集合，映射，函数，运算，代数系统，半群，群、环、域

各种概念的定义

• • 什么是集合
  • 什么是映射
  • 什么是函数
  • 什么是运算
  • 什么是代数系统
  • 什么是半群
  • 什么是群
  • 知识链接

什么是集合

由不加定义的基本单位元素构成的结构称为集合。除了元素不能够被定义之外，集合也不太能够被定义。如

现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的 **整体**。
           

又或者说集合是一堆确定的东西。可是整体、一堆又是新的名词。集合不好去定义是因为它的概念太过直白了。

对于集合，它的数学符号是“{}”，集合的不同完全由它的元素不同来体现，我们有两种方法对集合中的元素进行描述：

第一种是穷举法：如{1，2，3}表示一个集合，里面有数字1，2，3这3个元素。

第二种是描述法：如{x | x是一个汉字}，“x”表示集合里的每一个元素都有一个共同的名字“x”，“ | ”符号后面是对这个“x”的描述。所以我们的每一个汉字都属于这个集合。

什么是映射

对于两个集合X和Y，里面的元素分别称为x和y。如果存在一个法则 f，使得对X中每个元素x，按法则 f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称 f 为从X到Y的映射，记作

f:X->Y

。

可以看出，映射满足两个条件：

1.对于X的每个x，都有Y里的y与之对应，我称之为存在性

2.对于X的每个x，都只用一个Y里的y与之对应，我称之为确定性

按其他限制条件不同，映射可分为3类：单射、双射、满射

这里谈一下映射的哲学性的问题。

什么是函数

满足映射的两个基本条件就可以称之为函数了。函数是最普通的映射。

什么是运算

定义：

设S为集合，函数

f :S->S

称为S上的一元运算，简称为一元运算。

设S为集合，函数

f :S×S->S

称为S上的二元运算，简称为二元运算。

可见，运算是一种特殊的函数，他的定义域和值域相同。

什么是代数系统

定义：

非空集合S和S上k个一元或二元运算 f1 , f2 , … , fk 组成的系统称为一个代数系统，简称代数，记作

V=<S,f1,f2,...,fk>

什么是半群

设V=<S,*>s是代数系统，“ * ”为二元运算，如果运算是可结合的，则称V为半群

什么是群

在数学中，群表示一个拥有满足封闭性、满足结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构，包括阿贝尔群、同态和共轭类。

知识链接

伽罗瓦理论之美

虚数的意义——阮一峰

五次方程（三）群论入门 隐藏在根与系数关系中的秘密——妈咪叔

关于群论和魔群的简单介绍——3Blue1Brown