环

• 环：
  • 两种运算 +,⋅
  • 对加法做成交换群
  • 对乘法做成幺半群
  • 乘法对加法的分配律成立
• 例子：零环、整数环、一元多项式环、全矩阵环
• 0⋅a=0
• 如果环中的元素多于一个，那么环中的 0 是不可逆的，因为0⋅a=0,1≠0
• 除环：每一个非零元都可逆，也叫体。除环的乘法满足消去律。
• 零因子：非零元素的乘积为 0 ，互为零因子
• 整环：没有零因子的交换环。整环的乘法满足消去律。
• 子环：含有乘法单位元，对原来的运算构成环。
  1. 有单位元1
  2. 对减法封闭
  3. 对乘法封闭
  4. 例子 Z[m−−√]={a+bm−−√|a,b∈Z} .交换、整环，实数域的子环
  5. 域的子环一定是除环。

同态

• 同态：保持运算； 1 映射到1′
• 单同态，满同态，同构
• φ:R→R′ 是满同态 ⇔φ(R)=R′
• φ:R→R′ 是单同态 ⇔Kerφ={0}
• 子环的像是子环
• 不能将 1 映射成0，否则像是零环。因此同态核虽然是加法子群，但是不是子环。
• 理想：加法子群、对环中任意的元素，左乘右乘该子群得到的都是该子群子集。
• 非平凡的理想中没有可逆元。（否则 1 在理想中，进而所有的元素都在理想中）
• 单环：只有平凡理想的环。
• 除环（域）一定是单环。

• 从单环到非零环的同态一定是单同态。

  Kerφ是环的理想，要么是零环要么是自身；零环则单同态，自身则单位元映射到零则为像零环。

• 理想作为加法子群为交换群，所以理想是正规子群（交换群的子群都是正规子群），可以作商群。在商群中可以定义乘法。该商群构成环，为商环。

• 环到商环的自然同态

  η:R→R/S,a↦a+S

  1. 商环是同态像。
  2. 理想是同态核。

• 环同态基本定理（同态像是商环）：

  R/Kerφ≅φ(R)

  证明：首先是一个群同构(同态基本定理)，其次证明它乘法保持运算，再证单位元映成单位元。

• 理想是正规子群在环中的推广，但是理想不是子环。
• 主理想：环中单个元素左乘环得到的理想。
• 全矩阵环只有平凡理想，即为单环。

  proof

  设 N 是一个Mn(F)的非零理想，证明任一个元素都在 N 中。

  N为非零理想，则存在非零元 A=(aij)n×n ，则存在 1≤l,k≤n ，使得 alk≠0 ，

  所以 a−1lkellAekk=elk∈N （理想的性质），

  所以任意的 i,j,eilelkekj=eij∈N ，

  所以任意的 B∈N,

  B=∑ijbijeij=∑ijbij(eii)eij∈N

• 域上的一元多项式环的理想都是主理想。
• 整数环的每个理想也是主理想。
• 主理想整环：每个理想都是主理想的整环。
• 理想的和
• 极大理想：没有真包含该理想的其他非平凡理想。
• 定理：交换环的理想做成的商环是域当且仅当极大理想。

几类重要的环

四元数除环

• M2(C) 复数域上 2 阶方阵的全矩阵环。

• H={(α−β¯βα¯),α=a+bi,β=c+di}是 M2 的子环，并且构成除环。

  E=(1001),I=(i00−i),J=(0−110),K=(0ii0),E,I,J,K∈H.∀A∈H,A=aE+bI+cJ+dK

• 不满足交换律，交换除环。
• Wedderburn 定理：有限除环都是域。
• Q={±E,±I,±J,±K} 四元数群，非交换群，二面体群8个元素也不交换，并且和这个不同构。

整数模 n 的剩余类环

• 整数环的每个理想K都是主理想，即存在自然数n，使得, K=(n)=nZ
  • 定理：整数环 Z 的理想为极大理想当且仅当 n 为素数。

  多项式环

  • Z[x]构成环（可以看作是有理数域上多项式环的子环）。

  • 根据 Z 到 Zp 的自然同态 a↦a¯ ，构造 Z[x] 到 Zp[x] 的自然同态

    f(x)=∑i=0kaixi↦f¯(x)=∑i=0ka¯ixi

  • Eisenstein 判别法：
    1. p 不整除首项系数
    2. p整除所有其他系数

    3. p2 不整除常数项系数

       则该多项式在 Q[x] 上不可约。

  • 例：对任意的素数 p ，xn+p在 Q[x] 中不可约，进而在 Q[x] 上存在任意阶不可约多项式。

  F[x] 模某个理想的剩余类环

  • k¯≠0¯,k¯∈Zn ，则 k¯ 是 Zn 中的可逆元当且仅当 k 与n互素。
  • Zn 中全体可逆元构成一个群，阶为 φ(n)

  • Euler−Fermat 定理

    aφ(n)≡1(modn)

    域上的多项式环

    1. 有带余除法；2. 是主理想整环。
  • 定理： F[x] 的理想 (f(x)) 为极大理想当且仅当 f(x) 为不可约多项式。

  域的扩张

  域的扩张

  • 子域：子集，在原运算下构成域。
  • 扩域：域是其子域的扩域。
  • 通过域上多项式环的模去某个理想得到子域实现扩域。
  • 嵌入：域到该子域的同构
  • 例子：实数域 → 实数域上的多项式环 → 实数域上多项式环模去任一个二次不可约多项式得到的子环（复数域） → 在复数域中嵌入实数域即实现了扩域

  有限域

  • 通过扩域，可以把 q 阶的有限域扩充到qn阶的有限域。
  • 例子：借助 Z2[x] 中的不可约多项式 x3+x+1 构造8元域 {0,1,x,1+x,x2,1+x2,x+x2,1+x+x2}
  • 许多问题在扩域上解决。比如实数域上多项式可以分解成一次二次多项式。

  添加元素的扩域

  • 添加元素的扩域（单扩域）
  • 添加集合的扩域

  扩域作为线性空间

  • E 是F的扩域，把 F 对E的乘法看成数量乘法，则 E 成为F上的线性空间
  • 扩张次数，即维数，记作 [E:F] 。
  • 望远镜法则： E⊂H⊂E 是域扩张，则 [E:F]=[E:H][H:F]

  proof

  1. If [H:F]=∞,

  ∀N∈Z+,∃线性无关α1,α2,⋯,αN∈H

  ⇒α1,α2,⋯,αN∈E

  ⇒[E:F]=∞

  2. If [E:H]=∞, 反设 [E:F]=n,...

  3. If [E:H]=n,[H:F]=m,e1,e2,⋯,en,f1,f2,⋯,fm are basis.

  ∀e∈E,

  e=∑i=1nliei=∑i=1n∑j=1mcijeifj

  is a linear combination of eifj .

  Assume ∑i=1n∑j=1maijeifj=0

  ⇒li=0,i=1,2,...,n⇒∑mj=1aijei=0⇒aij=0

  ⇒eifj are linear independent.

  so [E:F]=mn=[E:H][H:F]

  代数扩张

  • 代数元：是 F 上非零多项式的根。
  • 超越元：非代数元。
  • 代数扩张：扩域的元都是代数元的扩张。
  • 定理：F⊂E是域扩张，如果 [E:F]<∞ ，那么是代数扩张。
  Thanks to Prof. Rongquan Feng