：擴域的元都是代數元的擴張。
  • 定理：F⊂E是域擴張，如果 [E:F]<∞ ，那麼是代數擴張。
  Thanks to Prof. Rongquan Feng