微積分Z2 J3 函數極限的概念

簡介

這一節就開始介紹極限的概念了，但标題為什麼又是函數極限的概念呢？

這是因為在函數中，極限運用的更廣，作用更大，主要被求極限的主體一般都是函數。是以有時候說極限，其實是在說函數極限。

但嚴格講極限确實是函數的極限，因為極限分為數列極限和函數極限，數列是函數的一種特例，是以也能歸入函數極限之中。

目錄：

• 極限的定義
• 極限的情況

極限的定義

描述性定義

極限由極限思想衍生而來。

f ( x ) f(x) f(x)在一個變化過程中無限趨于某個常數，就說這個常數是 f ( x ) f(x) f(x)的極限，記作 lim ⁡ 變 化 過 程 f ( x ) \lim_{變化過程}f(x) lim變化過程​f(x).

例如，當x趨于正無窮，即 x → + ∞ x\rightarrow+\infty x→+∞時， f ( x ) f(x) f(x)的極限是1，那麼 lim ⁡ x → + ∞ f ( x ) = 1 \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=1 limx→+∞​f(x)=1

變化過程分類以及其符号表示，會在後續給出。

精确性定義

描述性定義不好計算，是以用精确性定義替代。由于數列的情況簡單，是以先以數列為例。

對數列 { a n } \{a_n\} {an​}，若 ∀ ϵ > 0 , ∃ N ∈ N + , \forall\epsilon>0,\exist N\in N_+, ∀ϵ>0,∃N∈N+​,使得當 n > N n>N n>N時，恒有不等式： ∣ a n − A ∣ < ϵ |a_n-A|<\epsilon ∣an​−A∣<ϵ那麼稱A為該數列的極限，記作 lim ⁡ n → ∞ a n = A \lim_{n\rightarrow \infty}a_n=A limn→∞​an​=A。

了解：

• 該絕對值不等式表示 a n a_n an​到A在數軸上的距離無限小，也就是 a n a_n an​無限趨于A。 ϵ \epsilon ϵ是一個無法确定數值的正數，但 n > N n>N n>N後，即n充分大時，無論n取什麼，都有該不等式成立，即趨于A。
• 數列的變化過程隻有 n → + ∞ n\rightarrow +\infty n→+∞，一般記作 n → ∞ n\rightarrow\infty n→∞
• 隻需要在 n > N n>N n>N後的所有項滿足該不等式即可，無需全部項滿足該式子。是以，可适當忽略前面的項，或者說對n加以限制。
• 注意, ϵ \epsilon ϵ是任意小的正數，不是某一個很小的正數，它與N的取值有關。

這就是數列極限的 " ϵ − N " "\epsilon-N" "ϵ−N"定義。

極限的情形

之前介紹了數列極限的定義，但數列的變化過程十分簡單，而函數的變化過程則多一些。

函數的變化過程

說到函數的變化過程，就該注意函數可以從左右兩邊分别趨于某個常數，或者同時趨于某個常數。

是以函數極限有雙側極限和單側極限。

雙側極限

雙側極限就是從函數兩側同時趨于某個常數的極限。

分為x趨于常數的極限，以及x趨于無窮的極限。

分别寫作： x → x 0 x\rightarrow x_0 x→x0​、 x → ∞ x\rightarrow \infty x→∞。

x → x 0 x\rightarrow x_0 x→x0​表示函數可以從 x 0 x_0 x0​左右兩側同時趨于一個常數。

x → ∞ x\rightarrow \infty x→∞表示x同時趨于正無窮和負無窮，也就是坐标軸兩側。

看一些具體的例子：

lim ⁡ x → 0 x = 0 \lim_{x\rightarrow 0}x=0 limx→0​x=0

lim ⁡ x → ∞ 1 x = 0 \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{x}=0 limx→∞​x1​=0

單側極限

單側極限就是隻從函數某一側趨向的極限。從左趨向記作 − - −,右邊則為 + + +。其餘與雙側極限沒有差別。

具體表示如下：

lim ⁡ x → x 0 + f ( x ) \lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x) limx→x0+​​f(x)就是從右邊趨于 x 0 x_0 x0​

lim ⁡ x → + ∞ f ( x ) \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x) limx→+∞​f(x)就是趨于正無窮。

單側極限和雙側極限的聯系

雙側極限存在的充分必要條件是左右單側極限存在并且趨于同一常數。

函數極限的定義

說了這麼多，函數極限又該如何定義呢？

使用的是和數列類似的方法。

趨于常數時的函數極限

若 ∀ ϵ > 0 , ∃ δ > 0 , \forall \epsilon>0,\exist\delta>0, ∀ϵ>0,∃δ>0,使得 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0<|x-x_0|<\delta 0<∣x−x0​∣<δ時，有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ϵ |f(x)-A|<\epsilon ∣f(x)−A∣<ϵ恒成立，則 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A limx→x0​​f(x)=A。

了解：

• 趨于常數的函數極限與數列極限的差别就是取得極限的範圍變化了，為 x 0 x_0 x0​的一個去心領域，換句話說就是x無限趨近 x 0 x_0 x0​的時，總有該不等式成立
• 與數列極限一樣，隻需要在充分接近 x 0 x_0 x0​時有該不等式成立即可。是以可以對x的取值加以限制。
• 同樣的， ϵ \epsilon ϵ是任意小的正數，不是某個很小的确定的正數。
• ϵ \epsilon ϵ的取值與 δ \delta δ的取值有關

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