Part 2R 導數與微分（反例）

專題複習

連續，可導，可微，連續可導與導函數的極限

函數在某點有極限\(\xrightarrow{推不出1}\)該點連續（特殊極限）\(\xrightarrow{推不出2}\)該點可導（光滑）\(\xrightarrow{推不出3}\)（進入鄰域讨論）該點某鄰域内連續\(\xrightarrow{推不出4}\)導數在該點有極限（去心鄰域性質）\(\xrightarrow{推不出}\)導數在該點連續（不去心）\(\cdots(升階循環)\)

• \(1^。\) 例如可去間斷點處：有極限但不連續
• \(2^。\) 例如\(y=|x|， y=x\sin\frac{1}{x}\)：\(x=0\)點連續但不可導（左右導數不相等或者，單側導數不存在）同時對于\(y=x\cdot\sin\frac{1}{x}\)鄰域内不連續不可導
• \(3^。\) 我們可以舉出反例：

\[f(x)=\begin{cases} x^2, &x\in\mathbb{Q}\\ 0,&otherwise \end{cases} \]

這個例子中函數僅在\(x=0\)處連續

• \(4^。\) 例如\(y=x^2\sin \frac{1}{x}\)：原函數在\(x=0\)處連續且可導，存在去心鄰域内連續且可導，但導函數在\(x=0\)處無極限（利用極限存在的四則運算性質），故任意鄰域内導數不連續，進而也有任意鄰域内不可二階導
• 導函數無第一類間斷，是以如果導函數不連續，僅僅可能是第二類間斷，利用\(\sin\frac{1}{x}\)類的變态函數可以構造出無窮或者震蕩間斷點。
• 進而對于洛必達法則使用過程，由于需要某去心鄰域導函數連續，\(x=x_0\)處\(n\)階可導意味着可以洛到\(n-1\)階，\(n\)階連續可導可以洛到\(n\)階。（實質是某點有定義推不出該點連續）
• 若\(f''(x_0)\)存在，隐含在\(U(x_0)\)内\(f'(x)\)存在，則\(f(x)\)當\(x\in U(x_0)\)必然連續（可導意味着該點連續，進而能推出該點鄰域有定義，再推出該點有定義）

典型的不可導點

1. 無定義的點,沒有導數存在(D.N.E.= do not exists)，例如分子為0的點；(無定義)
2. 不連續的點,或稱為離散點,導數不存在；(不連續)
3. 連續點,但是此點為尖尖點,左右兩邊的斜率不一樣,也就是導數不一樣,不可導；(不光滑)
4. 有定義,連續、光滑,但是斜率是無窮大.(導數值為∞)