集合，映射，函數，運算，代數系統，半群，群、環、域

各種概念的定義

• • 什麼是集合
  • 什麼是映射
  • 什麼是函數
  • 什麼是運算
  • 什麼是代數系統
  • 什麼是半群
  • 什麼是群
  • 知識連結

什麼是集合

由不加定義的基本機關元素構成的結構稱為集合。除了元素不能夠被定義之外，集合也不太能夠被定義。如

現代的集合一般被定義為：由一個或多個确定的元素所構成的 **整體**。
           

又或者說集合是一堆确定的東西。可是整體、一堆又是新的名詞。集合不好去定義是因為它的概念太過直白了。

對于集合，它的數學符号是“{}”，集合的不同完全由它的元素不同來展現，我們有兩種方法對集合中的元素進行描述：

第一種是窮舉法：如{1，2，3}表示一個集合，裡面有數字1，2，3這3個元素。

第二種是描述法：如{x | x是一個漢字}，“x”表示集合裡的每一個元素都有一個共同的名字“x”，“ | ”符号後面是對這個“x”的描述。是以我們的每一個漢字都屬于這個集合。

什麼是映射

對于兩個集合X和Y，裡面的元素分别稱為x和y。如果存在一個法則 f，使得對X中每個元素x，按法則 f，在Y中有唯一确定的元素y與之對應，那麼稱 f 為從X到Y的映射，記作

f:X->Y

。

可以看出，映射滿足兩個條件：

1.對于X的每個x，都有Y裡的y與之對應，我稱之為存在性

2.對于X的每個x，都隻用一個Y裡的y與之對應，我稱之為确定性

按其他限制條件不同，映射可分為3類：單射、雙射、滿射

這裡談一下映射的哲學性的問題。

什麼是函數

滿足映射的兩個基本條件就可以稱之為函數了。函數是最普通的映射。

什麼是運算

定義：

設S為集合，函數

f :S->S

稱為S上的一進制運算，簡稱為一進制運算。

設S為集合，函數

f :S×S->S

稱為S上的二進制運算，簡稱為二進制運算。

可見，運算是一種特殊的函數，他的定義域和值域相同。

什麼是代數系統

定義：

非空集合S和S上k個一進制或二進制運算 f1 , f2 , … , fk 組成的系統稱為一個代數系統，簡稱代數，記作

V=<S,f1,f2,...,fk>

什麼是半群

設V=<S,*>s是代數系統，“ * ”為二進制運算，如果運算是可結合的，則稱V為半群

什麼是群

在數學中，群表示一個擁有滿足封閉性、滿足結合律、有機關元、有逆元的二進制運算的代數結構，包括阿貝爾群、同态和共轭類。

知識連結

伽羅瓦理論之美

虛數的意義——阮一峰

五次方程（三）群論入門 隐藏在根與系數關系中的秘密——媽咪叔

關于群論和魔群的簡單介紹——3Blue1Brown