高等數學-不定積分

1，原函數存在定理

連續函數一定有原函數（此處原函數是相對于導函數而言）。

2，不定積分的性質

2.1 設 函 數 f ( x ) 及 g ( x ) 的 原 函 數 存 在 ， 則 設函數f(x)及g(x)的原函數存在，則 設函數f(x)及g(x)的原函數存在，則

∫ [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x \int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx ∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx

2.2 設函數f(x)的原函數存在，k為非零常數，則

∫ k f ( x ) d x = k ∫ f ( x ) d x \int kf(x)dx=k\int f(x)dx ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx

3，第一類換元法

設 f ( u ) 具 有 原 函 數 ， u = φ ( x ) 可 導 ， 則 有 換 元 公 式 設f(u)具有原函數，u=\varphi(x)可導，則有換元公式 設f(u)具有原函數，u=φ(x)可導，則有換元公式

∫ f [ φ ( x ) ] φ ′ ( x ) d x = [ ∫ f ( u ) d u ] u = φ ( x ) \int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx=[\int f(u)du]_{u=\varphi(x)} ∫f[φ(x)]φ′(x)dx=[∫f(u)du]u=φ(x)​。

4，第二類換元法

設 x = ϕ ( t ) 是 單 調 、 可 導 的 函 數 ， 并 且 ϕ ′ ( x ) 不 等 于 0 。 設x=\phi(t)是單調、可導的函數，并且\phi'(x)不等于0。 設x=ϕ(t)是單調、可導的函數，并且ϕ′(x)不等于0。

又 設 f ( [ ϕ ( t ) ] ) ϕ ′ ( t ) 具 有 原 函 數 ， 則 有 換 元 公 式 又設f([\phi(t)])\phi'(t)具有原函數，則有換元公式 又設f([ϕ(t)])ϕ′(t)具有原函數，則有換元公式

∫ f ( x ) d x = [ ∫ f ( [ ϕ ( t ) ] ) ϕ ′ ( t ) d t ] t = ϕ − 1 ( x ) \int f(x)dx=[\int f([\phi(t)])\phi'(t)dt]_{t=\phi^{-1}(x)} ∫f(x)dx=[∫f([ϕ(t)])ϕ′(t)dt]t=ϕ−1(x)​，其中 ϕ − 1 ( x ) 是 x = ϕ ( t ) 的 反 函 數 。 \phi^{-1}(x)是x=\phi(t)的反函數。 ϕ−1(x)是x=ϕ(t)的反函數。

5，分部積分

∫ u v ′ d x = u v − ∫ u ′ v d x \int uv'dx=uv-\int u'vdx ∫uv′dx=uv−∫u′vdx