【离散数学笔记】逻辑运算之吸收律

吸收律：

( 1 )   A ∨ ( A ∧ B ) ⇔ A (1)\ A\lor(A\land B)\Leftrightarrow A (1) A∨(A∧B)⇔A ( 2 )   A ∧ ( A ∨ B ) ⇔ A (2)\ A\land(A\lor B)\Leftrightarrow A (2) A∧(A∨B)⇔A

证法一： 先证明这两个定律等价。由 ( 1 ) (1) (1)：

A ∨ ( A ∧ B ) ⇔ ( A ∨ A ) ∧ ( A ∨ B ) ⇔ A ∧ ( A ∨ B ) A\lor(A\land B)\Leftrightarrow(A\lor A)\land(A\lor B)\Leftrightarrow A\land(A\lor B) A∨(A∧B)⇔(A∨A)∧(A∨B)⇔A∧(A∨B)此即 ( 2 ) (2) (2)。

因此只需证明 ( 1 ) (1) (1)成立。

当 B = 1 B=1 B=1时， A ∨ ( A ∧ B ) ⇔ A ∨ ( A ∧ 1 ) ⇔ A ∨ A ⇔ A A\lor(A\land B)\Leftrightarrow A\lor(A\land 1)\Leftrightarrow A\lor A\Leftrightarrow A A∨(A∧B)⇔A∨(A∧1)⇔A∨A⇔A；

当 B = 0 B=0 B=0时， A ∨ ( A ∧ B ) ⇔ A ∨ ( A ∧ 0 ) ⇔ A ∨ 0 ⇔ A A\lor(A\land B)\Leftrightarrow A\lor(A\land 0)\Leftrightarrow A\lor 0\Leftrightarrow A A∨(A∧B)⇔A∨(A∧0)⇔A∨0⇔A，

故知 ( 1 ) (1) (1)成立。

证法二：

( 1 ) (1) (1) A ∨ ( A ∧ B ) ⇔ ( A ∧ 1 ) ∨ ( A ∧ B ) ⇔ A ∧ ( 1 ∨ B ) ⇔ A ∧ 1 ⇔ A A\lor(A\land B)\Leftrightarrow (A\land 1)\lor(A\land B)\Leftrightarrow A\land(1\lor B)\Leftrightarrow A\land 1\Leftrightarrow A A∨(A∧B)⇔(A∧1)∨(A∧B)⇔A∧(1∨B)⇔A∧1⇔A

( 2 ) (2) (2) A ∧ ( A ∨ B ) ⇔ ( A ∨ 0 ) ∧ ( A ∨ B ) ⇔ A ∨ ( 0 ∧ B ) ⇔ A ∨ 0 ⇔ A A\land(A\lor B)\Leftrightarrow (A\lor 0)\land(A\lor B)\Leftrightarrow A\lor(0\land B)\Leftrightarrow A\lor 0\Leftrightarrow A A∧(A∨B)⇔(A∨0)∧(A∨B)⇔A∨(0∧B)⇔A∨0⇔A

用集合来理解：

(1) A ∨ ( A ∧ B ) A\lor(A\land B) A∨(A∧B)就是在上图中就是 A ∪ ( A ∩ B ) A\cup(A\cap B) A∪(A∩B)，而 ( A ∩ B ) ⊆ A (A\cap B)\subseteq A (A∩B)⊆A，所以 A ∪ ( A ∩ B ) = A A\cup(A\cap B)=A A∪(A∩B)=A。

(2) A ∧ ( A ∨ B ) A\land(A\lor B) A∧(A∨B)就是在上图中就是 A ∩ ( A ∪ B ) A\cap(A\cup B) A∩(A∪B)，而 A ⊆ ( A ∪ B ) A\subseteq(A\cup B) A⊆(A∪B)，所以 A ∩ ( A ∪ B ) = A A\cap(A\cup B)=A A∩(A∪B)=A。