導數與微分

1. 導數
- 1.1. \(\color{#00FFFF}{問題引入：}\)
- 1.2. 導數的定義
- 1.3. 導數的意義
- 1.4. 左右導數
- 1.5. 導函數
  - 1.5.1. 引入
  - 1.5.2. 導函數的性質定理
2. 求導
- 2.1. 求基本初等函數的導函數
  - 2.1.1. 常值函數
  - 2.1.2. 指數函數
  - 2.1.3. 對數函數
  - 2.1.4. 幂函數(\(\ast\))
  - 2.1.5. 正弦餘弦
- 2.2. 函數的求導法則
  - 2.2.1. 四則運算法則
  - 2.2.2. 反函數求導法則
  - 2.2.3. 複合函數求導法則
- 2.3. 高階導數
  - 2.3.1. 高階導數相關概念
  - 2.3.2. 某些基本函數的n階導數
  - 2.3.3. 高階導數的運算性質
    - 2.3.3.1. 四則運算性質
    - 2.3.3.2. Leibniz法則變式
    - 2.3.3.3. 變成加和
- 2.4. 方程确定函數的求導
  - 2.4.1. 顯函數與隐函數
  - 2.4.2. 對數微分法
3. 微分
- 3.1. 微分的引入
- 3.2. 微分
  - 3.2.1. 線性的主部
  - 3.2.2. 可導可微的關系
  - 3.2.3. \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\)的了解
  - 3.2.4. 基本初等函數的微分公式
- 3.3. 求微分
  - 3.3.1. 常見微分公式
  - 3.3.2. 微分的四則運算法則
  - 3.3.3. 微分的一階形式不變性
  - 3.3.4. 微分的分析了解
- 3.4. 微分性質綜合應用舉例——參方求導

1. 導數

1.1. \(\color{#00FFFF}{問題引入：}\)

\(1^。\)切線

切線：設曲線\(y=f(x)\)在曲線上點\(P_0(x_0, y_0)\)處作與曲線相交的割線\(P_0Q\).進而當\(Q\)沿曲線\(y=f(x)\)趨于\(P_0\)點時，割線\(P_0Q\)的極限位置的\(P_0T\)存在且唯一，稱\(P_0T\)是曲線\(y=f(x)\)在\(P_0\)處的切線。
設曲線\(y=f(x)\)在曲線上\(P_0(x_0, y_0)\)處存在切線\(P_0T\)且\(P_0T\nparallel y\)軸，求\(P_0T\)的斜率\(k_{P_0T}\)（目标）

過\(P_0(x_0, y_0)\)作曲線\(y=f(x)\)的割線\(P_0Q, Q(x_0+\Delta x, f(x_0+\Delta x)).\) 割線\(P_0Q\)的斜率\(k_{P_0Q}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta x},\)成為\((x_0, x_0 + \Delta x)\)上函數值的平均變化率。
(接下來我們可以構造趨近過程：\(Q\to P_0\Leftrightarrow\Delta x\to0, \,f(x_0 + \Delta x)\to f(x_0)\Rightarrow f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\to0\Rightarrow\lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta y\to0\Leftrightarrow f(x)\)在\(x\)處連續。)
\(k_{P_0T}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}k_{P_0Q}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}.\)(極限存在)

\(2^。\) 瞬時速度

質點作變速直線運動，求\(t_0\)時的瞬時速度\(v(t_0).\)

設質點作變速直線運動，在\(t\)時刻的位移是\(s=s(t),\,\)在\(t_0\)時刻起一小段時間\(\Delta t\)内的平均速度\(\overline{v}=\frac{s(t_0+\Delta t) - s(t_0)}{\Delta t}\)，瞬時速度\(v(t_0)=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\overline{v}=\lim\limits_{\Delta t\to0}\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t\to0}\frac{\Delta s}{\Delta t}\)(實際上，由于實體位移的連續必然屬性,極限存在).

\(3^。\)人口增長率問題

求某一時刻\(t_0\)時，人口的增長率\(k_{t_0}\)。(設\(t\)時刻某地區人口\(N=N(t)\))。

由前兩個問題的研究我們直接寫出結果：

\(\lim\limits_{\Delta t\to0}\frac{N(t_0+\Delta t)-N(t_0)}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t\to0}\frac{\Delta N}{\Delta t}\)同樣是由于人口變化的實際，這個函數必然是連續的，進而原式極限存在\(=k_{t_0}.\)

從以上幾個例子中我們應該看到，導數存在鮮明的實際意義，這一點在建立微分方程的時候很關鍵。

1.2. 導數的定義

設\(y=f(x)\)在\(u(x_0, \delta_0)\)内有定義\((\delta_0>0)，\)且\(x_0+\Delta x\in u(x_0, \delta_0).\)若：

\(1^。\)\(\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\)（抽象函數時使用）
或\(2^。\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x_0}\)（用于初等函數公式推導，強調增量）
或\(3^。\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_)}{x-x_0}\)（用于研究一點是否可導，變量不是主要因素，強調定點\(x_0\)）

存在，則稱函數\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)處可導。該點導數值即為這個極限的值，記作\(f'(x_0)\)或\(y'\big|_{x=x_0}\)或\(\frac{dy}{dx}\Big|_{x=x_0}\)或\(\frac{df(x)}{dx}\Big|_{x=x_0}.\)

有方程

\[\lim\limits_{\Delta\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f'(x_0). \]

有了等式才有推理空間

則稱\(f(x)\)在\(x=x_0\)處可導，\(f'(x_0)\)稱為\(f(x_0)\)在\(x=x_0\)的變化率。否則\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)處不可導。

1.3. 導數的意義

\(1^。\)\(f'(x_0)\)存在，則\(f'(x_0)\)表示曲線\(y=f(x)\)上點\((x_0, y_0)\)處切線斜率，在該點的切線方程為\(y-y_0=f(x_0)(x-x_0),\)同樣地可以寫出法線方程\(y-y_0=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)(f'(x_0)\not= 0)\).
- 另外讨論\(f'(x_0)=0,\)切線\(y=y_0,\)法線\(x=x_0.\)
- 若\(y=f(x)\)在曲線上點\((x_0, y_0)\)處切線存在，推不出\(f(x)\)在\(x=x_0\)處可導。
\(2^。\)\(s'(t_0)=v(t_0)\)
\(3^。\)\(N'(t_0)=kt_0\)

1.4. 左右導數

設\(f(x)\)在\([x_0, x_0+\delta_0)(\delta_0>0)\)内有定義\(x_0+\Delta x\in(x_0, x_0+\delta_0).\)

若\(\lim\limits_{\Delta \to0^+}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0^+}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)存在，則稱函數\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)處有右導數。記為\(=f'_+(x_0).\)

同樣可以定義左導數，在這裡不再贅述。

\(1^。\)定理：\(f(x)\)在\(x=x_0\)處可導\(\Leftrightarrow f(x)\)在\(x_0\)處左右導數存在且相等。
\(2^。\)定理（可導的必要條件）

若\(f(x)\)在\(x_0\)處可導，則\(f(x)\)在\(x_0\)處連續。但是反之不成立。

簡證：由\(y=f(x)\)在\(x_0\)處不可導，有\(\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0),\)于是\(\lim\limits_{\Delta x\to0}\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)\xlongequal{極限四則運算法則}0.\)

反例:\(|x|=\sqrt{x^2}\)是初等函數，在\(x=0\)處連續但不可導。
\(3^。\)（可導必要條件的逆否）

不連續則不可導。（連結jc.ex1.1994.3）

1.5. 導函數

關于可導性的幾個宏

若\(y=f(x)\)在開區間\((a, b)\)内每一點都可導（雙側可導），稱\(f(x)\)在\((a, b)\)内可導。

若\(y=f(x)\)在\((a, b)\)内可導，在\(x=a\)處右可導，\(x=b\)處左可導，則稱\(y=f(x)\)在\([a, b]\)上可導。

1.5.1. 引入

若函數\(y=f(x)\)在區間\(I\)上可導（\(I\)可開可閉可半開），則\(I\)上每一個确定的\(x\)都對應一個極限，這一系列的極限又構成一個函數。

\(\forall x\in I, \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)(存在)\(=f'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}f(x).\)這個求解導數的法則，也能作為一個函數的對應法則。按照函數定義知\(f'(x)\)是區間\(I\)上\(x\)的函數，稱為\(y=f(x)\)的導函數或簡稱為導數。

1.5.2. 導函數的性質定理

若\(f'(x)\)是區間\(I\)上\(f'(x)\)的導函數，則\(f'(x_0)=f'(x)\Big|_{x=x_0}\)

簡證：由\(f(x)\)在\(I\)上可導，即\(\forall x\in I,\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=f'(x)\).

現取\(x=x_0\in I.\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f‘(x)\Big|_{x=x_0}\)左邊是導數定義，右邊是導函數帶代入值。

2. 求導

2.1. 求基本初等函數的導函數

這一系列的求算都是為了求一般的初等函數作準備。

2.1.1. 常值函數

\(y=C,\,x\in\mathbb{R}.\)

\(\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{C-C}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}0=0\)

得：

\[\forall x\in\mathbb{R}, (C)'=0. \]

2.1.2. 指數函數

\(y=a^x(a>0, a\not=1,a\)為常數\()，x\in\mathbb{R}.\)

\(\forall x\in\mathbb{R}\)（求解過程中\(x\)是常量）\(\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=a^x\lim\limits_{\Delta x\to0}=a^x\ln a.\)

得：

\[(a^x)'=a^x\ln a. \]

特别地，\((e^x)'=e^x.\)

2.1.3. 對數函數

\(y=\log_ax(a>0, a\not=1, a\)為常數\()\)

\(\forall x\in(0, +\infty),\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\log_a(x+\Delta x)-\log_ax}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\log_a(1+\frac{\Delta x}{x})}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\ln(1+\frac{\Delta x}{x})}{x\frac{\Delta x}{x}\cdot\ln a}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{1}{x\ln a}\).

特别地，\((\ln x)'=\frac{1}{x}.\)

2.1.4. 幂函數(\(\ast\))

\(\forall x\in\mathbb{D},(x\not=0)\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{{(x+\Delta x)}^a-x^a}{\Delta x}=x^a\cdot\frac{{(1+\frac{\Delta x}{x})}^a-1}{\frac{\Delta x}{x}\cdot x}=x^a\cdot\frac{a}{x}=a\cdot x^{a-1}.\)

現在另外讨論\(x=0\in\mathbb{D}(\)因為\(0^a\)有意義\()\Rightarrow\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0}\frac{x^a}{x}=\)

\[\lim\limits_{x\to0}x^{a-1}=. \begin{cases} 0&a>1\\ 1&a=1\\ \infty&0<a<1 \end{cases}\]

2.1.5. 正弦餘弦

\(\forall x\in\mathbb{R},\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{2\cos(x+\frac{\Delta x}{2})\sin(\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\cos(x+\frac{\Delta x}{2})=\cos x.\)

同理\((\cos x)=-\sin x, x\in\mathbb{R}\)

2.2. 函數的求導法則

2.2.1. 四則運算法則

線性加減：\((u(x)\pm v(x))'=u'(x)\pm v'(x).\)

萊布尼茨乘除：\((u(x)v(x))'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).\)

\(\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)'=\frac{u'(x)v(x)+u(x)v'(x)}{v^2(x)}\)

進而我們可以求解\((\tan x)'=(\frac{\sin x}{\cos x})'=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}=\sec^2x.(\cot x)'=-\csc^2x(x\not=k\pi, k\in\mathbb{Z}), (\sec x)'=(\frac{1}{\cos x})'=-\frac{-\sin x}{\cos^2x}=\sec x\tan x(k\not=\frac{(2k+1)\pi}{2},k\in\mathbb{Z}).\)同理\((\csc x)'=-\csc x\cot x.\)

2.2.2. 反函數求導法則

分析：若\(y=f(x)\)的反函數\(x=\varphi(y), \varphi'(y)=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy}\not=0\)，那麼\(f'(x)\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{1}{\varphi'(x)}.\)

\(\varphi'(y)=\lim\limits_{\Delta y\to0}\frac{\Delta x}{\Delta y},\)于是\(\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{1}{\frac{\Delta x}{\Delta y}}\big(\)由\(x=\varphi(y)\)嚴格單調，則\(y=f(x)\)嚴格單調\(,\Delta x\to0,\Delta x\not=0, \Rightarrow x-x_0\not=0\Rightarrow x\not= x_0\Rightarrow f(x)\not=f(x_0)\Rightarrow f(x)-f(x_0)\not=0\Rightarrow[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]\not=0\Rightarrow \color{#00FFFF}\Delta y\not=0.\big)\)

由\(x=\varphi(y)\)可導且連續，知\(x=\varphi(y)\)連續。即有\(\color{#00FFFF}\lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta y=0.\)

進而原式可以轉化為\(\lim\limits_{\Delta y\to0}\frac{1}{\frac{\Delta x}{\Delta y}}=\frac{1}{\varphi'(x).}\)

由此我們可以得到一系列反三角函數的導數（略去）。

2.2.3. 複合函數求導法則

\(y=f(u),u=\varphi(x),\)求\(\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}=?\)

定理：複合函數求導法則

若\(u=\varphi(x)\)對\(x\)可導，\(y=f(u)\)對\(u\)可導，則複合函數\(y=f[\varphi(x)]\)也可導，且\(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dy}{\mathrm du}\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}\)，這個運算法則稱為鍊式法則。

\(\color{#FF0000}{差別}\) \((f[\varphi(x)])'\)和\(f'(\varphi(x)).\)前者是對\(x\)導，後者是對\(u\)導。

證明：由\(f'(u)\)存在，知\(\lim\limits_{\Delta u\to0}\frac{\Delta y}{\Delta u}=f'(u),\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta u}{\Delta x}=\varphi'(x),\)于是\(\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x}\xlongequal{u=\varphi(x)可導必連續}\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta u}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta u\to0}\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot \lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta u}{\Delta x}=f'(u)\cdot \varphi'(x)=[f(\varphi(x))]'.\) ■

\(\color{#00FFFF}{思考：}\)在某處會不會出現\(\Delta u=0\)導緻分式無意義的情況呢？顯然有可能。是以這個方法emmm留着玩罷

證法二：

由\(f'(u)\)存在，即\(\lim\limits_{\Delta u\to0}\frac{\Delta y}{\Delta u}=f'(u).\)利用無窮大與極限的關系，我們得到這樣的表達式：\(\frac{\Delta y}{\Delta u}=f'(u)+\alpha,\lim\limits_{\Delta u\to0}\alpha=0.\)在這個式子中\(\Delta u\not=0.\)并補充定義\(\alpha =0,\)當\(\Delta u\not=0.\)

于是\(\lim\limits_{\Delta \to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f'(u)\Delta u+\alpha\Delta u}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}[f'(u)\frac{\Delta u}{\Delta x}+\alpha\frac{\Delta u}{\Delta x}]=f'(u)\varphi'(x)+0\cdot\varphi'(x)=f'(u)\varphi'(x).\)進而\(\Delta u\)可以為0，畢竟主推導過程并未出現\(\frac{1}{\Delta u}\)結構。

鍊式法則也可以推廣到多項，并利用數學歸納法證明

同時出于書寫的簡便性原則，我們也可以将其提煉為内層-外層法則。

例求\(\sin(x^2+x)\)的導數。(Thomas.p208.ex4)
\(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sin(x^2+x)=\cos(\underbrace{x^2+x}_\text{單獨的裡面函數})\cdot(\underbrace{2x+1}_\text{裡面函數的導數})\)

另外幾個有價值的例子：
\(1^。\)\(y=\ln\sqrt{\frac{e^{2x}}{e^{2x}-1}}+\sqrt{1+\cos^2(\frac{1}{x})+\sin^2(\frac{1}{x})}\).
先化簡再求導
- 原式\(=\frac{1}{2}\cdot 2x\ln e-\frac{1}{2}\ln(e^{2x}-1)+\sqrt2.\)
- 再求導\(=1-\frac{1}{2}\frac{1}{e^{2x}-1}\cdot2e^{2x}=-\frac{1}{e^{2x}}.\)
\(2^。\)\((\ln|x|)'=\frac{1}{x}.\)
這不僅為我們求解一般的對數絕對值提供了很大的幫助，更是為求積分的一個易錯點作準備。
\(3^。\)\(\color{#FF0000}{例誤}\)\(y'=(x^{\sin x})'=\sin x\cdot x^{\sin x-1}???\)
- 注意：幂函數求導法則可是常數啊老哥！
\(4^。\)一點提醒：對分段函數，如果在分界點處左右表達式不同，需要求左右導數。因為
1. 很有可能有一側的導數不存在\(?\)
2. 想象那個末端的延長趨勢，極大可能不一樣噢。

2.3. 高階導數

2.3.1. 高階導數相關概念

若\(f(x)\)在區間\(I\)上的導函數\(f'(x)\)在\(I\)上可導，即\([f'(x)]'(\)存在\()=f''(x)\),\(y'=y''=\frac{\mathrm dy'}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}y'=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\xlongequal{\mathrm {def}}\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}\)

注意：

\(dx^2=\mathrm dx\cdot\mathrm dx=(\mathrm dx)^2\not=\mathrm d(x^2)=2x\mathrm dx.\)
若函數\(f(x)\)在\(x\)處\(n\)階可導，則在點\(x\)的某鄰域内\(f(x)\)必定有一切低于\(n\)階的導數。

2.3.2. 某些基本函數的n階導數

這個标題的隐含意思是說，許多函數的高階導數求不出來/絕大多數函數的很高很高階的導數求不出來。
兩個主要方法利用公式，歸納。

例

\(1^。\)（函數的更高階不易求）\(y=e^{-x^2}.\)
- \(y'=e^{-x^2}\cdot(-2x)\)
- \(y''=e^{-x^2}(-2x)\cdot(-2x)+e^{-x^2}\cdot(-2)=-2e^{-x^2}(1-2x^2).\)
\(2^。\)（容易看出規律）\(y=x^a\)
- \(y'=a\cdot x^{a-1}\)
- \(y''=a(a-1)\cdot x^{a-2}.\)
- \(\cdots\cdots\)
- \(y^{(n)}=a(a-1)\cdots(a-n+1)\cdot x^{(a-n)}\)
- (數學歸納法證)
特别地，取\(a=n，\)則\((x^n)^{(n)}=n!.\)

另外，\(\forall n, m\in \mathbb{N}, m>n,(x^n)^{(m)}=0.\)

有趣的問題：\(0^0\)的存在性，可以為了計算友善，記作1；但也可根據構造說明無意義:\(0^0=0^{(1-1)}=\frac{0}{0}?\)
\(3^。\)\(y=\ln x\)（求一二階導規律不明顯）
- \(y'=\frac{1}{x}\)
- \(y''=-\frac{1}{x^2}\)
- \(y'''=\frac{2}{x^3}\)
- \(\cdots\cdots\)
- \(y^{(n)}=(-1)^{n-1}\cdot(n-1)!\cdot x^{-n}\)
- 我們也可以使用幂函數的解法：
  
  \[\begin{aligned} &y^{(n)}=(x^{-1})^{(n-1)}\\ =&(-1)^{n-1}\cdot(n-1)!\cdot x^{-1-(n-1)}\\ =&(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n} \end{aligned}\]
- 同理，由于\((1+x)'=1,\)得
  
  \[[(1+x)^a]^{(n)} =a(a-1)(a-2)\cdots(a-n+1)(1+x)^{a-n}; \]
  
  \[[\ln(1+x)]^{(n)} =(-1)^{(n-1)}\frac{(n-1)!}{x^{n}} \]
\(4^。\)對\(y=\sin x\):
- \(y'=\cos x\)
- \(y''=-\sin x\)
- \(y'''=-\cos x\)
- \(y''''=\sin x\)(經過四次導數變了回來？)
- 如果分類的話，與守株待兔有某種神似，是很低效而滑稽的。
- 尋找轉機：\(\cos x=\sin(x+\frac{\pi}{2})?\)類似地寫下去。
- 猜想并證明：
\[(\sin x)^{(n)}=\sin(x+\frac{k\pi}{2}). \]
- 同理有
  
  \[(\cos x)^{(n)}=\cos(x+\frac{k\pi}{2}). \]

2.3.3. 高階導數的運算性質

2.3.3.1. 四則運算性質

若\(u^{(n)},v^{(n)}\)均存在，則:

\[\begin{aligned} (u\pm v)^{(n)}&=u^{(n)}\pm v^{(n)}\\ (Cu)^{(n)}&=C\cdot u^{(n)}\\ (uv)^{(n)}&=\sum_{i=1}^n C^i_n u^{(n-i)}\cdot v^{(i)} \end{aligned}\]

2.3.3.2. Leibniz法則變式

若一個乘式中有一項禁不住導，把其“看成”\(v\)，另一項有\(n\)階導數公式，進而使用Leibniz公式求解即可。

例\(e^x\cdot x^2?\)

\[\begin{aligned} &(e^x\cdot x^2)^{(n)}\\ =&C_n^0 e^x\cdot x^2+C_n^1 e^x\cdot 2x+C_n^2 e^x\cdot2\\ =&e^x(x^2+2nx+n(n-1)) \end{aligned}\]

2.3.3.3. 變成加和

更多地，我們會發現Leibniz公式在絕大多數情況下，并不好用，簡潔易行的加和公式不失為一個很好的選擇。

例
- \(1^。\)
  
  \(y=\frac{1}{x^2+3x+2}=\frac{1}{(x+2)(x+1)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\)
  
  \(y^{(n)}=[(x+1)^{-1}-(x+2)^{-1}]^{(n)}=(-1)^{n}\cdot n!((1+x)^{-n}-(2+x)^{-n}).\)
- \(2^。\)\(e^x\cos x.\)雖然兩個均有\(n\)階導數公式，但二者均不會導為0.進而考慮多次導找規律。

2.4. 方程确定函數的求導

2.4.1. 顯函數與隐函數

定義：設\(F(x, y)=0,D,C\)均為非空實數集，如果\(\forall x_0\in D, F(x_0, y) = 0\)有唯一的解\(y_0,\)即\(F(x_0, y_0) = 0, y_0\in C,\)按照函數的定義，得到了\(D\)上的一個函數，記作\(y=y(x),\)稱為方程\(F(x, y)\)确定的函數，如何求\(y=y(x)\)的導數，如果從\(F(x, y)=0\)中解出\(y\)用\(x\)的表示，則稱\(y=y(x)\)是顯函數。

例 \(y^3-c^3 = 1\)确定\(y=y(x),y=\sqrt[3]{1+x^3},x\in\mathbb{R},\)滿足\((\sqrt[3]{1+x^3})^3-x^3\equiv1\)(恒等關系)

如果\(F(x, y)=0\)确定\(y=y(x)，\)但是\(y\)不能用\(x\)的具體表達式表示，稱為方程确定的隐函數.

例

方程\(y-xe^y=1\)确定的函數\(y=y(x)\)為隐函數，有\(y(x)-xe^{y(x)}\equiv1.x\in D\)

對方程兩邊同時求導

\[y'(x)-e^{y(x)}-xe^{y(x)}\cdot y'(x)=0. \]

整理得：

\[y'(x)=\frac{e^{y(x)}}{1-xe^{y(x)}} \]

若求\(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\Big|_{x=0},\)由方程得\(y=1，\)故而\(y'=e.\)

進而求得，在曲線上\((0, 1)\)處切線方程：\(y-1=ex,\)

法線方程：\(y-1=-\frac{1}{e}x.\)

\(y''=\frac{e^yy'(1-xe^y)+e^{2y}(xy'+1)}{(1-xe^y)^2}\)

也可以對方程求導。（對直接求值的問題更加友善）

例 \(y=f(x+y)，\)求\(\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2},\)其中\(f\)二階可導。

解：由\(y=y(x),\)方程兩邊對\(x\)求導，\(y'=f'(x+y)\cdot(1+y')\Rightarrow y'=\frac{f'}{1-f'}(1).\)\(y''=\frac{(1+y')f''(1-f')+f'\cdot (1+y')f''}{(1-f')^2},\)再代入\((1)\)式即可 ■

2.4.2. 對數微分法

當項數較少時仍然可以使用\(f(x)=e^{\ln f(x)}\)變形。但項數過多以後，寫在\(e\)頭上的函數式就會顯得臃腫。

例
- \(y=x^{\sin x}\)\(\ln y=\sin x\ln x.\)隐函數求導：\(\frac{1}{y}\cdot y'=\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}.\)
- \(y=\frac{(\ln x)^x}{x^{\ln x}},\)求\(y'\)\(\ln y=x\ln\ln x-(\ln x)^2.\)
  
  隐函數求導：\(\frac{1}{y}\cdot y'=\ln\ln x+x\frac{1}{\ln x}\frac{1}{x}-2\frac{\ln x}{x}\)
例二 \(y=\frac{\sqrt[3]{3x+1}\cdot x^2}{\sqrt{2x+1}\cdot\sqrt[3]{1-5x}}\)
- \(\ln y=\frac{1}{3}\ln|3x+1|+2\ln |x|-\frac{1}{2}\ln|2x+1|-\frac{1}{3}\ln|1-5x|\)
- \(\frac{1}{y}\cdot y'=\frac{1}{3}\frac{1}{3x+1}3+2\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\frac{1}{2x+1}2-\frac{1}{3}\frac{1}{1-5x}(-5)\)
- \(y'=y\cdot(\frac{1}{3x+1}+\frac{2}{x}-\frac{1}{2x+1}+\frac{5}{3(1-5x)}\)
這個題目中關于根式的對數，最好取絕對值，這樣相當于擴大定義域。在較大的定義域都能成立的話，縮小到小範圍自然能成立。

3. 微分

3.1. 微分的引入

若\(y=f(x)\)在\(x\)處可導，按照定義\(\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)\Leftrightarrow\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)+\alpha\Leftrightarrow\Delta y = f'(x)\Delta x+\alpha\Delta x.\)其中\(\lim\limits_{\Delta x\to0}\alpha = 0.\)故而\(\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\alpha\Delta x}{\Delta x}=0.\)知\(\alpha\Delta x=o(\Delta x)(\Delta x\to0),\)進而\(\Delta y=f'(x)\Delta x+o(\Delta x).\)（當\(|\Delta x|\)很小\(|o(\Delta x)|\)更小）\(\therefore\Delta y\approx f'(x)\Delta x\)

3.2. 微分

3.2.1. 線性的主部

設\(y=f(x),\)若\(\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\)可表示為\(\Delta y=A\Delta x + o(\Delta x)(\Delta x\to0)\)其中\(A\)是與\(\Delta x\)無關的，稱\(y=f(x)\)在\(x\)處可微，其中\(A\Delta x\)稱為\(y=f(x)\)的線性主部/微分，記作\(\mathrm dy.\)即\(\mathrm dy= A\Delta x.\)

線性主部這個概念極好地描述了微積分的線性拟合的思想，也說明了微分作為主要部分的特征。

3.2.2. 可導可微的關系

可微即可導。(一進制函數微分學的歸結原則)

充分性是顯然的，下證必要性。

\(f(x)\)在\(x\)處可微，由定義知\(\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)(\Delta \to0)\)于是\(\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}[A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}]=A\big(=f'(x)\big),\)

3.2.3. \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\)的了解

如果\(y=f(x)\)在\(x\)處可微(\(x\)為自變量) \(\mathrm dy=f'(x)\Delta x\)或\(\mathrm df(x)=f'(x)\Delta x\)

由\(y=x\)在\(x\)處可導\(\Leftrightarrow\)在\(x\)處可微。

得\(\mathrm dx=\Delta x:\)自變量的增量=自變量的微分。

于是原式可以化成\(\mathrm dy=f'(x)\mathrm dx\)即\(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f'(x).\)自此我們證明了原來導數記号的除式的本質。導數也可以稱為微商。

3.2.4. 基本初等函數的微分公式

\(\mathrm dy=f'(x)\mathrm dx\)

3.3. 求微分

3.3.1. 常見微分公式

（見上一節）

3.3.2. 微分的四則運算法則

若\(u(x), v(x)\)均可微，則\(\mathrm d(u\pm v)=\mathrm du \pm \mathrm dv\)

\(\mathrm d(C\cdot u)=C\mathrm du\).

\(\mathrm d(uv)=v\mathrm du + u\mathrm du.\)

\(\mathrm d(\frac{u}{v})=\frac{v\mathrm du-u\mathrm dv}{v^2}(v\not=0)\)

3.3.3. 微分的一階形式不變性

這個性質與複合函數求導法則是對應的。同時，這樣的結構性的性質由于抽象程度相應更高，進而還能逆用作為不定積分的理論基礎。
大緻的了解就是在考察一個函數的微分的時候，我們可以将某一個變量塊(中間變量)看作一個整體，作為自變量，将求複雜微分變成複合函數微分，利用Thomas中齒輪的了解，複合函數的微分就是隻着眼于最後一個齒輪傳動點。亦是外層-裡層法則的思想的展現。

若\(y=f(x)\)可微，且\(x\)為自變量，則\(\mathrm dy = f'(x)\mathrm dx.\)

若\(y=f(x)\)可微，\(x=\varphi(t)\)可微，\(t\)為自變量，于是\(\mathrm dy=[f(\varphi(t))]'\mathrm dt.\Rightarrow\mathrm d(f(\varphi(t)))=f'(\varphi(t))\varphi'(t)\mathrm dt\)=\(f'(\varphi(t))\mathrm d\varphi(t)\xlongequal{x=\varphi(t)}\Rightarrow\mathrm df(x)=f'(x)\mathrm dx.\)知\(x\)為中間變量時，這個形式仍然成立。亦即\(y=f(x)\)可微，不論\(x\)時自變量還是中間變量。都有\(\mathrm df(x)=f'(x)\mathrm dx.\)

這個性質稱為微分的一階形式不變性

若\(y=f(u),\)如果\(\mathrm dy=g(u)\mathrm du = \mathrm df(u)=f'(u)\mathrm du.\)則\(f'(u)=g(u),\frac{\mathrm dy}{\mathrm du}=g(u)\)（微商性質的展現）

運用時，類似裡層-外層的法則。不再贅述

3.3.4. 微分的分析了解

\(\Delta x\to0, \Delta y\sim \mathrm dy.\)稱\(\mathrm dy\)是\(\Delta y\)的最佳近似，即\(\Delta y=f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)\approx f'(x_0)\Delta x.\Rightarrow f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x\).

若\(y=f(x)\)在\(x\)處可微，\(\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)=f'(x)\mathrm dx + o(\Delta x),\)當\(|\Delta x|\)很小，有\(\Delta y = \mathrm dy.\)若\(f'(x)\not=0,\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\mathrm dy}=\frac{f'(x)\Delta x+o(\Delta x)}{f'(x)\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}[1+\frac{1}{f'(x)}\cdot\frac{i(\Delta x)}{\Delta x}]=1.\)這說明當\(|x|\)很小的時候，\(f(x)=f(0+x)\approx f(0)+f'(0)x\)

這樣的近似的正确性我們也可以通過其他方式驗證。

例如求\(f(x)=(1+x)^a\)的近似值時的\((1+x)^a\approx1+ax,\)經由\(\lim\limits_{x\to0}\frac{(1+x)^a-1}{x}=a\)可驗證。

3.4. 微分性質綜合應用舉例——參方求導

除了隐函數之外，綜合型求導隻能靠參方，極坐标也可以認為在參數方程之下。

若

\[\begin{cases} x=\varphi(t),&\\ y=\psi(t)& \end{cases}\]

确定\(y=y(x),\)求\(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}.\)

分析

\[\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\left(=\frac{\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}}{\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}}\right)\left(=\frac{\mathrm d\psi(t)}{\mathrm d\varphi(t)}=\frac{\psi'(t)\mathrm dt}{\varphi'(t)\mathrm dt}\right)=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)} \]

總結：若\(\varphi'(t),\psi'(t)\)存在且\(\varphi'(t)\not=0,\)則\(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\)

也可以了解成一階微分形式不變性+反函數微分法則的綜合。

例

\(1^。\)

\[\begin{cases} x&=f'(t)\\ y&=f(t)-tf'(t). \end{cases}\]

\(f'''(t)\)存在，\(f''(t)\not=0,\)求\(\frac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm dx^3}\).

解：\(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=-t.\)

\(\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm d^2x}=\frac{(-t)'}{f''(t)}.\)

\(\frac{\mathrm d^3y}{\mathrm dx^3}=\frac{\frac{f'''(t)}{(f''(t))^2}}{f''(t)}=\frac{f'''(t)}{[f''(t)]^3}\)

\(2^。\)

\[\begin{cases} x&=\ln(1+t^2)\\ y&=t-\arctan t \end{cases}\]

則：

\[\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{1-\frac{1}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}}=\frac{t}{2} \]

\[\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2t}{1+t^2}}=\frac{1+t^2}{4t}. \]

Part 2 導數和微分導數與微分1. 導數2. 求導3. 微分