Table of Contents
- 集合和映射
- 函數和極限
- 導數和微分
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- 導數
- 隐函數及參數方程
- 微分
- 微分中值定理
- 泰勒公式
- 導數的應用
- 曲率
- 不定積分
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- 不定積分的概念
- 基本積分表
- 積分方法
- 定積分
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- 定積分的概念和性質
- 定積分的計算方法
- 反常積分
- 定積分的應用
高等數學(Calculus I)
高等數學(Calculus II)
本文參考MOOC同濟大學和國防科技大學《高等數學》課程。
友情連結：微積分常用英文詞彙
集合和映射
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集合(set)：将具有某種特定性質的對象的全體稱為集合.。組成集合的對象
稱為元素。 a ∈ A a\in A a∈A 或者 a ∉ A a\not\in A a∈A
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集合的兩種表示方法
(1) 枚舉法： A = { a 1 , a 2 , … , a n } A=\{a_1,a_2,\dots,a_n\} A={a1,a2,…,an}
(2) 描述法： B = { x ∣ x 滿 足 條 件 P } B=\{x|x滿足條件P\} B={x∣x滿足條件P}
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集合的關系
相等： A = B A=B A=B
子集： A ⊂ B A⊂ B A⊂B
空集： ∅ \emptyset ∅
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常見數集的表示方法
自然數： N = { 0 , 1 , 2 , … } \N=\{0,1,2,\dots\} N={0,1,2,…}
整數： Z = { 0 , ± 1 , ± 2 , … } \Z=\{0,±1,±2,\dots\} Z={0,±1,±2,…}
正整數： Z = { 1 , 2 , … } \Z=\{1,2,\dots\} Z={1,2,…}
有理數： Q = { p / q ∣ p , q ∈ Z , q ≠ 0 } \Bbb{Q}=\{p/q\mid p,q\in\Z,q\neq0\} Q={p/q∣p,q∈Z,q=0}
實數： R \Reals R
複數： C \Complex C
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集合的運算
并集： A ∪ B = { x ∣ x ∈ A 或 x ∈ B } A∪ B=\{x\mid x\in A或x\in B\} A∪B={x∣x∈A或x∈B}
交集： A ∩ B = { x ∣ x ∈ A 且 x ∈ B } A∩ B=\{x\mid x\in A\ 且\ x\in B\} A∩B={x∣x∈A 且 x∈B}
差集： A − B = { x ∣ x ∈ A 且 x ∉ B } A-B=\{x\mid x\in A且x\notin B\} A−B={x∣x∈A且x∈/B}
補集： A ˉ = Ω − A \bar A=Ω-A Aˉ=Ω−A
直積(笛卡兒積)： A × B = { ( x , y ) ∣ x ∈ A , y ∈ B } A× B=\{(x,y)\mid x\in A,y\in B\} A×B={(x,y)∣x∈A,y∈B}
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區間(interval)：設 a , b ∈ R , 且 a < b a,b\in \R, 且a<b a,b∈R,且a<b
開區間(open interval)： ( a , b ) = { x ∣ a < x < b } (a,b)=\{x\mid a<x<b\} (a,b)={x∣a<x<b}
閉區間(closed interval)： [ a , b ] = { x ∣ a ⩽ x ⩽ b } [a,b]=\{x\mid a⩽ x⩽ b\} [a,b]={x∣a⩽x⩽b}
半開半閉區間： ( a , b ] = { x ∣ a < x ⩽ b } (a,b]=\{x\mid a< x⩽ b\} (a,b]={x∣a<x⩽b} 和 [ a , b ) = { x ∣ a ⩽ x < b } [a,b)=\{x\mid a⩽ x< b\} [a,b)={x∣a⩽x<b}
無限開區間 ( a , + ∞ ) = { x ∣ x > a } (a,+∞)=\{x\mid x>a\} (a,+∞)={x∣x>a} 和 ( − ∞ , b ) = { x ∣ x < b } (-∞,b)=\{x\mid x<b\} (−∞,b)={x∣x<b}
無限閉區間： [ a , + ∞ ) = { x ∣ x ⩾ a } [a,+∞)=\{x\mid x⩾ a\} [a,+∞)={x∣x⩾a} 和 ( − ∞ , b ] = { x ∣ x ⩽ b } (-∞,b]=\{x\mid x⩽ b\} (−∞,b]={x∣x⩽b}
全體實數的集合： R = ( − ∞ , + ∞ ) \R=(-∞,+∞) R=(−∞,+∞)
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鄰域(neighborhood)：以點 a 為中心的任何開區間，記作： U ( a ) U(a) U(a)
δ δ δ 鄰域： U ( a , δ ) = { x ∣ 0 ⩽ ∣ x − a ∣ < δ } U(a,δ)=\{x\mid 0⩽\mid x-a\mid<δ\} U(a,δ)={x∣0⩽∣x−a∣<δ}
去心鄰域： U ˚ ( a , δ ) = { x ∣ 0 < ∣ x − a ∣ < δ } \mathring{U}(a,δ)=\{x\mid 0<\mid x-a\mid<δ\} U˚(a,δ)={x∣0<∣x−a∣<δ}
右鄰域： U + ( a , δ ) = { x ∣ 0 < x − a < δ } U^+(a,δ)=\{x\mid 0<x-a<δ\} U+(a,δ)={x∣0<x−a<δ}
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映射(map)：設 A , B A,B A,B是兩個非空集合，若對 A A A 中的任一進制素 x x x，依照某種規律（或法則） f f f，恒有 B B B中的唯一确定的元素 y y y 與之對應，則稱對應規律 f f f為一個從 A A A到 B B B的映射，記作
f : A → B f: A\to B f:A→B
函數和極限
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函數(function)：設 D D D是 R \R R中的非空子集，稱映射 f : D → R f: D\to \R f:D→R 為定義在 D D D上的一進制函數(function of one variable)。通常記作：
y = f ( x ) , x ∈ D y=f(x),x\in D y=f(x),x∈D
x x x 為自變量(independent variable)， y y y 是因變量， D D D 為定義域。
示例：符号函數和狄利克雷函數：
sgn = { 1 ( x > 0 ) 0 ( x = 0 ) − 1 ( x < 0 ) , D = { 1 ( x ∈ Q ) 0 ( x ∉ Q ) \text{sgn}=\begin{cases} 1 &(x>0)\\ 0 &(x=0)\\ -1 &(x<0) \end{cases},\quad \text{D}=\begin{cases} 1 &(x\in\Bbb{Q})\\ 0 &(x\not\in\Bbb{Q}) \end{cases} sgn=⎩⎪⎨⎪⎧10−1(x>0)(x=0)(x<0),D={10(x∈Q)(x∈Q)
自然定義域：函數表達式在實數域中有意義的所有自變量的集合
實際定義域：問題的實際背景所要求的自變量的取值範圍
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函數的性質
反函數(inverse)： f − 1 ( y ) = x , x ∈ f ( D ) f^{-1}(y)=x,x\in f(D) f−1(y)=x,x∈f(D)
複合函數(composite)： f ∘ g = f [ g ( x ) ] f\circ g=f[g(x)] f∘g=f[g(x)]
偶函數(even)： f ( − x ) = f ( x ) f(-x)=f(x) f(−x)=f(x)
奇函數(odd)： f ( − x ) = − f ( x ) f(-x)=-f(x) f(−x)=−f(x)
周期函數(periodic function)： f ( x ± T ) = f ( x ) f(x± T)=f(x) f(x±T)=f(x)
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初等函數(elementary function)：由常數和基本初等函數經有限次四則運算和有限次函數複合構成的函數，稱為初等函數。
基本初等函數包括下面六種函數：
(1) 常量函數： y = c ( c ∈ R ) y=c\quad(c \in \R) y=c(c∈R)
(2) 幂函數(power function)： y = x μ ( μ ∈ R ) y=x^{μ}\quad(μ \in \R) y=xμ(μ∈R)
(3) 指數函數(exponential function)： y = a x ( a > 0 且 a ≠ 1 ) y=a^x\quad(a>0且a\neq 1) y=ax(a>0且a=1)
(4) 對數函數(logarithm function)： y = log a x ( a > 0 且 a ≠ 1 ) y=\log_ax\quad(a>0且a\neq 1) y=logax(a>0且a=1)
(5) 三角函數(trigonometric function)： y = sin x , cos x , tan x , cot x y=\sin x,\cos x,\tan x,\cot x y=sinx,cosx,tanx,cotx
(6) 反三角函數： y = arcsin x , arccos x , arctan x , arccot x y=\arcsin x, \arccos x, \arctan x,\text{arccot} x y=arcsinx,arccosx,arctanx,arccotx
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函數極限的概念和性質
( 1 ) lim x → x 0 f ( x ) = A ⟺ ∀ ϵ > 0 , ∃ δ > 0 , (1)\lim\limits_{x \to x_0} f(x)=A \iff ∀ ϵ>0, ∃δ>0, (1)x→x0limf(x)=A⟺∀ϵ>0,∃δ>0, 當 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0<|x-x_0|<δ 0<∣x−x0∣<δ 時， 有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ϵ |f(x)-A|<ϵ ∣f(x)−A∣<ϵ
( 2 ) lim x → ∞ f ( x ) = A ⟺ ∀ ϵ > 0 , ∃ δ > 0 , (2)\lim\limits_{x \to ∞} f(x)=A \iff ∀ ϵ>0, ∃δ>0, (2)x→∞limf(x)=A⟺∀ϵ>0,∃δ>0, 當 ∣ x ∣ > δ |x|>δ ∣x∣>δ 時， 有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ϵ |f(x)-A|<ϵ ∣f(x)−A∣<ϵ
( ⋆ ) lim x → x 0 f ( x ) = A ⟺ lim x → x 0 + f ( x ) = lim x → x 0 − f ( x ) = A (\star)\lim\limits_{x \to x_0} f(x)=A \iff \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x)=\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x)=A (⋆)x→x0limf(x)=A⟺x→x0+limf(x)=x→x0−limf(x)=A
極限的性質：若極限存在則唯一，函數局部有界且保号。
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極限運算
(1) 若 lim f ( x ) = A , lim g ( x ) = B \lim f(x)=A, \lim g(x)=B limf(x)=A,limg(x)=B
lim [ f ( x ) ± g ( x ) ] = lim f ( x ) ± lim g ( x ) = A ± B lim [ f ( x ) ⋅ g ( x ) ] = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x ) = A ⋅ B lim f ( x ) g ( x ) = lim f ( x ) lim g ( x ) = A B ( B ≠ 0 ) \lim[f(x)± g(x)]=\lim f(x) ± \lim g(x)=A± B \\ \lim[f(x)\cdot g(x)]=\lim f(x) \cdot \lim g(x)=A\cdot B \\ \lim\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\dfrac{A}{B} \quad(B\neq0) lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±Blim[f(x)⋅g(x)]=limf(x)⋅limg(x)=A⋅Blimg(x)f(x)=limg(x)limf(x)=BA(B=0)
(2) 複合函數 ，若 lim x → x 0 f ( x ) = u 0 , lim u → u 0 g ( u ) = A lim x → x 0 f [ g ( x ) ] = lim u → u 0 g ( u ) = A \lim\limits_{x \to x_0} f(x)=u_0, \lim\limits_{u \to u_0} g(u)=A \\ \lim\limits_{x \to x_0} f[g(x)]=\lim\limits_{u \to u_0} g(u)=A x→x0limf(x)=u0,u→u0limg(u)=Ax→x0limf[g(x)]=u→u0limg(u)=A
其中 x ∈ U ˚ ( x 0 , δ 0 ) x\in \mathring{U}(x_0,δ_0) x∈U˚(x0,δ0)
(3) 設 C C C為常數， lim f ( x ) = A \lim f(x)=A limf(x)=A
lim C = C lim C f ( x ) = C lim f ( x ) lim [ f ( x ) ] n = [ lim f ( x ) ] n \lim C=C \\ \lim Cf(x)=C\lim f(x) \\ \lim[f(x)]^n=[\lim f(x)]^n limC=ClimCf(x)=Climf(x)lim[f(x)]n=[limf(x)]n
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極限存在準則和兩個重要極限
(1) 準則一：或稱夾逼準則(squeeze theorem)
若 g ( x ) ⩽ f ( x ) ⩽ h ( x ) , lim g ( x ) = lim h ( x ) = A ⟹ lim f ( x ) = A g(x)⩽ f(x)⩽ h(x),\lim g(x)=\lim h(x)=A \implies \lim f(x)=A g(x)⩽f(x)⩽h(x),limg(x)=limh(x)=A⟹limf(x)=A
例如
lim x → 0 sin x x = 1 \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}=1 x→0limxsinx=1
高等數學(Calculus I)集合和映射函數和極限導數和微分不定積分定積分 高等數學(Calculus I)集合和映射函數和極限導數和微分不定積分定積分 (2) 準則二
若 ∃ δ > 0 , x ∈ ( x 0 − δ , x 0 ) ∃δ>0,x\in (x_0-δ,x_0) ∃δ>0,x∈(x0−δ,x0)時， f ( x ) f(x) f(x)單調有界 ⟹ \implies ⟹左極限 f ( x 0 − ) f(x_0^-) f(x0−)存在
例如
lim x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = e \lim\limits_{x\to ∞} (1+\dfrac{1}{x})^x=e x→∞lim(1+x1)x=e
( ⋆ \star ⋆) f ( x ) f(x) f(x) 在點 x 0 x_0 x0處極限存在 ⟺ f ( x 0 − ) = f ( x 0 + ) \iff f(x_0^-)=f(x_0^+) ⟺f(x0−)=f(x0+)
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無窮小和無窮大的概念
(1) lim f ( x ) = { 0 infinitesimal ∞ infinity \lim f(x)=\begin{cases} 0 &\text{infinitesimal} \\ ∞ & \text{infinity}\end{cases} limf(x)={0∞infinitesimalinfinity
(2) 無窮小 ( 0 0 0) 和無窮大 ( ∞ ∞ ∞) 的關系： ∞ = 1 0 , 0 = 1 ∞ ∞=\dfrac{1}{0},0=\dfrac{1}{∞} ∞=01,0=∞1
(3) 無窮小和函數極限的關系：
lim f ( x ) = A ⟺ f ( x ) = A + α ( x ) \lim f(x)=A\iff f(x)=A+α(x) limf(x)=A⟺f(x)=A+α(x)
其中 α ( x ) α(x) α(x) 是無窮小量.
(4) 有限個無窮小的和是無窮小
有限個無窮小的乘積是無窮小
有界函數和無窮小的乘積是無窮小
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無窮小階的比較：設 lim f ( x ) = 0 , lim g ( x ) = 0 \lim f(x)=0,\lim g(x)=0 limf(x)=0,limg(x)=0
(1) 若 lim g ( x ) f ( x ) = { 0 則 g ( x ) 是 比 f ( x ) 高 階 的 無 窮 小 , 記 作 g ( x ) = o ( f ( x ) ) ∞ 則 g ( x ) 是 比 f ( x ) 低 階 的 無 窮 小 c ≠ 0 則 g ( x ) 是 與 f ( x ) 同 階 的 無 窮 小 1 則 g ( x ) 是 與 f ( x ) 等 價 的 無 窮 小 ， 記 作 f ( x ) ∼ g ( x ) \lim \dfrac{g(x)}{f(x)}=\begin{cases}0 & 則 g(x)是比f(x)高階的無窮小,記作g(x)=o(f(x))\\ ∞ & 則 g(x)是比f(x)低階的無窮小 \\ c\neq0 & 則 g(x)是與f(x)同階的無窮小\\ 1 & 則 g(x)是與f(x)等價的無窮小，記作f(x)∼ g(x) \end{cases} limf(x)g(x)=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧0∞c=01則g(x)是比f(x)高階的無窮小,記作g(x)=o(f(x))則g(x)是比f(x)低階的無窮小則g(x)是與f(x)同階的無窮小則g(x)是與f(x)等價的無窮小，記作f(x)∼g(x)
(2) 若 lim g ( x ) [ f ( x ) ] k = c ≠ 0 ⟹ g ( x ) 是 f ( x ) 的 k 階 無 窮 小 \lim \dfrac{g(x)}{[f(x)]^k}=c\neq0 \implies g(x)是f(x)的k階無窮小 lim[f(x)]kg(x)=c=0⟹g(x)是f(x)的k階無窮小
(3) 設 α , β α,β α,β 為無窮小
定理 I： β ∼ α ⟺ β = α + o ( α ) β∼ α\iff β=α+ o(α) β∼α⟺β=α+o(α)
定理 II (無窮小等價代換)： α ∼ α ~ , β ∼ β ~ ⇒ lim β α = lim β ~ α ~ α∼ \tilde{α},β∼\tilde{β}\Rightarrow\lim\dfrac{β}{α}=\lim\dfrac{\tilde{β}}{\tilde{α}} α∼α~,β∼β~⇒limαβ=limα~β~
(4) 設 f ( x ) ∼ g ( x ) f(x)∼ g(x) f(x)∼g(x)
若 lim f ( x ) h ( x ) = A \lim f(x)h(x)=A limf(x)h(x)=A ，則 lim g ( x ) h ( x ) = A \lim g(x)h(x)=A limg(x)h(x)=A
若 lim f ( x ) h ( x ) = A \lim\cfrac{f(x)}{h(x)}=A limh(x)f(x)=A ，則 lim g ( x ) h ( x ) = A \lim\cfrac{g(x)}{h(x)}=A limh(x)g(x)=A
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函數的連續性(continuous)
(1) f ( x ) f(x) f(x) 在點 x 0 x_0 x0 連續 ⟺ lim Δ x → 0 [ f ( x + Δ x ) − f ( x ) ] = 0 \iff \lim\limits_{Δx\to 0}[f(x+Δx)-f(x)]=0 ⟺Δx→0lim[f(x+Δx)−f(x)]=0
(2) f ( x ) f(x) f(x) 在點 x 0 x_0 x0 連續 ⟺ lim x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) \iff \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) ⟺x→x0limf(x)=f(x0)
(3) f ( x ) f(x) f(x) 在點 x 0 x_0 x0 連續 ⟺ lim x → x 0 − f ( x ) = lim x → x 0 + f ( x ) \iff \lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x) ⟺x→x0−limf(x)=x→x0+limf(x)
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函數的間斷點
(1) 若 lim x → x 0 f ( x ) = A \lim\limits_{x\to x_0} f(x)=A x→x0limf(x)=A 存在，而 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 無定義，或者有定義但 f ( x 0 ) ≠ A f(x_0)\neq A f(x0)=A ，則稱 x 0 x_0 x0 為 f ( x ) f(x) f(x) 的可去間斷點。
(2) 若 lim x → x 0 − f ( x ) = A , lim x → x 0 + f ( x ) = B \lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=A,\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=B x→x0−limf(x)=A,x→x0+limf(x)=B 都存在，但 A ≠ B A\neq B A=B ，則稱 x 0 x_0 x0 為 f ( x ) f(x) f(x) 的第一類間斷點。
(3) 若 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 的左右極限至少有一個不存在，則稱 x 0 x_0 x0 為 f ( x ) f(x) f(x) 的第二類間斷點。
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連續函數的運算：若 f ( x ) f(x) f(x) 和 g ( x ) g(x) g(x) 在點 x 0 x_0 x0 連續
(1) 則 f ± g , f ⋅ g , f g f± g, f\cdot g, \dfrac{f}{g} f±g,f⋅g,gf 都在 x 0 x_0 x0點連續
(2) 反函數 x = f − 1 ( y ) x=f^{-1}(y) x=f−1(y) 在 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0) 點連續
(3) 複合函數 f [ g ( x ) ] f[g(x)] f[g(x)] 在 x 0 x_0 x0 點連續
( ⋆ \star ⋆) 初等函數在定義區間内都連續
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零點定理和介值定理
零點定理(zero theorem) 若 f ( x ) f(x) f(x)在閉區間 [ a , b ] [a,b] [a,b]上連續，且 f ( a ) ⋅ f ( b ) < 0 f(a)\cdot f(b)<0 f(a)⋅f(b)<0，則 至少存在一點 ξ ∈ ( a , b ) ξ\in(a,b) ξ∈(a,b)，使 f ( ξ ) = 0 f(ξ)=0 f(ξ)=0
介值定理(intermediate value theorem) 若 f ( x ) f(x) f(x)在閉區間 [ a , b ] [a,b] [a,b]上連續， f ( a ) = A , f ( b ) = B f(a)=A,f(b)=B f(a)=A,f(b)=B，則對 ∀ C ∈ ( A , B ) , ∃ ξ ∈ ( a , b ) ∀ C\in(A,B),∃ ξ\in(a,b) ∀C∈(A,B),∃ξ∈(a,b)，使得 f ( ξ ) = C f(ξ)=C f(ξ)=C
- 一緻連續(uniformly continuous)：若 f ( x ) 在 [ a , b ] f(x)在[a,b] f(x)在[a,b]上連續，則 f ( x ) 在 [ a , b ] f(x)在[a,b] f(x)在[a,b]上一緻連續
導數和微分
導數
引例：切線的斜率，如圖，需要尋找曲線 f ( x ) f(x) f(x) 在其上任意一點 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0,y_0) P(x0,y0) 的切線 P T PT PT，可通過割線 P Q PQ PQ 取極限獲得。
(1) 函數 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 在點 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0) 的導數(derivative)定義為
y ′ ∣ x = x 0 = lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x y'\mid_{x=x_0}=\lim\limits_{Δx\to0}\dfrac{f(x_0+Δx)-f(x_0)}{Δx} y′∣x=x0=Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0)
可記作 y ′ ∣ x = x 0 , f ′ ( x ) ∣ x = x 0 , d y d x ∣ x = x 0 , d f ( x ) d x ∣ x = x 0 y'\mid_{x=x_0}, f'(x)\mid_{x=x_0}, \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\mid_{x=x_0}, \dfrac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}\mid_{x=x_0} y′∣x=x0,f′(x)∣x=x0,dxdy∣x=x0,dxdf(x)∣x=x0
(2) 相應的可定義 x x x在定義域的導函數 y ′ y' y′，可記作 f ′ ( x ) , d y d x , d f ( x ) d x f'(x), \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, \dfrac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x} f′(x),dxdy,dxdf(x)
(3) 二階導數記作
y ′ ′ = ( y ′ ) ′ y''=(y')' y′′=(y′)′
或
d 2 y d x 2 = d d x ( d y d x ) \dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right) dx2d2y=dxd(dxdy)
(4) 高階導數 (derivative of higher order)：一般 ( n − 1 ) (n-1) (n−1) 階導數的導數叫做 n n n 階導，記作
y ′ ′ ′ , y ( 4 ) , ⋯ , y ( n ) y''',y^{(4)},\cdots,y^{(n)} y′′′,y(4),⋯,y(n)
或
d 3 y d x 3 , d 4 y d x 4 , ⋯ , d n y d x n \dfrac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm{d}x^3},\dfrac{\mathrm{d}^4y}{\mathrm{d}x^4},\cdots,\dfrac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n} dx3d3y,dx4d4y,⋯,dxndny
(5) 導數的幾何意義： f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f′(x0) 就是曲線 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 在點 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0) 處切線的的斜率
切線方程為
y − y 0 = f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) y-y_0=f'(x_0)(x-x_0) y−y0=f′(x0)(x−x0)
法線方程為
y − y 0 = 1 f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) y-y_0=\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0) y−y0=f′(x0)1(x−x0)
(6) 函數可導性和連續性：設函數 f ( x ) f(x) f(x) 在點 x x x 處可導，即 lim Δ x → 0 Δ y Δ x = f ′ ( x ) \lim\limits_{Δx\to0}\cfrac{Δy}{Δx}=f'(x) Δx→0limΔxΔy=f′(x)
由極限和無窮小的關系知道 Δ y Δ x = f ′ ( x ) + α \cfrac{Δy}{Δx}=f'(x)+\alpha ΔxΔy=f′(x)+α 。其中 α \alpha α 是 Δ x → 0 Δx\to 0 Δx→0 時的無窮小量，根據無窮小的運算法則 α Δ x = α ( Δ x ) \alphaΔx=\alpha(Δx) αΔx=α(Δx) ，于是
Δ y = f ′ ( x ) Δ x + α ( Δ x ) Δy=f'(x)Δx+\alpha(Δx) Δy=f′(x)Δx+α(Δx)
上式稱為有限增量公式。由此可見，當 Δ x → 0 Δx\to0 Δx→0 時， Δ y → 0 Δy\to0 Δy→0 ，即函數 f ( x ) f(x) f(x) 在點 x x x 處可導，則在 x x x 處連續。
導數表
| 一階導數 | 一階導數 |
|---|---|
| ( C ) ′ = 0 (C)'=0\quad (C)′=0 | ( x μ ) ′ = μ x μ − 1 (x^{μ})'=μ x^{μ-1} (xμ)′=μxμ−1 |
| ( a x ) ′ = a x ln a ( a > 0 , a ≠ 1 ) (a^x)'=a^x\ln a(a>0,a\neq1) (ax)′=axlna(a>0,a=1) | ( e x ) ′ = e x (e^x)'=e^x (ex)′=ex |
| ( log a x ) ′ = 1 x ln a ( a > 0 , a ≠ 1 ) (\log_a x)'=\dfrac{1}{x\ln a}(a>0,a\neq1) (logax)′=xlna1(a>0,a=1) | ( ln x ) ′ = 1 x (\ln x)'=\dfrac{1}{x} (lnx)′=x1 |
| ( sin x ) ′ = cos x (\sin x)'=\cos x (sinx)′=cosx | ( cos x ) ′ = − sin x (\cos x)'=-\sin x (cosx)′=−sinx |
| ( tan x ) ′ = sec 2 x (\tan x)'=\sec^2x (tanx)′=sec2x | ( cot x ) ′ = − csc 2 x (\cot x)'=-\csc^2x (cotx)′=−csc2x |
| ( sec x ) ′ = sec x tan x (\sec x)'=\sec x\tan x (secx)′=secxtanx | ( csc x ) ′ = − csc x cot x (\csc x)'=-\csc x\cot x (cscx)′=−cscxcotx |
| ( arcsin x ) ′ = 1 1 − x 2 (\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} (arcsinx)′=1−x2 1 | ( arccos x ) ′ = − 1 1 − x 2 (\arccos x)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} (arccosx)′=−1−x2 1 |
| ( arctan x ) ′ = 1 1 + x 2 (\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2} (arctanx)′=1+x21 | ( a r c c o t x ) ′ = − 1 1 + x 2 (\mathrm{arccot}\ x)'=-\dfrac{1}{1+x^2} (arccot x)′=−1+x21 |
| 高階導數 | 高階導數 |
|---|---|
| ( a x ) ( n ) = a x ( ln a ) n (a^x)^{(n)}=a^x(\ln a)^n (ax)(n)=ax(lna)n | ( e x ) ( n ) = e x (e^x)^{(n)}=e^x (ex)(n)=ex |
| ( x μ ) ( n ) = ∏ i = 0 n − 1 ( μ − i ) ⋅ x μ − n (x^{μ})^{(n)}=\displaystyle\prod_{i=0}^{n-1}(μ-i)\cdot x^{μ-n} (xμ)(n)=i=0∏n−1(μ−i)⋅xμ−n | ( ln x ) ( n ) = ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 ) ! x n (\ln x)^{(n)}=(-1)^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{x^n} (lnx)(n)=(−1)n−1xn(n−1)! |
| ( sin x ) ( n ) = sin ( x + n ⋅ π 2 ) (\sin x)^{(n)}=\sin(x+n\cdot \dfrac{π}{2}) (sinx)(n)=sin(x+n⋅2π) | ( cos x ) ( n ) = cos ( x + n ⋅ π 2 ) (\cos x)^{(n)}=\cos(x+n\cdot \dfrac{π}{2}) (cosx)(n)=cos(x+n⋅2π) |
求導法則 ：設 u = u ( x ) , v = v ( x ) u=u(x), v=v(x) u=u(x),v=v(x) 都可導， C C C是常數
| 一階導數 | 高階導數 |
|---|---|
| ( u ± v ) ′ = u ′ ± v ′ (u± v)'=u'± v' (u±v)′=u′±v′ | ( u ± v ) ( n ) = u ( n ) ± v ( n ) (u± v)^{(n)}=u^{(n)}± v^{(n)} (u±v)(n)=u(n)±v(n) |
| ( C u ) ′ = C u ′ (Cu)'=Cu' (Cu)′=Cu′ | ( C u ) ( n ) = C u ( n ) (Cu)^{(n)}=Cu^{(n)} (Cu)(n)=Cu(n) |
| ( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ (uv)'=u'v+uv' (uv)′=u′v+uv′ | ( u v ) ( n ) = ∑ k = 0 n ∁ n k u ( n − k ) v ( k ) (uv)^{(n)}=\displaystyle\sum_{k=0}^n ∁^k_n u^{(n-k)}v^{(k)} (uv)(n)=k=0∑n∁nku(n−k)v(k) (萊布尼茨公式) |
| ( u v ) ′ = u ′ v − u v ′ v 2 ( v ≠ 0 ) (\dfrac{u}{v})'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}(v\neq0) (vu)′=v2u′v−uv′(v=0) |
反函數的求導法則 ：設 x = f ( y ) x=f(y) x=f(y) 在區間 I y I_y Iy 内單調可導，且 f ′ ( y ) ≠ 0 f'(y)\neq0 f′(y)=0，則反函數 f − 1 ( x ) f^{-1}(x) f−1(x) 的導數
[ f − 1 ( x ) ] ′ = 1 f ′ ( y ) [f^{-1}(x)]'=\dfrac{1}{f'(y)} [f−1(x)]′=f′(y)1 或 d y d x = 1 d x d y \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{1}{\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}} dxdy=dydx1
複合函數的求導法則 ： 鍊式法則(chain rule)
設 y = f ( u ) , u = g ( x ) y=f(u),u=g(x) y=f(u),u=g(x) 都可導，則複合函數 y = f [ g ( x ) ] y=f[g(x)] y=f[g(x)] 導數
y ′ ( x ) = f ′ ( u ) ⋅ g ′ ( x ) y'(x)=f'(u)\cdot g'(x) y′(x)=f′(u)⋅g′(x) 或 d y d x = d y d u ⋅ d u d x \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} dxdy=dudy⋅dxdu
隐函數及參數方程
-
隐函數的概念
(1) 形如 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)表示變量 y y y與 x x x之間的關系，稱為顯函數
(2) 由方程 F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F(x,y)=0可确定一個函數 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)，稱為隐函數(implicit function)
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隐函數的導數
(1) 一般對等式左右兩邊分别求導，來獲得 d y d x \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} dxdy
例如，對橢圓 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 a2x2+b2y2=1求導
2 x a 2 + 2 y b 2 ⋅ d y d x = 0 ⟹ d y d x = − b 2 x a 2 y \dfrac{2x}{a^2}+\dfrac{2y}{b^2}\cdot\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0 \implies\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\dfrac{b^2x}{a^2y} a22x+b22y⋅dxdy=0⟹dxdy=−a2yb2x
(2) 在某些場景，構造隐函數，進行對數求導法比一般求導更簡便些
例如，對一般幂指函數求導 y = u v ( u > 0 ) , u = u ( x ) , v = v ( x ) y=u^v(u>0),u=u(x),v=v(x) y=uv(u>0),u=u(x),v=v(x)
⟹ ln y = v ln u ⟹ 1 y d y d x = v ′ ln u + v u ′ u ⟹ ( u v ) ′ = u v ( v ′ ln u + v u ′ u ) \implies\ln y=v\ln u \\ \implies\dfrac{1}{y}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=v'\ln u+v\dfrac{u'}{u} \\ \implies(u^v)'=u^v(v'\ln u+\dfrac{vu'}{u}) ⟹lny=vlnu⟹y1dxdy=v′lnu+vuu′⟹(uv)′=uv(v′lnu+uvu′)
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參數方程(parametric equation)的導數
參數方程 { x = φ ( t ) y = ψ ( t ) \begin{cases} x=φ(t) \\ y=ψ(t)\end{cases} {x=φ(t)y=ψ(t)，可轉化為 y = ψ [ φ − 1 ( x ) ] y=ψ[φ^{-1}(x)] y=ψ[φ−1(x)]，導數
d y d x = ψ ′ ( t ) φ ′ ( t ) \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{ψ'(t)}{φ'(t)} dxdy=φ′(t)ψ′(t)
ψ ′ ( t ) ψ'(t) ψ′(t) 與 φ ′ ( t ) φ'(t) φ′(t) 之間互相依賴的變化率叫做相關(dependent)變化率
微分
- 微分的定義
高等數學(Calculus I)集合和映射函數和極限導數和微分不定積分定積分 (1) 若函數 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 在點 x 0 x_0 x0的增量 Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δy=f(x_0+Δx)-f(x_0) Δy=f(x0+Δx)−f(x0) 可表示為
Δ y = A Δ x + o ( Δ x ) Δy=AΔx+o(Δx) Δy=AΔx+o(Δx)
其中 A A A 是不依賴于 Δ x Δx Δx的常數，則稱函數在點 x 0 x_0 x0可微(differentiable)， A Δ x AΔx AΔx叫做自變量增量 Δ x Δx Δx的微分(differential)，記作 d y \mathrm{d}y dy
d y = A Δ x \mathrm{d}y=AΔx dy=AΔx
(2) Δ y Δ x = A + o ( Δ x ) Δ x \dfrac{Δy}{Δx}=A+\dfrac{o(Δx)}{Δx} ΔxΔy=A+Δxo(Δx)，當 Δ x → 0 Δx\to0 Δx→0 時，有
A = lim Δ x → 0 Δ y Δ x = f ′ ( x 0 ) A=\lim\limits_{Δx\to0}\dfrac{Δy}{Δx}=f'(x_0) A=Δx→0limΔxΔy=f′(x0)
(3) 當 f ′ ( x 0 ) ≠ 0 f'(x_0)\neq0 f′(x0)=0 時， lim Δ x → 0 Δ y d y = 1 f ′ ( x 0 ) lim Δ x → 0 Δ y Δ x = 1 \lim\limits_{Δx\to0}\dfrac{Δy}{\mathrm{d}y}=\dfrac{1}{f'(x_0)}\lim\limits_{Δx\to0}\dfrac{Δy}{Δx}=1 Δx→0limdyΔy=f′(x0)1Δx→0limΔxΔy=1，即等價無窮小 Δ y ∼ d y Δy∼ \mathrm{d}y Δy∼dy
Δ y = d y + o ( d y ) Δy=\mathrm{d}y+o(\mathrm{d}y) Δy=dy+o(dy)
(4) 當 ∣ Δ x ∣ |Δx| ∣Δx∣ 很小時，有近似等式 Δ y ≈ d y Δy\approx \mathrm{d}y Δy≈dy
( ⋆ ) (\star) (⋆) 函數 f ( x ) f(x) f(x)在點 x 0 x_0 x0處可導 ⟺ \iff ⟺函數 f ( x ) f(x) f(x)在點 x 0 x_0 x0處可微分(differentiable)
-
函數的微分：通常把自變量 x x x 的增量 Δ x Δx Δx，稱作自變量的微分，記作 d x \mathrm{d}x dx，函數的微分
d y = f ′ ( x ) d x \mathrm{d}y=f'(x)\mathrm{d}x dy=f′(x)dx
進而有
d y d x = f ′ ( x ) \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f'(x) dxdy=f′(x)
稱作微商(derivative)。函數的微分可通過導數公式直接求得。
-
高階微分：若将一階微分 d y = f ′ ( x ) d x \mathrm{d}y=f'(x)\mathrm{d}x dy=f′(x)dx 僅看作是 x x x 的函數，則 d y \mathrm dy dy 關于 x x x 的微分
d ( d y ) = d ( f ′ ( x ) d x ) = f ′ ′ ( x ) d x ⋅ d x + f ′ ( x ) d ( d x ) = f ′ ′ ( x ) ( d x ) 2 \mathrm{d(d}y)=\mathrm d(f'(x)\mathrm dx) =f''(x)\mathrm dx\cdot\mathrm dx+f'(x)\mathrm{d(d}x)=f''(x)(\mathrm dx)^2 d(dy)=d(f′(x)dx)=f′′(x)dx⋅dx+f′(x)d(dx)=f′′(x)(dx)2
或寫作
d 2 y = f ′ ′ ( x ) d x 2 \mathrm d^2y=f''(x)\mathrm dx^2 d2y=f′′(x)dx2
稱為 f ( x ) f(x) f(x) 的二階微分，依次下去可得高階微分
d n y = f ( n ) ( x ) d x n \mathrm d^ny=f^{(n)}(x)\mathrm dx^n dny=f(n)(x)dxn
-
微分形式不變性：複合函數 y = f [ g ( x ) ] , u = g ( x ) y=f[g(x)],u=g(x) y=f[g(x)],u=g(x)
d y = f ′ ( u ) g ′ ( x ) d x = f ′ ( u ) d u \mathrm{d}y=f'(u)g'(x)\mathrm{d}x=f'(u)\mathrm{d}u dy=f′(u)g′(x)dx=f′(u)du
從中看出無論 u u u 是自變量還是中間變量，微分的形式保持不變。（高階微分不具有形式不變性）
微分中值定理
- 費馬引理(Fermat’s theorem)： ∀ x ∈ U ( x 0 ) , f ( x ) ⩽ f ( x 0 ) ∀ x\in U(x_0), f(x)⩽ f(x_0) ∀x∈U(x0),f(x)⩽f(x0) 或 f ( x ) ⩾ f ( x 0 ) f(x)⩾ f(x_0) f(x)⩾f(x0) ，則 f ′ ( x 0 ) = 0 f'(x_0)=0 f′(x0)=0
-
羅爾中值定理(Rolle mean value theorem)： f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上連續， ( a , b ) (a,b) (a,b) 内可導，兩端點處 f ( a ) = f ( b ) f(a)=f(b) f(a)=f(b)，則存在至少一個點 ξ ∈ ( a , b ) , f ′ ( ξ ) = 0 ξ\in(a,b), f'(ξ)=0 ξ∈(a,b),f′(ξ)=0
（導數等于零的點稱為函數的駐點, 或穩定點）
-
拉格朗日中值定理(Lagrange mean value theorem)： f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上連續， ( a , b ) (a,b) (a,b) 内可導，則 ∃ ξ ∈ ( a , b ) ∃ ξ\in(a,b) ∃ξ∈(a,b)
f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( ξ ) ( b − a ) f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a) f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)
如果記 f ( x ) f(x) f(x) 為 y y y 上式也可以寫成
Δ y = f ′ ( x + θ Δ x ) Δ x ( 0 < θ < 1 ) Δy=f'(x+\thetaΔx)Δx\quad(0<\theta<1) Δy=f′(x+θΔx)Δx(0<θ<1)
高等數學(Calculus I)集合和映射函數和極限導數和微分不定積分定積分 高等數學(Calculus I)集合和映射函數和極限導數和微分不定積分定積分 -
柯西中值定理(Cauchy mean value theorem)： f ( x ) f(x) f(x) 和 F ( x ) F(x) F(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上連續， ( a , b ) (a,b) (a,b) 内可導，對 ∀ x ∈ ( a , b ) , F ′ ( x ) ≠ 0 ∀ x\in(a,b),F'(x)\neq0 ∀x∈(a,b),F′(x)=0，則存在至少一點 ξ ∈ ( a , b ) ξ\in(a,b) ξ∈(a,b) 使得
f ( b ) − f ( a ) F ( b ) − F ( a ) = f ′ ( ξ ) F ′ ( ξ ) \dfrac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\dfrac{f'(ξ)}{F'(ξ)} F(b)−F(a)f(b)−f(a)=F′(ξ)f′(ξ)
-
洛必達法則(L′Hospital rule)：兩個無窮小之比或兩個無窮大之比的極限可能存在，也可能不存在，通常把這種極限叫做未定式，簡記為 0 0 \dfrac{0}{0} 00 或 ∞ ∞ \dfrac{∞}{∞} ∞∞。
若 f ( x ) f(x) f(x) 和 F ( x ) F(x) F(x) 都趨于0或 ∞ ∞ ∞ 則
lim f ( x ) F ( x ) = lim f ′ ( x ) F ′ ( x ) \lim\dfrac{f(x)}{F(x)}=\lim\dfrac{f'(x)}{F'(x)} limF(x)f(x)=limF′(x)f′(x)
這種在一定條件下通過分子分母分别求導再求極限來确定未定式值的方法，叫做洛必達法則(L’Hospital)。
還有其他未定式，如 0 ⋅ ∞ , 1 ∞ , 0 0 , ∞ 0 , ∞ − ∞ 0\cdot∞,1^{∞},0^0,∞^0,∞-∞ 0⋅∞,1∞,00,∞0,∞−∞等類型，經過簡單變換，它們一般均可化為 0 0 \dfrac{0}{0} 00 或 ∞ ∞ \dfrac{∞}{∞} ∞∞。
泰勒公式
泰勒公式(Taylor formula)：如果 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 處具有 n n n 階導數，那麼存在 U ( x 0 , δ ) U(x_0,δ) U(x0,δ) ，對于該鄰域内的任一 x x x ，有
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + R n ( x ) = ∑ i = 0 n f ( i ) ( x 0 ) i ! ( x − x 0 ) i + R n ( x ) \begin{aligned} f(x)&=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) \\ &=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\dfrac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i+R_n(x) \end{aligned} f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+Rn(x)=i=0∑ni!f(i)(x0)(x−x0)i+Rn(x)
(1) 當 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 處有 n n n 階導， R n ( x ) = o [ ( x − x 0 ) n ] R_n(x)=o[(x-x_0)^n] Rn(x)=o[(x−x0)n] 叫做佩亞諾餘項(Peano remainder)
(2) 當 f ( x ) f(x) f(x) 在 U ( x 0 , δ ) U(x_0,δ) U(x0,δ) 内具有 n + 1 n+1 n+1 階導， R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1， ξ ξ ξ 介于 x x x 和 x 0 x_0 x0 之間，叫做拉格朗日型餘項(Lagrange remainder)
(3) 當 n = 0 n=0 n=0時，即為拉格朗日中值定理；
(4) 當 x 0 = 0 x_0=0 x0=0時，可得麥克勞林公式(Maclaurin formula)
f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ′ ′ ( 0 ) 2 ! x 2 + ⋯ + f ( n ) ( 0 ) n ! x n + f ( n + 1 ) ( θ x ) ( n + 1 ) ! x n + 1 ( 0 < θ < 1 ) f(x)=f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\dfrac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}\quad(0<\theta<1) f(x)=f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)x2+⋯+n!f(n)(0)xn+(n+1)!f(n+1)(θx)xn+1(0<θ<1)
導數的應用
- 函數的單調性(monotone)： f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 内連續， ( a , b ) (a,b) (a,b) 内可導， ∀ x ∈ ( a , b ) f ′ ( x ) { ⩾ 0 , f ( x ) 單 調 遞 增 ⩽ 0 , f ( x ) 單 調 遞 減 ( f ′ ( x ) ≢ 0 ) ∀ x\in(a,b)\\ f'(x)\begin{cases}⩾0,& f(x) 單調遞增 \\ ⩽0,& f(x) 單調遞減 \end{cases} \quad(f'(x)\not\equiv0) ∀x∈(a,b)f′(x){⩾0,⩽0,f(x)單調遞增f(x)單調遞減(f′(x)≡0)
高等數學(Calculus I)集合和映射函數和極限導數和微分不定積分定積分 -
曲線的凹凸性
定義： f ( x ) f(x) f(x) 在區間 I I I 連續， ∀ x 1 , x 2 ∈ I ∀ x_1,x_2\in I ∀x1,x2∈I，恒有
{ f ( x 1 + x 2 2 ) < f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2 , f ( x ) 在 I 上 圖 形 為 凹 弧 f ( x 1 + x 2 2 ) > f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2 , f ( x ) 在 I 上 圖 形 為 凸 弧 \begin{cases} f(\dfrac{x_1+x_2}{2})<\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2},&f(x)在I上圖形為凹弧 \\ f(\dfrac{x_1+x_2}{2})>\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2},&f(x)在I上圖形為凸弧 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧f(2x1+x2)<2f(x1)+f(x2),f(2x1+x2)>2f(x1)+f(x2),f(x)在I上圖形為凹弧f(x)在I上圖形為凸弧
定理： f ( x ) f(x) f(x) 在區間 [ a , b ] [a,b] [a,b] 連續，在 ( a , b ) (a,b) (a,b) 具有二階導數，若
{ f ′ ′ ( x ) > 0 , f ( x ) 凹 弧 f ′ ′ ( x ) < 0 , f ( x ) 凸 弧 \begin{cases} f''(x)>0,&f(x)凹弧\\f''(x)<0,&f(x)凸弧\end{cases} {f′′(x)>0,f′′(x)<0,f(x)凹弧f(x)凸弧
一般的，若函數經過點 ( x 0 , f ( x 0 ) ) (x_0,f(x_0)) (x0,f(x0))函數的凹凸性改變了，點 ( x 0 , f ( x 0 ) ) (x_0,f(x_0)) (x0,f(x0)) 就稱為拐點(inflection point)。
高等數學(Calculus I)集合和映射函數和極限導數和微分不定積分定積分 -
函數的極值(extremum)
定義：若函數 f ( x ) f(x) f(x) 在點 x 0 x_0 x0 的某去心鄰域内有定義，對 ∀ x ∈ U ˚ ( x 0 ) ∀ x\in\mathring{U}(x_0) ∀x∈U˚(x0) 有 f ( x ) < f ( x 0 ) f(x)<f(x_0) f(x)<f(x0) 或 f ( x ) > f ( x 0 ) f(x)>f(x_0) f(x)>f(x0)，稱 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0) 是函數的一個極大值(maximum)或極小值(minimum)
(必要條件)：設 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0處可導， f ( x 0 ) f(x_0) f(x0)為極值 ⟹ f ′ ( x 0 ) = 0 \implies f'(x_0)=0 ⟹f′(x0)=0
(第一充分條件)：設 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 處連續，且在某去心鄰域内 U ˚ ( x 0 , δ ) \mathring{U}(x_0,δ) U˚(x0,δ) 可導
若 ∀ x 1 ∈ ( x 0 − δ , x 0 ) , x 2 ∈ ( x 0 , x 0 + δ ) , f ′ ( x 1 ) ⋅ f ′ ( x 2 ) { < 0 , f ( x ) 在 點 x 0 取 得 極 值 > 0 , f ( x ) 在 點 x 0 沒 有 極 值 ∀ x_1\in(x_0-δ,x_0),x_2\in(x_0,x_0+δ),\\ f'(x_1)\cdot f'(x_2)\begin{cases}<0, &f(x)在點x_0取得極值 \\>0,&f(x)在點x_0沒有極值 \end{cases} ∀x1∈(x0−δ,x0),x2∈(x0,x0+δ),f′(x1)⋅f′(x2){<0,>0,f(x)在點x0取得極值f(x)在點x0沒有極值
(第二充分條件)：設 f ′ ( x 0 ) = 0 , f ′ ′ ( x 0 ) ≠ 0 f'(x_0)=0,f''(x_0)\neq0 f′(x0)=0,f′′(x0)=0 若
f ′ ′ ( x 0 ) { < 0 , f ( x ) 在 點 x 0 取 得 極 大 值 > 0 , f ( x ) 在 點 x 0 取 得 極 小 值 f''(x_0)\begin{cases}<0,&f(x)在點x_0取得極大值\\>0,&f(x)在點x_0取得極小值 \end{cases} f′′(x0){<0,>0,f(x)在點x0取得極大值f(x)在點x0取得極小值
高等數學(Calculus I)集合和映射函數和極限導數和微分不定積分定積分 - 方程的近似解
曲率
光滑曲線：若函數 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上有連續導數，則稱曲線 Γ : y = f ( x ) , x ∈ [ a , b ] Γ: y=f(x),x\in[a,b] Γ:y=f(x),x∈[a,b]為光滑曲線。
-
弧微分 (arc differential)：取 Δ s = M M ′ ⌢ Δs=\overset{\frown}{MM'} Δs=MM′⌢ 可推導出
d s = 1 + y ′ 2 d x \mathrm{d}s=\sqrt{1+y'^2}\mathrm{d}x ds=1+y′2
dx
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-
曲率 (curvature)：
上圖中弧 M M ′ ⌢ \overset{\frown}{MM'} MM′⌢的切線轉角 Δ α Δα Δα與該弧長 Δ s Δs Δs之比的絕對值稱作該弧的平均曲率，記作 K ‾ = ∣ Δ α Δ s ∣ \overline{K}=\mid\dfrac{Δα}{Δs}\mid K=∣ΔsΔα∣，
當 Δ s → 0 Δs\to0 Δs→0， M ′ → M M'\to M M′→M 時，上述 K ‾ \overline{K} K的極限稱作點 M M M 的曲率，記作 K = lim Δ → 0 ∣ Δ α Δ s ∣ = ∣ d α d s ∣ K=\lim\limits_{Δ\to0}|\dfrac{Δα}{Δs}|=|\dfrac{\mathrm{d}α}{\mathrm{d}s}| K=Δ→0lim∣ΔsΔα∣=∣dsdα∣
K = ∣ y ′ ′ ∣ ( 1 + y ′ 2 ) 3 / 2 K=\dfrac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}} K=(1+y′2)3/2∣y′′∣
- 曲率圓(circle of curvature)：設下圖中的内切圓半徑為 a a a
高等數學(Calculus I)集合和映射函數和極限導數和微分不定積分定積分 弧長 Δ s = a Δ α ⟹ Δ α Δ s = a Δs=aΔα \implies \cfrac{Δα}{Δs}=a Δs=aΔα⟹ΔsΔα=a ，取極限可得到曲率圓，半徑 ρ ρ ρ 叫曲率半徑
ρ = 1 K ρ=\dfrac{1}{K} ρ=K1
曲率圓的中心 D ( x 0 , y 0 ) D(x_0,y_0) D(x0,y0)叫曲率中心(center of curvature)
{ x 0 = x − y ′ ( 1 + y ′ 2 ) y ′ ′ y 0 = y + 1 + y ′ 2 y ′ ′ \begin{cases} x_0=x-\dfrac{y'(1+y'^2)}{y''} \\ y_0=y+\dfrac{1+y'^2}{y''} \end{cases} ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x0=x−y′′y′(1+y′2)y0=y+y′′1+y′2
-
漸屈線和漸伸線：當點 M M M 沿曲線 f ( x ) f(x) f(x) 移動時，相應的曲率中心 D D D 的軌迹曲線
G G G 稱為 f ( x ) f(x) f(x) 的漸屈線(evolute)，曲線 f ( x ) f(x) f(x) 叫做曲線 G G G 的漸伸線(involute)。
不定積分
不定積分的概念
-
原函數 (primitive function)：對于 ∀ x ∈ I ∀x\in I ∀x∈I ，都有 F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x)=f(x) F′(x)=f(x) 或 d F ( x ) = f ( x ) d x \mathrm dF(x)=f(x)\mathrm{d}x dF(x)=f(x)dx，那麼 F ( x ) F(x) F(x) 就叫做 f ( x ) f(x) f(x) 在區間 I I I上的一個原函數。
(1) 連續函數一定有原函數（原函數存在定理）。
(2) 當 F ( x ) F(x) F(x)是一個原函數時， [ F ( x ) + C ] ′ = f ( x ) [F(x)+C]'=f(x) [F(x)+C]′=f(x)。
(3) f ( x ) f(x) f(x) 在區間 I I I上的任意兩個原函數之間，隻可能相差一個常數。
-
不定積分(indefinite integral)：在區間 I I I 上，函數 f ( x ) f(x) f(x) 的帶有任意常數項的原函數稱為 f ( x ) f(x) f(x) 的不定積分
∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C \int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C ∫f(x)dx=F(x)+C
函數 f ( x ) f(x) f(x) 稱為被積函數(integrand)， x x x為積分變量。
- 幾何意義：稱原函數 y = F ( x ) y=F(x) y=F(x) 的幾何圖像是 f ( x ) f(x) f(x) 的一條積分曲線，所有的積分曲線都是由一條積分曲線沿縱軸平移而得到的。
高等數學(Calculus I)集合和映射函數和極限導數和微分不定積分定積分
基本積分表
基本積分表 (basic integral table)：由導數公式得到的基本積分公式
| 基本積分 | 基本積分 |
|---|---|
| ∫ k d x = k x + C \displaystyle\int k\mathrm{d}x=kx+C ∫kdx=kx+C | ∫ x μ d x = x μ + 1 μ + 1 + C \displaystyle\int x^{μ} \mathrm{d}x=\dfrac{x^{μ+1}}{μ+1}+C ∫xμdx=μ+1xμ+1+C |
| ∫ a x d x = a x ln a + C \displaystyle\int a^x\mathrm{d}x=\dfrac{a^x}{\ln a}+C ∫axdx=lnaax+C | ∫ e x d x = e x + C \displaystyle\int e^x\mathrm{d}x=e^x+C ∫exdx=ex+C |
| ∫ d x x = ln ∣ x ∣ + C \displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{x}=\ln \mid x\mid +C ∫xdx=ln∣x∣+C | |
| ∫ d x 1 + x 2 = arctan x + C \displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\arctan x+C ∫1+x2dx=arctanx+C | ∫ d x 1 − x 2 = arcsin x + C \displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C ∫1−x2 dx=arcsinx+C |
| ∫ cos x d x = sin x + C \displaystyle\int \cos x\mathrm{d}x=\sin x+C ∫cosxdx=sinx+C | ∫ sin x d x = − cos x + C \displaystyle\int \sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C ∫sinxdx=−cosx+C |
| ∫ d x cos 2 x = ∫ sec 2 x d x = tan x + C \displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{\cos^2x}=\int \sec^2x\mathrm{d}x=\tan x+C ∫cos2xdx=∫sec2xdx=tanx+C | ∫ d x sin 2 x = ∫ csc 2 x d x = − cot x + C \displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{\sin^2x}=\int \csc^2x\mathrm{d}x=-\cot x+C ∫sin2xdx=∫csc2xdx=−cotx+C |
| ∫ sec x tan x d x = sec x + C \displaystyle\int \sec x\tan x\mathrm{d}x=\sec x+C ∫secxtanxdx=secx+C | ∫ csc x cot x d x = − csc x + C \displaystyle\int \csc x\cot x\mathrm{d}x=-\csc x+C ∫cscxcotxdx=−cscx+C |
| ∫ sh x d x = ch x + C \displaystyle\int \text{sh} x\mathrm{d}x=\text{ch} x+C ∫shxdx=chx+C | ∫ ch x d x = sh x + C \displaystyle\int \text{ch} x\mathrm{d}x=\text{sh} x+C ∫chxdx=shx+C |
積分方法
-
不定積分的性質
∫ [ f ( x ) ± g ( x ) ] d x = ∫ f ( x ) d x ± ∫ g ( x ) d x ∫ k f ( x ) d x = k ∫ f ( x ) d x \begin{aligned} & \int[f(x)± g(x)]\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}x±\int g(x)\mathrm{d}x \\ & \int kf(x)\mathrm{d}x=k\int f(x)\mathrm{d}x \end{aligned} ∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx∫kf(x)dx=k∫f(x)dx
-
第一類換元法 ：設 u = φ ( x ) u=φ(x) u=φ(x)
∫ f [ φ ( x ) ] φ ′ ( x ) d x = ∫ f [ φ ( x ) ] d [ φ ( x ) ] = [ ∫ f ( u ) d u ] u = φ ( x ) \int f[φ(x)]φ'(x)\mathrm{d}x=\int f[φ(x)]\mathrm{d}[φ(x)] =[\int f(u)\mathrm{d}u]_{u=φ(x)} ∫f[φ(x)]φ′(x)dx=∫f[φ(x)]d[φ(x)]=[∫f(u)du]u=φ(x)
例如 ∫ 2 cos 2 x d x = ∫ cos 2 x ⋅ ( 2 x ) ′ d x = ∫ cos u d u = sin 2 x + C \displaystyle \int2\cos2xdx=\int\cos2x\cdot(2x)'dx=\int\cos udu=\sin2x+C ∫2cos2xdx=∫cos2x⋅(2x)′dx=∫cosudu=sin2x+C
-
第二類換元法 ：設 x = ψ ( t ) x=ψ(t) x=ψ(t)
∫ f ( x ) d x = [ ∫ ψ ( t ) ψ ′ ( t ) d t ] t = ψ − 1 ( x ) \int f(x)\mathrm{d}x=[\intψ(t)ψ'(t)\mathrm{d}t]_{t=ψ^{-1}(x)} ∫f(x)dx=[∫ψ(t)ψ′(t)dt]t=ψ−1(x)
例如，求 ∫ a 2 − x 2 d x ( a > 0 ) \displaystyle\int\sqrt{a^2-x^2}dx \quad(a>0) ∫a2−x2
dx(a>0)
我們可以用三角公式 sin 2 t + cos 2 t = 1 \sin^2t+\cos^2t=1 sin2t+cos2t=1 解決
設 x = a sin t , ( − π / 2 < t < π / 2 ) x=a\sin t,(-\pi/2<t<\pi/2) x=asint,(−π/2<t<π/2) ，則 a 2 − x 2 = a cos t , d x = a cos t d t \sqrt{a^2-x^2}=a\cos t, dx=a\cos tdt a2−x2
=acost,dx=acostdt
于是所求的積分化為 ∫ a 2 − x 2 d = a 2 ∫ cos 2 t d t \displaystyle\int\sqrt{a^2-x^2}d=a^2\int\cos^2tdt ∫a2−x2
d=a2∫cos2tdt
利用三角函數和差化積公式可求得 ∫ a 2 − x 2 d = a 2 2 t + a 2 2 sin t cos t + C \displaystyle\int\sqrt{a^2-x^2}d=\frac{a^2}{2}t+\frac{a^2}{2}\sin t\cos t+C ∫a2−x2
d=2a2t+2a2sintcost+C
将 t = arcsin x a t=\arcsin \cfrac{x}{a} t=arcsinax 帶入即可求得。
-
分部積分法(integration by parts)：由乘積的導數公式可推得
∫ u d v = u v − ∫ v d u \int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u ∫udv=uv−∫vdu
例如 ∫ x e x d x = ∫ x d ( e x ) = x e x − ∫ e x d x = ( x − 1 ) e x + C \displaystyle\int xe^xdx=\int xd(e^x)=xe^x-\int e^xdx=(x-1)e^x+C ∫xexdx=∫xd(ex)=xex−∫exdx=(x−1)ex+C
-
有理函數的積分：是指由兩個多項式函數的商所表示的函數，其一般形式為
R ( x ) = P ( x ) Q ( x ) = a 0 x n + a 1 x n − 1 + ⋯ + a n b 0 x m + b 1 x m − 1 + ⋯ + a m R(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n}{b_0x^m+b_1x^{m-1}+\cdots+a_m} R(x)=Q(x)P(x)=b0xm+b1xm−1+⋯+ama0xn+a1xn−1+⋯+an
其中 n , m ∈ N + , a 0 , b 0 ≠ 0 n,m\in \N^+,a_0,b_0\neq0 n,m∈N+,a0,b0=0
(1) 若 m > n m>n m>n，則稱它為真分式；若 m ≤ n m≤n m≤n，則稱它為假分式。
由多項式的除法可知，假分式總能化為一個多項式與一個真分式之和。由于多項式的不定積分是容易求得的，是以隻需研究真分式的不定積分，不妨設上式為真分式。
(2) 任意真分式都可化為部分分式之和，分解後的部分分式隻有兩類
1 ( x − a ) k \dfrac{1}{(x-a)^k} (x−a)k1 和 A x + B ( x 2 + p x + q ) l \dfrac{Ax+B}{(x^2+px+q)^l} (x2+px+q)lAx+B ，其中 p 2 − 4 q < 0 p^2-4q<0 p2−4q<0，分别求積分即可。
定積分
定積分的概念和性質
-
引入意義
曲邊梯形 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)，在區間 x ∈ [ a , b ] x\in[a,b] x∈[a,b]上的面積 A = lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i A=\lim\limits_{λ\to0}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(ξ_i)Δx_i A=λ→0limi=1∑nf(ξi)Δxi
變速 v = v ( t ) v=v(t) v=v(t)直線運動在時間段内 t ∈ [ T 1 , T 2 ] t\in[T_1,T_2] t∈[T1,T2]的路程 s = lim λ → 0 ∑ i = 1 n v ( τ i ) Δ t i s=\lim\limits_{λ\to0}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}v(τ_i)Δt_i s=λ→0limi=1∑nv(τi)Δti
高等數學(Calculus I)集合和映射函數和極限導數和微分不定積分定積分 -
定義：設函數 f ( x ) f(x) f(x) 在區間 [ a , b ] [a,b] [a,b]上連續
将區間 [ a , b ] [a,b] [a,b]分成 n n n 個子區間( x 0 = a , x n = b x_0=a,x_n=b x0=a,xn=b)
[ x 0 , x 1 ] , ( x 1 , x 2 ] , ( x 2 , x 3 ] , … , ( x n − 1 , x n ] [x_0,x_1], (x_1,x_2], (x_2,x_3], …, (x_{n-1},x_n] [x0,x1],(x1,x2],(x2,x3],…,(xn−1,xn]
各區間的長度依次是
Δ x 1 = x 1 − x 0 , Δ x 2 = x 2 − x 1 , ⋯ , Δ x n = x n − x n − 1 Δx_1=x_1-x_0,Δx_2=x_2-x_1,\cdots,Δx_n=x_n-x_{n-1} Δx1=x1−x0,Δx2=x2−x1,⋯,Δxn=xn−xn−1
在每個子區間 ( x i − 1 , x i ] (x_{i-1},x_i] (xi−1,xi]中任取一點 ξ i ξ_i ξi，作函數 f ( ξ i ) f(ξ_i) f(ξi)與小區間長度 Δ x i Δx_i Δxi的乘積 f ( ξ i ) Δ x i ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) f(ξ_i)Δx_i(i=1,2,\cdots,n) f(ξi)Δxi(i=1,2,⋯,n)，并作出求和
S = ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i S=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(ξ_i)Δx_i S=i=1∑nf(ξi)Δxi
記 λ = max { Δ x 1 , Δ x 2 , ⋯ , Δ x n } λ=\max\{Δx_1,Δx_2, \cdots,Δx_n\} λ=max{Δx1,Δx2,⋯,Δxn}，如果當 λ → 0 λ\to0 λ→0時，積分和的極限存在，且與閉區間 [ a , b ] [a,b] [a,b]的分法及點 ξ i ξ_i ξi的取法無關，則這個極限叫做函數 f ( x ) f(x) f(x) 在區間 [ a , b ] [a,b] [a,b]的定積分(Definite Integral)，記為
∫ a b f ( x ) d x = lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i \int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{λ\to0}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(ξ_i)Δx_i ∫abf(x)dx=λ→0limi=1∑nf(ξi)Δxi
[ a , b ] [a,b] [a,b] 稱為積分區間(integral interval)， f ( x ) f(x) f(x)是被積函數(integrand)。
( ⋆ ) (\star) (⋆) 之是以稱其為定積分，是因為它積分後得出的值是确定的，是一個常數， 而不是一個函數。定積分隻與被積函數和積分區間有關，而與積分變量用什麼字母表示無關。這裡應注意定積分與不定積分僅僅在數學上有一個計算關系（牛頓-萊布尼茨公式），其它一點關系都沒有！
| 定積分主要性質 |
|---|
| ∫ a a f ( x ) d x = 0 \displaystyle\int_a^a f(x)\mathrm{d}x=0 ∫aaf(x)dx=0 |
| ∫ a b f ( x ) d x = − ∫ b a f ( x ) d x \displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=-\int_b^a f(x)\mathrm{d}x ∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx |
| ∫ a b k f ( x ) d x = k ∫ a b f ( x ) d x \displaystyle\int_a^b kf(x)\mathrm{d}x=k\int_a^b f(x)\mathrm{d}x ∫abkf(x)dx=k∫abf(x)dx |
| ∫ a b [ f ( x ) ± g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x ± ∫ a b g ( x ) d x \displaystyle\int_a^b [f(x)± g(x)]\mathrm{d}x=\int_a^b f(x)\mathrm{d}x ± \int_a^b g(x)\mathrm{d}x ∫ab[f(x)±g(x)]dx=∫abf(x)dx±∫abg(x)dx |
| ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x \displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\int_a^c f(x)\mathrm{d}x + \int_c^b f(x)\mathrm{d}x ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx |
| ∫ a b d x = b − a \displaystyle\int_a^b \mathrm{d}x=b-a ∫abdx=b−a |
-
定積分中值定理： f ( x ) f(x) f(x) 在區間 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上連續，則至少存在一點 ξ ∈ [ a , b ] ξ\in[a,b] ξ∈[a,b]
∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) \int_a^bf(x)\mathrm{d}x=f(ξ)(b-a) ∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)
f ( ξ ) f(ξ) f(ξ) 稱為 f ( x ) f(x) f(x) 在區間 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的平均值。
-
定積分函數：如果 f ( x ) f(x) f(x)在區間 [ a , b ] [a,b] [a,b]上連續，則積分上限的函數
Φ ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t Φ(x)=\int_a^xf(t)\mathrm{d}t \\ Φ(x)=∫axf(t)dt
在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上可導，且它的導數
Φ ′ ( x ) = d d x ∫ a x f ( t ) d t = f ( x ) Φ'(x)=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^xf(t)\mathrm{d}t=f(x) Φ′(x)=dxd∫axf(t)dt=f(x)
證明：取增量 Δ x Δx Δx 且 x + Δ x ∈ [ a , b ] x+Δx\in[a,b] x+Δx∈[a,b]
Δ Φ = Φ ( x + Δ x ) − Φ ( x ) = ∫ a x + Δ x f ( t ) d t − ∫ a x f ( t ) d t = ∫ x x + Δ x f ( t ) d t = f ( ξ ) Δ x \begin{aligned}\displaystyle ΔΦ &=Φ(x+Δx)-Φ(x) \\ &=\int_a^{x+Δx}f(t)dt-\int_a^xf(t)dt \\ &=\int_x^{x+Δx}f(t)dt \\ &=f(ξ)Δx \end{aligned} ΔΦ=Φ(x+Δx)−Φ(x)=∫ax+Δxf(t)dt−∫axf(t)dt=∫xx+Δxf(t)dt=f(ξ)Δx
其中 ξ ∈ ( a , b ) ξ\in(a,b) ξ∈(a,b) ，由于 f ( x ) f(x) f(x) 的連續性，于是 lim Δ x → 0 Δ Φ Δ x = f ( x ) \lim\limits_{Δx\to0}\cfrac{ΔΦ}{Δx}=f(x) Δx→0limΔxΔΦ=f(x)
定理：如果 f ( x ) f(x) f(x)在區間 [ a , b ] [a,b] [a,b]上連續，那麼原函數
F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t + C \displaystyle F(x)=\int_a^xf(t)\mathrm{d}t+C F(x)=∫axf(t)dt+C
一般的，設 f ( x ) f(x) f(x) 連續， ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x) 可導，則有
d d x ∫ a ϕ ( x ) f ( t ) d t = f [ ϕ ( x ) ] ϕ ′ ( x ) \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^{\phi(x)}f(t)\mathrm{d}t=f[\phi(x)]\phi'(x) dxd∫aϕ(x)f(t)dt=f[ϕ(x)]ϕ′(x)
-
定積分第二中值定理：設 f ( x ) f(x) f(x) 在區間 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上連續，若函數 g ( x ) g(x) g(x) 在區間 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上單調，則存在 ξ ∈ [ a , b ] ξ\in[a,b] ξ∈[a,b] 使
∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = g ( a ) ∫ a ξ f ( x ) d x + g ( b ) ∫ ξ b f ( x ) d x \int_a^bf(x)g(x)\mathrm{d}x=g(a)\int_a^ξf(x)\mathrm{d}x+g(b)\int_ξ^bf(x)\mathrm{d}x ∫abf(x)g(x)dx=g(a)∫aξf(x)dx+g(b)∫ξbf(x)dx
定積分的計算方法
-
微積分基本定理：如果 F ( x ) F(x) F(x) 是連續函數 f ( x ) f(x) f(x) 在區間 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的原函數，則
∫ a b f ( x ) d x = F ( x ) ∣ a b = F ( b ) − F ( a ) \int_a^b f(x)\mathrm{d}x=F(x)\Big|_a^b=F(b)-F(a) ∫abf(x)dx=F(x)∣∣∣ab=F(b)−F(a)
上式稱為微積分基本定理又稱牛頓-萊布尼茨公式(Newton-Leibniz formula)。
-
換元法 (integration by substitution)
∫ a b f ( x ) d x = ∫ α β φ ( t ) φ ′ ( t ) d t \int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\int_{α}^{β}φ(t)φ'(t)\mathrm{d}t ∫abf(x)dx=∫αβφ(t)φ′(t)dt
其中 φ ( α ) = a , φ ( β ) = b φ(α)=a,φ(β)=b φ(α)=a,φ(β)=b
-
分部積分法 (integration by parts)
∫ a b u d u = u v ∣ a b − ∫ a b v d u \int_a^b u\mathrm{d}u=uv\Big|_a^b-\int_a^b v\mathrm{d}u ∫abudu=uv∣∣∣ab−∫abvdu
反常積分
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無窮區間的反常積分 (improper integral)
∫ a + ∞ f ( x ) d x = lim t → + ∞ ∫ a t f ( x ) d x ∫ − ∞ b f ( x ) d x = lim t → − ∞ ∫ t b f ( x ) d x ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = ∫ − ∞ 0 f ( x ) d x + ∫ 0 + ∞ f ( x ) d x \begin{aligned} & \int_a^{+∞}f(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{t\to+∞}\int_a^t f(x)\mathrm{d}x\\ & \int^b_{-∞}f(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{t\to-∞}\int^b_t f(x)\mathrm{d}x\\ & \int^{+∞}_{-∞}f(x)\mathrm{d}x=\int^0_{-∞}f(x)\mathrm{d}x+\int^{+∞}_0f(x)\mathrm{d}x \end{aligned} ∫a+∞f(x)dx=t→+∞lim∫atf(x)dx∫−∞bf(x)dx=t→−∞lim∫tbf(x)dx∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞0f(x)dx+∫0+∞f(x)dx
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無界函數的反常積分
(1) 如果函數 f ( x ) f(x) f(x)在點 c c c 的任意鄰域内都無界，那麼點 c c c 稱為瑕點（無界間斷點），無界函數的反常積分又稱瑕積分。
(2) 設 c c c 為瑕點，通常瑕積分仍記作
∫ c b f ( x ) d x = lim t → c + ∫ t b f ( x ) d x x ∈ ( c , b ] ∫ a c f ( x ) d x = lim t → c − ∫ a t f ( x ) d x x ∈ [ a , c ) ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x x ∈ [ a , c ) ∪ ( c , b ] \begin{aligned} & \int_c^b f(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{t\to c^+}\int_t^b f(x)\mathrm{d}x & x\in(c,b]\\ & \int_a^c f(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{t\to c^-}\int_a^t f(x)\mathrm{d}x & x\in[a,c) \\ & \int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\int_a^c f(x)\mathrm{d}x + \int_c^b f(x)\mathrm{d}x & x\in[a,c)∪(c,b] \end{aligned} ∫cbf(x)dx=t→c+lim∫tbf(x)dx∫acf(x)dx=t→c−lim∫atf(x)dx∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dxx∈(c,b]x∈[a,c)x∈[a,c)∪(c,b]
定積分的應用
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求橢圓的面積：參數方程 { x = a cos t y = b sin t \begin{cases}x=a\cos t \\ y=b\sin t\end{cases} {x=acosty=bsint
A = 4 A 1 = 4 ∫ 0 a y d x = π a b \displaystyle A=4A_1=4\int_0^a y\mathrm{d}x=π ab A=4A1=4∫0aydx=πab
高等數學(Calculus I)集合和映射函數和極限導數和微分不定積分定積分 -
曲邊扇形的面積（極坐标）： ρ = ρ ( θ ) θ ∈ [ α , β ] ρ=ρ(θ)\quadθ\in[α,β] ρ=ρ(θ)θ∈[α,β]
d A = 1 2 ρ 2 ( θ ) d θ ⟹ A = ∫ α β 1 2 ρ 2 ( θ ) d θ \displaystyle \mathrm{d}A=\dfrac{1}{2}ρ^2(θ)\mathrm{d}θ \implies A=\int_α^β\frac{1}{2}ρ^2(θ)dθ dA=21ρ2(θ)dθ⟹A=∫αβ21ρ2(θ)dθ
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計算阿基米德螺線的面積（極坐标）： ρ = a θ ( a > 0 ) ρ=aθ\quad(a>0) ρ=aθ(a>0)
d A = 1 2 ( a θ ) 2 d θ ⟹ A = ∫ 0 2 π d A = 4 3 a 2 π 3 \displaystyle \mathrm{d}A=\dfrac{1}{2}(aθ)^2\mathrm{d}θ \implies A=\int_0^{2π}\mathrm{d}A=\dfrac{4}{3}a^2π^3 dA=21(aθ)2dθ⟹A=∫02πdA=34a2π3
高等數學(Calculus I)集合和映射函數和極限導數和微分不定積分定積分 高等數學(Calculus I)集合和映射函數和極限導數和微分不定積分定積分 -
旋轉體的體積：曲線 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)
d V = π [ f ( x ) ] 2 d x ⟹ V = ∫ a b π [ f ( x ) ] 2 d x \displaystyle \mathrm{d}V=π[f(x)]^2\mathrm{d}x \implies V=\int_a^b π[f(x)]^2\mathrm{d}x dV=π[f(x)]2dx⟹V=∫abπ[f(x)]2dx
高等數學(Calculus I)集合和映射函數和極限導數和微分不定積分定積分 -
平面曲線的弧長
(1) 直角坐标 y = f ( x ) ⟹ s = ∫ a b 1 + y ′ 2 d x \displaystyle y=f(x) \implies s=\int_a^b\sqrt{1+y'^2}\mathrm{d}x y=f(x)⟹s=∫ab1+y′2
dx
(2) 極坐标 ρ = ρ ( θ ) ⟹ s = ∫ α β ρ 2 ( θ ) + ρ ′ 2 ( θ ) d θ \displaystyle ρ=ρ(θ) \implies s=\int_{α}^{β}\sqrt{ρ^2(θ)+ρ'^2(θ)}\mathrm{d}θ ρ=ρ(θ)⟹s=∫αβρ2(θ)+ρ′2(θ)
dθ
(3) 參數方程 { x = x ( t ) y = y ( t ) ⟹ s = ∫ α β x ′ 2 ( t ) + y ′ 2 ( t ) d t \displaystyle\begin{cases}x=x(t) \\ y=y(t) \end{cases} \implies s=\int_{α}^{β}\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}\mathrm{d}t {x=x(t)y=y(t)⟹s=∫αβx′2(t)+y′2(t)
dt
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