高等數學知識架構初步

按照高聚合、低耦合的思路規劃高等數學；讓高等數學知識架構從易到難，從底層到上層，

首先說說前置知識。高等數學的前置知識是初等函數，即高中數學講的内容；

然後講講核心内容。高等數學的核心内容是求極限、求微分、求積分。

最後講講應用。高等數學的應用包括幾何應用等應用、中值定理、多元微分學、無窮級數。

文章目錄

• ​​高等數學知識架構初步​​

• ​​按學習路線​​
• ​​一、極限理論體系​​

• ​​前言​​
• ​​初等數學​​
• ​​數列極限與函數極限​​
• ​​無窮級數​​
• ​​總結​​

• ​​二、一進制微分學理論體系​​

• ​​前言​​
• ​​一進制微分學理論體系​​
• ​​總結​​

• ​​三、一進制積分學理論體系​​

• ​​前言​​
• ​​一進制積分理論體系​​
• ​​總結​​

• ​​四、微積分的應用​​

• ​​前言​​
• ​​微分的應用​​
• ​​積分的應用​​
• ​​微分方程​​

• ​​五、中值定理​​

• ​​中值定理​​
• ​​零點問題與微分不等式​​
• ​​積分等式與積分不等式​​

• ​​六、多元微分學​​

• ​​前言​​
• ​​多元微積分基礎知識​​
• ​​多元函數微分學​​
• ​​多重積分​​
• ​​二重三重積分、曲線曲面積分​​

• ​​總結​​

按學習路線

順序依次為：極限計算、求導計算、微分計算、微積分的應用、中值定理、多元微分學。

計算問題解決了，應用問題都好說。

一、極限理論體系

前言

經過一段時間的學習，寫寫對高等數學中極限的認識。

僅現階段個人的見解，請各位辯證了解

初等函數是高等函數的基礎。高等函數是初等函數的進一步發展；

高等函數的核心是微積分，微積分的基礎是極限；

在極限中一般使用極限的性質（一般性質、存在性質、無窮小性質、運算性質）證明極限和求極限；

函數極限計算中，常用的是七種未定式的轉換以及泰勒公式；

函數極限計算的關鍵詞有：未定式、無窮比階、洛必達法則、變現積分求導、泰勒公式、脫帽戴帽等；

數列極限計算的關鍵詞有：歸結原則、遞推式、單調有界準則、夾逼準則等；

聯系函數展開式（泰勒展開式）以及數列遞推式，引出無窮級數。

省略了數列極限的證明、函數的連續性以及間斷點等知識；主要突出計算。牢牢把握住高等數學的三大計算。

初等數學

為高等數學的前置知識。主要有集合與函數（指數、對數、幂函數）、立體幾何與平面幾何、算法初步與機率和統計、三角函數和平面向量、數列與不等式；

參考：​​高中數學知識點總結(最全版)​​、張宇30講

反函數、複合函數；

函數的四種特性：有界性、單調性、奇偶性、周期性；

直角坐标系下的圖像

幂函數、指數函數、對數函數、三角函數；

圖像變換

極坐标系下的圖像

心型線（外擺線）、玫瑰線、阿基米德螺線、伯努利雙扭線；

擺線（平擺線）、星型線（内擺線）

常見基礎知識

數列：等差數列、等比數列、常見數列；

三角函數：基本關系、誘導公式、和差公式、積化和差、和差化積、萬能公式；

指數、隊數運算法則

一進制二次方程、因式分解、階乘

常用不等式

函數的性質以及數形結合在導數的幾何應用中經常使用到；

常見基礎知識在極限、求導、積分的計算中經常用到。

數列極限與函數極限

數列極限偏證明，常用存在性質；函數極限偏計算，常用到運算性質；

概念

數列極限證明、函數極限證明

一般性質

唯一性、（局部）有界性、（局部）保号性（衍生出脫帽法）

存在性質

夾逼準則、單調有界準則（魏氏準則）；

無窮小性質

無窮小比階、常見等價無窮小

運算性質

數列極限的歸結原則

極限運算性質

洛必達法則

泰勒公式

面對極限計算（如七種未定式），直接使用極限的基本性質一個一個試；高中的常見基礎知識要爛熟于心；

無窮級數

數項級數判斂

正項級數：收斂原則、比較判别法、比較判别法的極限形式、比值判别法、根值判别法

交錯級數：萊布尼茲判别法

任意項級數：絕對收斂、條件收斂；

幂級數的收斂域

阿貝爾定理

結論1

結論2

函數展開問題

幂級數求和問題

傅裡葉級數（展開式、迪利克雷收斂定理）

總結

唯一核心是函數極限的計算。不過初等數學是其計算基礎，必須掌握。無窮級數中的幂級數展開式就是泰勒公式，給函數極限計算帶來了便利，需要了解。

函數極限的計算，一個是計算要過關，另一個就是極限的性質要掌握。

二、一進制微分學理論體系

前言

求導是高等數學三大計算的第二大計算，是極限計算和積分計算的承前啟後部分。

一進制微分學理論體系

定義以及性質

導數：定義

微分：定義、微分不變性

求導工具

基本求導公式

四則運算

複合函數運算

反函數運算

求導類型

幂指函數（對數求導）

參數方程

高階導數

變限積分求導

總結

微分部分内容許多，有幾何應用（三點兩性一線）、中值定理。

三、一進制積分學理論體系

前言

積分是高等數學三大計算的第三大計算，是計算量最大的一個計算。還講導數部分内容綜合起來。

一進制積分理論體系

概念

不定積分：祖孫三代的奇偶性和周期性

定積分：基本型、放縮型、變量型；

變限積分：求導公式

反常積分：斂散性

性質

不定積分：保号性

定積分：區間長度、線性性質、可加（拆）性、保号性、估值定理、積分中值定理；

解不定積分（四大積分法）

基本積分公式

湊微分法

換元法

分部積分法

有理函數積分

解定積分

牛頓-萊布尼茲公式

區間再現公式

華裡士公式

補充

直接、拆分、換元、換序

求偏導

總結

求積分。

四、微積分的應用

前言

微分的應用、積分的應用、微分方程

微分的應用

三點兩性一線

相關變化率

曲率

積分的應用

面積、體積、平均值

抽水做功

平面上的曲邊梯形的形心坐标公式

弧長

微分方程

一階微分方程的求解

變量可分離型

可化為變量可分離型

一階線性微分方程

伯努利方程

二階可降階微分方程

不含未知函數y

不含自變量x

高階線性微分方程的求解

二階常系數齊次線性微分方程的通解

二階常系數非齊次線性微分方程的特解

應用

牛頓第二定律

變化率問題

五、中值定理

中值定理

函數

有界與最值定理

介值定理

平均值定理

零點定理

導數

費馬定理

羅爾定理

拉格朗日中值定理

柯西中值定理

泰勒公式

積分

積分中值定理

零點問題與微分不等式

零點問題

零點定理（證存在性）

單調性（證唯一性）

羅爾原話

實系數奇次方程至少有一個實根

微分不等式

用函數性态證明不等式

用常數變量化證明不等式

用中值定理證明不等式

積分等式與積分不等式

積分等式

用中值定理

用夾逼準則

用積分法

積分不等式

用函數的單調性

用拉格朗日中值定理

用泰勒公式

用積分法

六、多元微分學

前言

多元微積分的基礎知識、多元微分學、多元積分學、三重積分和曲線曲面積分

多元微積分基礎知識

向量代數

向量的運算：數量積和向量積

向量的方向角、方向餘弦：stokes公式

空間平面與直線

平面方程：一般式、點法式、三點式、截距式

直線方程：一般式、點向式、參數式、兩點式

位置關系：點到平面、直線、平面、直線與平面

空間曲線與曲面

空間曲線：一般式、參數式、空間曲線在坐标面上的投影

空間曲面：曲面方程、二次曲面、柱面、旋轉曲面

多元函數微分學的幾何應用

空間曲線的切線與法平面

空間曲面的切平面與法線

場論初步

方向導數

梯度

方向導數與梯度的關系

散度、旋度

多元函數微分學

基本概念

極限、連續、偏導數

可微、偏導數的連續性

多元函數微分法則

鍊式求導規則

隐函數存在定理

多元函數的極值最值

概念

無條件極值：隐函數、顯函數

條件極值與拉格朗日乘數法：閉區域邊界上、閉區域上

多重積分

概念

對稱性：普通、輪換

計算

直角坐标系

極坐标系

極值互化

積分次序

二重三重積分、曲線曲面積分

二重三重積分與第一型曲線曲面積分

概念、性質

對稱性：普通、輪換

計算

基礎方法：化為定積分

技術方法：對稱性、形心公式的逆用

應用

空間曲面求面積：用第一型曲面積分

空間物體的重心、形心：三重積分

第二型曲線曲面積分

第二型曲線積分：場、概念、性質

平面第二型曲線積分的計算：化為定積分，格林公式；

空間第二型曲線積分的計算：斯托克斯公式

第二型曲面積分：向量場、概念、性質

第二型曲面積分的計算：化為二重積分、高斯公式

總結

認識是多角度反複的。

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