一、何為施瓦西黑洞？
一談到黑洞，大部分人可能會形象的将其看作是巨大的品質集中到了一起後形成的狀态，也有的朋友知道大品質恒星晚年會塌縮成黑洞。于是，大部分人腦中的黑洞是如 圖1 所示的樣子的。
圖1 很多人想象的黑洞的樣子
其實很多朋友可能不知道，我們常說的黑洞（也是最簡單的一種黑洞）叫做施瓦西黑洞，它其實是愛因斯坦場方程的真空解！所謂真空解，就是沒有物質和能量的條件下得到的解。
1915年，愛因斯坦推導得出了著名的廣義相對論場方程
Rab−12⋅R⋅gab=8πGc4⋅Tab
右邊的 Tab 表示物質的能動張量，左邊則是裡奇張量及四維時空的度規。這個方程看似簡潔，其實卻複雜得超出一般人的想象。要想找出這個方程的解析解，難度極大。
解決複雜的問題，當然要從最簡單的入手，于是人們首先盯上的就是找到當 Tab≡0 時的解。 Tab 恒為零，意味着時空中沒有物質和能量，是以這種解被稱為愛因斯坦場方程的真空解。
最簡單、直接，也是最平凡的真空解就是平直的四維時空——闵可夫斯基時空，也就是狹義相對論适用的背景時空。這個結論很容易知道，并沒有什麼了不得的。闵氏時空的線元表達式為
笛卡爾坐标系下： ds2=−c2⋅dt2+dx2+dy2+dz2
球坐标系下：ds2=−c2⋅dt2+dr2+r2⋅dθ2+r2⋅sin2θ⋅dϕ2
線元表達式明确了在相應坐标系下的時空度規各分量，進而時空的黎曼曲率張量、裡奇張量等就都确定了。我們求解愛因斯坦場方程，其實就是找到在某種物質和能量分布的狀态下的時空度規。
闵氏時空雖然是愛因斯坦場方程的一種真空解，可場方程的真空解并不是隻有闵氏時空一種。在愛因斯坦廣義相對論發表的一年後，場方程的第一個非平凡真空解——施瓦西（Schwarzschild）真空解——被求得了。這是一個球對稱的時空，是以其線元一般被基于球坐标系下表達為
ds2=−(c2−2GMr)⋅dt2+(1−2GMc2⋅r)−1⋅dr2+r2⋅dθ2+r2sin2θ⋅dϕ2 ......(1)
式（1）中的 c 是真空中的光速，G 是萬有引力常數，M 則是另外一個常數。通過對比牛頓萬有引力定律，當把 r 很大時的引力場看作是牛頓引力的近似時，我們得到了 M 就是中央星體的品質。另外，從國小我們就學過，0 不能作為分母。進而，式（1）的線元表達式中必須要求 r≠0 且 r≠2GMc2 。
再強調下，施瓦西解是一種真空解，這意味着它所描繪的時空中是沒有物質和能量分布的。是以，施瓦西黑洞應該用 圖2 來表示。
圖2 施瓦西黑洞的真正狀态
圖2中的虛線所對應的球面正是 r=2GMc2 的那個球面，雖然在球坐标系下的線元表達式不允許 r=2GMc2 ，但數學計算表明這個球面的位置屬于坐标奇點，通過坐标變換可以消除，并不是真正的奇點。施瓦西真空解中隻有一個奇點，那就是球心所在的 r=0 處，施瓦西時空中是不包括這個點的。除了不被包括進來的球心外，施瓦西時空的各處都是沒有任何物質和能量的、空空蕩蕩的狀态。
有的朋友會問了，既然施瓦西時空中沒有物質和能量分布，那麼品質 M 是從哪裡來的呢？是的，在施瓦西時空中沒有 M 的存身之所，是以，我們隻能認為 M 來自于被施瓦西時空剔除掉的球心位置的那個點。這也是為什麼很多科普文章都會說黑洞中心是一個體積無窮小、密度無窮大的點的原因。
我們知道，如果不考慮遙遠的太陽、忽略相對地球而言品質較小的月亮，我們地球外部就是一個空空蕩蕩的時空，沒有物質和能量。是以地球外部的時空狀态其實就符合施瓦西真空解中 r>2GMc2 的部分，用施瓦西真空解來描述地球外部的引力場要比牛頓萬有引力公式給出的結論更精确。當然，由于地球品質放在宇宙中來看實在不大，它所引起的時空彎曲程度很小，是以牛頓引力已經足夠精确了。我們發射衛星、載人航天隻需要使用牛頓萬有引力公式就足夠了。但是，如果因為某種特殊原因我們确實需要更精準的測量時——比如日常使用的衛星定位需要高精度計時時，就需要考慮廣義相對論效應了，此時就需要利用上面的施瓦西真空解來計算。
那麼地球内部的時空是否也符合施瓦西真空解呢？很遺憾，由于地球半徑（約6400公裡）遠大于對應地球品質的 2GMc2 （約8.8毫米），是以對地球來說，r 小于6400公裡後的時空中填滿了地球的組成物質，不再是真空狀态了，自然也就不符合施瓦西真空解了。
那如果茫茫宇宙中真的存在 r<2GMc2 的真空區域會怎樣呢？那就形成了我們今天的主角——施瓦西黑洞。我們把圖2中去除球心後的虛線球面以内的部分稱為黑洞（Black Hole）。
事實上，宇宙中真的存在着黑洞。在1980年以前，人們還不能确認黑洞的存在，但是如今我們已經很确定存在着黑洞這種時空狀态了。這樣一個詭異的時空看上去會是什麼樣子呢？當然，要想看它就必須有光，我們假設宇宙深遠地方的恒星照射的光經過了施瓦西黑洞，并最終被我們看到，那麼嚴格地計算表明，施瓦西黑洞從各個角度看過去大概會是 圖3 這個樣子。
圖3 考慮了吸積盤效應和多普勒集束效應後不同角度的施瓦西黑洞看上去大概的樣子
施瓦西黑洞看過去的樣子和它的本來面目很不相同，具體原因比較複雜，涉及到光線在施瓦西黑洞附近的複雜偏轉、引力紅移以及多普勒集束效應等。
以上就是對施瓦西黑洞的一個最簡單的說明，下面我們将分析粒子在施瓦西黑洞内部運動的情況。
二、施瓦西時空視界内外部的特點與差異
我們一般把 r=2GMc2 的球面稱為施瓦西黑洞的視界，視界内部就是黑洞區域了，黑洞區域的時空是一種極為異常的狀态。其實，在施瓦西黑洞外部接近視界的地方，時空狀态已經很不正常了。我以前寫過一篇有關黑洞的文章（連結如下），介紹了施瓦西黑洞的一些情況，感興趣的朋友可供參考。
現實實體世界的“芝諾悖論”——被黑洞所扭曲的時空599 贊同 · 78 評論文章正在上傳…重新上傳取消
1、廣義相對論對時空的基本認知
黑洞這種時空形态是廣義相對論的重大理論預言。之是以是重大理論預言，是因為按照傳統上人們對時間、空間的認知，無論如何是不會存在黑洞這種狀态的；甚至是在狹義相對論中，我們已經認可了時間與空間的相對性（鐘慢效應、尺縮效應已經讓世人很難了解了），但基于狹義相對論仍然無法了解黑洞。是以，要想準确了解黑洞的存在，需要更新一下我們千百年來一直深信不疑的對時間和空間的認知。必須事先聲明的是，以下介紹的廣義相對論對時空的認知并不是什麼理論假設、理論猜想，而是被100多年來無數的實體實驗以及科學實驗直接或間接證明了的科學事實。
（1）時空是緊密聯系的一個整體，時間與空間并不能截然分開。廣義相對論中将時間與空間一體化的看待，稱為“四維時空”，這是一個配有度規結構的單連通四維流形 （）（M,gab） 。
（2）四維時空是絕對的，它與觀察者無關，也不會受到坐标系變換的影響。
（3）時間與空間都是相對的，是人為指定的。确定某個四維時空（）（M,gab） 的時間與空間的工作相當于在這個四維流形上建立由四個坐标構成的坐标系，其中一個是時間坐标、另外三個是空間坐标。這項工作在廣義相對論中被稱為“時空的3+1分解”。并不是任何四維時空都能夠做出“時空的3+1分解”，有些特殊的四維時空無法定義時間與空間。即使能夠定義時間與空間的四維時空，也并不都能夠做到像我們日常生活中感受到的那樣——時間與空間互不相關（如有些四維時空做3+1分解的時候無法保證時間坐标與空間坐标互相正交）。隻有靜态時空（存在類空超曲面正交的類時Killing矢量場的四維時空）才有可能定義出與我們日常生活感受非常類似的時間與空間。
（4）所有與時間、空間有關的3維實體量（長度、時間、速度、動量、……）在廣義相對論中都是相對的，都與觀察者緊密相關。不做“時空3+1分解”且不明确觀察者，是無法談論上述實體量的。
（5）由于廣義相對論中的時空是彎曲的，是以我們不能套用平直時空下的思路去看待問題。例如，廣義相對論中不存在牛頓經典時空觀下的那種參考系，不可能奢望确定一個參照物、确定一個坐标系後，就能夠定義（或測量）所有時空點處的質點的運動學實體量。廣義相對論下的參考系指的是覆寫全部四維時空的、互不相交的、類時矢量場積分曲線的集合。隻有在這個基礎上，我們才能夠為每個時空點的傳統意義上的運動學實體量（3維量）下定義。即使如此，仍有些實體量可能是無法定義的，比如一根木棍的長度（指通常意義的三維空間長度），即使有了廣義相對論下的參考系，但在無法做“時空3+1分解”的四維時空中仍是無法良好定義的。
有了上述基本時空觀認知，我們才有可能繼續分析粒子和光子在施瓦西黑洞内部的運動狀态。否則，如果基本時空觀認知架構都不統一，那麼一旦涉及到黑洞内部這類實體問題的時候，就真的是雞同鴨講，無法溝通了。
2、施瓦西黑洞内部和外部的重大差別
（1）視界面外部時空的異常之處
要知道， r=2GMc2 的視界面可相當的不簡單。如果你的一位朋友駕駛一艘性能無窮好的宇宙飛船飛向某個施瓦西黑洞的視界，那麼你會發現你永遠無法看到他到達視界面的那一天。這并不是因為飛船飛得太慢，而是因為接近視界面處的時間流逝比遠處作為觀察者的你慢許多，即使你等到天荒地老，你朋友的飛船仍然還在無限接近視界而沒有到達。
我們可以用光子運動的世界線來說明這個問題。我們都知道相對論有一個著名的基本假設——光速不變原理。在廣義相對論中，這個原理可以被“更數學”地表述為——光子的世界線線長恒為零。
假設你的朋友的宇宙飛船可以化為一束光，沿徑向直接殺奔黑洞中心，那麼作為光子的他的世界線将滿足 ds2≡0 。考慮到是沿着徑向運動，是以 dθ 與 dϕ 都是 0 。進而，根據式（1）的施瓦西真空解得到光子世界線方程為
dr2=c2⋅(1−2GMc2⋅r)2⋅dt2
求解後得到，
t×c=−r+2GMc2−2GMc2⋅ln|1−2GMc2⋅r|+Const ......(2)
這裡的 Const 是常數，取決于設定哪點的時間 t 為 0 。我們取 Const=0，并取 M 為3倍太陽品質，得到的光子世界線 t×c~r 的關系如 圖4 所示。
圖4 光子沿徑向奔向施瓦西黑洞中心的世界線，t*c~r 的關系
我們知道，至少在視界外部，坐标 t 表示的是時間，其實這個坐标的含義是無窮遠處觀察者所經曆的時間。從圖4 中我們可以看到，即使你朋友化身為光子，那麼在接近視界（3倍太陽品質施瓦西黑洞的視界約在 r 為8844米處）的時候，你所經曆的時間快速趨于無窮大。這也就是說，你隻有經曆了無窮長的時間，才會看到你朋友到達視界面。或者說，你永遠無法看到他到達視界面，隻能看到他不斷地接近視界面，漸漸地貼在視界面上。
當然，光子或飛船自身并沒有覺得時間過了無窮長，它們自己都是可以正常的從視界外進入到視界内的。具體的情況可以參見我的這篇文章。
現實實體世界的“芝諾悖論”——被黑洞所扭曲的時空599 贊同 · 78 評論文章正在上傳…重新上傳取消
（2）視界面内外的重大差别
雖然視界面外的時空已經比較異常了，但是和施瓦西黑洞内部比起來仍然算不了什麼。起碼在視界面外邊，時間還是時間、空間還是空間，但是一旦進入到黑洞内，就不是這樣了。
為了解釋視界面内外的重大差異，我們先從有品質的粒子運動速度不能超光速談起。在狹義相對論中我們就知道，質點的運動速度不能超光速。可是前面又說過，在廣義相對論中由于時空是一個整體且處于彎曲狀态，各種與時間、空間相關的實體量都是相對的，那麼怎麼了解質點運動速度不能超光速呢？其實，基于微分幾何的數學知識，我們可以良好的定義質點運動速度不能超光速這個性質為——質點的世界線的線元長度平方（ ds2 ）處處小于零。我們将四維時空中滿足這個性質的曲線稱為類時曲線（類似地，将 ds2 處處大于 0 的曲線稱為類空曲線；将 ds2 處處等于 0 的曲線稱為類光曲線，光子的世界線就必然是類光曲線），進而質點運動不能超光速就可以表述為質點的世界線必須是類時曲線。
我們把式（1）施瓦西真空解的線元表達式再列在下面，并做個簡單分析。
ds2=−(c2−2GMr)⋅dt2+(1−2GMc2⋅r)−1⋅dr2+r2⋅dθ2+r2sin2θ⋅dϕ2 ......(1)
在視界面外部，我們可以把 r 、 θ 、 ϕ 看作是空間坐标，把 t 看作是時間坐标。那麼如果一個質點想保持空間位置不變，也就是 dr=0 、 dθ=0 且 dϕ=0 ，那麼這個質點的線元将變成
ds2=−c2⋅(1−2GMc2⋅r)⋅dt2 ......(3)
由于視界外部 r>2GMc2 ，是以 ds2<0 ，這說明在視界外部保持空間位置不變的質點的世界線确實為類時曲線，沒有超光速，可以存在。
但是，當把視角切換到視界内部——也就是施瓦西黑洞内部——的時候，我們會發現由于 r<2GMc2 ，式（3）所描繪的線元 ds2>0 ，不再是類時曲線。也就是說，在視界内部，質點将不能保持 r 、 θ 、 ϕ 三個坐标不變，否則就“超光速”了。
再仔細觀察式（1），可以發現随着 r<2GMc2 ， dt2 的系數由負變正的同時， dr2 的系數 (1−2GMc2⋅r)−1 卻由正變負了。也就是說，如果在視界内部，我們保持 t 、 θ 、 ϕ 不變，質點的世界線将成為類時曲線，是可以存在的。
這表明，從視界外部進入到視界内部，坐标 t 與 r 的性質在某種意義下發生了互換。如果說在視界外部，時間永恒流逝意味着 t 坐标必須不斷變化的話，那麼在視界内部時間永恒流逝就意味着 r 坐标必須不斷變化！
這就是視界内外時空的最重大的差别！！！
三、粒子在施瓦西黑洞内部的運動情況
1、運動方向
既然在施瓦西黑洞内部時間流逝意味着 r 坐标必須不斷變化，那麼首先要解決的就是運動方向問題？是 r 不斷變大呢，還是 r 不斷變小呢？
黑洞内部在 t 、 θ 、 ϕ 不變的前提下， ds2=(1−2GMc2⋅r)−1⋅dr2 ，無論 r 不斷變大還是不斷變小，或者說 dr 取正值還是負值， dr2 都是正值，是以對應的世界線都是類時曲線，都是可以作為質點的運作軌迹的。r 不斷變小，意味着質點将奔向施瓦西黑洞的奇點；r 不斷變大，則意味着質點将從黑洞内部跑出來。既然這兩種世界線都是類時的，是否意味着這兩種情況都存在呢？答案是 NO ！
這正如在黑洞外部，無論坐标 t 不斷變大還是不斷變小，對應的世界線也都是類時曲線，但是我們隻見到過奔向未來的質點，從未見過從未來回到過去的質點。時間是單向的，否則因果規律都要失效，我們的一切運算也将毫無意義。既然在黑洞外部，類時坐标線對應的參數 t 隻能取一個方向，那麼在黑洞内部，同樣成為類時坐标線對應的參數 r 也隻能取一個方向。
無論是從對宇宙的觀察來看，還是從理論推導來看，黑洞視界外部的粒子都隻會受到黑洞的吸引而墜入黑洞，并沒有從黑洞内部飛奔而出的任何粒子或者光子（霍金輻射并不屬于這種意義的粒子）。進而，我們可以得到比較确定的結論，在黑洞内部，坐标參數 r 隻能不斷減小，不會增大，也不會不變。
其實，從數學上對施瓦西真空解進行最大範圍的延拓——Kruskal延拓，可以得到除了球心奇點外的、全四維時空單聯通的流形。在這個延拓下，确實存在着除了我們說的黑洞區域和視界外漸進平直區域外的另外兩個區域——白洞區域和白洞外的漸進平直區域。但是，這兩個區域與我們讨論的黑洞區域和黑洞外漸進平直區域是沒有因果聯系的，從實體上說白洞和白洞外的區域應該是不存在的。當然，是否存在一個與我們的宇宙完全沒有因果聯系的另外一個宇宙，現有理論和科學實驗觀察目前都無法得出任何結論。
停止放飛思緒，還是回到我們的宇宙中，研究粒子進入黑洞後的運動情況吧。
2、運動結果
既然粒子進入黑洞後，坐标 r 就隻能不斷減小，那麼最終粒子會怎樣呢？注意到“ r 隻能減小”與視界外部的“ t 隻能增大”不同，增大可以永遠增加下去，可減小最終也就是減小到 0 。
站在施瓦西時空的角度來說，黑洞内部粒子運動的結果必然是“最終從施瓦西時空中消失”。因為 r 最終将減小到 0 ，可是前面強調過，r=0 并不屬于施瓦西時空中的時空點，是以我們隻能說，粒子和光子們最終都從時空中消失了。
這是廣義相對論目前能夠給到我們的結論。相信沒有哪個人會對這樣的結論滿意。是以，全世界的實體學家基本都認為至少在施瓦西時空的奇點處，廣義相對論失效了。而且，現有實體理論中也沒有哪個理論能夠解釋這個現象，是以也可以說，在施瓦西時空的奇點處，我們現有的、經過驗證成立的全部實體理論都失效了。這就是粒子和光子在施瓦西黑洞内部運動的最終結果。
有人會說，會不會粒子不斷朝着奇點運動，但是永遠到達不了呢？這不就解決了粒子從時空中消失的問題嗎？
有着這類想法的朋友還是拿着絕對時空觀往廣義相對論上來套用了。事實上，不說清楚那個“永遠”是相對哪個觀察者來說的，“永遠”本身就是無意義的。正如在黑洞外部，我們地球上的觀察者就會覺得朋友的飛船永遠也到達不了黑洞視界，但其實人家飛船自己覺得很快就到了視界并毫無阻攔的進去了。
事實上，由于對粒子來說，它們自己感覺到的時間（固有時）就是其世界線的長度（國際機關制下要除以光速c）。在世界線必須是類時曲線的前提下，很容易證明，保持 t 、 θ 、 ϕ 不變的情況下的類時曲線是最長的。換句話說，粒子隻沿着 r 方向前進，其它坐标都保持不變，這種情況會讓粒子到達奇點所需要的固有時最長。但是，這個最長的固有時也是有限的，它等于
1c⋅∫ds=1c⋅∫02GMc2r2GMc2−r⋅dr=1c⋅∫012GMc2u1−u⋅du=πGMc3 ......(3)
是以，并不存在粒子不斷朝着奇點運動但永遠到達不了的情況。對進入黑洞内部的粒子和光子來說，唯一的歸宿就是從施瓦西時空中消失，到達我們現有實體理論無法解釋的一種狀态。
3、運動軌迹
最後，說了這麼多，還是要給大家計算一下粒子和光子在施瓦西黑洞内部的運動軌迹到底如何。我們先假定粒子和光子進入黑洞後都做慣性運動，其運動的世界線是四維時空中的測地線。
（1）測地線計算方法
計算方法涉及到較多的廣義相對論知識和數學知識，不多解釋，無需了解的朋友跳過即可。
首先由球對稱性可知，固定 θ=π2 不影響測地線的計算。
然後，根據式（1）表明的球坐标系下施瓦西時空度規的任何分量都與坐标 t 和 ϕ 無關，知道 (∂∂t)a 與 (∂∂ϕ)a 是兩個Killing矢量場。由于測地線的切矢與Killing矢量場的縮并沿測地線是常數，我們可以定義這兩個常數分别為 E 和 L 。
E=−gab(∂∂t)a(∂∂τ)b=(1−2GMc2⋅r)⋅c3⋅dtdτ ......(5)
L=gab(∂∂ϕ)a(∂∂τ)b=c⋅r2⋅dϕdτ ......(6)
再由 gab(∂∂τ)a(∂∂τ)b=−1 or 0 （分别對應類時曲線和類光曲線），并将式（4）和式（5）代入得到
−(1−2GMc2⋅r)−1⋅E2c4+(1−2GMc2⋅r)−1⋅(drdτ)2+L2c2⋅r2=−1 or 0 ......(7)
式（5）、（6）、（7）是三個關于 t 、 r 、 ϕ 的微分方程，我們由此可以解出 t 、 r 、 ϕ 與 τ 的函數關系，進而得到測地線的參數方程。
（2）數值求解測地線曲線
上面三個方程的解析解求解太困難，也沒有必要。我們直接利用數值計算求解。
數值計算前要闡明 E 和 L 這兩個量的含義，進而好賦予其有意義的數值。理論分析表明，E 的含義是無窮遠處的觀者測量得到的粒子的“機關品質的能量”，這個能量既包括粒子的引力勢能，也包括粒子的動能。L 的含義是無窮遠處觀者測量得到的粒子對黑洞中心的“機關品質的角動量”。
首先，我們先來計算光子在黑洞内部的運動軌迹。
我們設定黑洞品質是3倍太陽品質，對應的視界半徑 Rs=8844.42 米。設定 E=c2 ，對光子來說這隻是一個數值而已，關系不大。設定 L 分别為 0、 2π×103×Rs2 、 2π×104×Rs2 、 2π×105×Rs2 ，機關都是“米^2/秒”。這後三個“機關品質的角動量”可不小，大體上相當于以 Rs 為半徑，一秒鐘繞黑洞1000圈、10000圈和10,000圈。
根據數值計算的結果，我們先按照一般習慣上的了解，畫出 θ=π2 平面上光子的軌迹，如 圖5 所示。
圖5 光子在上述條件下的4條奔向奇點的軌迹，①~④分别對應着機關品質的角動量為以Rs為半徑，一秒鐘繞黑洞 0、1000、10000、10,000圈
根據我多次數值計算的結果，無論角動量怎樣繼續增大，其 r ~ ϕ 軌迹不會與④号軌迹有太大的變化。也就是說，在黑洞内部，即使是光子，想繞着奇點多轉幾圈都是沒有可能的。
還要說明的是，隻是通過 θ=π2 平面上的 r ~ ϕ 軌迹來擷取資訊還是不充分的。其實這四個不同角動量的光子并沒有“同時”到達奇點（請注意我在“同時”上加了引号，是因為廣義相對論并不那麼容易定義“同時”；這裡“同時”的意思是指這四個光子到達的并不是同一個四維時空點）。為了區分這四個光子真正的世界線，我們很有必要把 t 坐标也表達出來。加入 t 坐标後（由于 t 坐标是負值且越來越小，絕對值越來越大，為了畫圖友善，圖中的 t 坐标都被表達為 -t）的四個光子的世界線如 圖6 所示。
圖6 加入 t 坐标後的四個光子世界線；躺在 x-y 平面上的藍色線條是這四條世界線向 x-y 平面的投影，也就是圖5中的軌迹
從 圖6 中明顯可以看出，四個光子雖然都到達了 r=0 的那條直線上，但是到達處的 t 坐标顯然不同。這就是上面說的它們不是“同時”到達的含義。當然，用 t 坐标來衡量的話，可以看到角動量越大的光子到達的越早（繞彎去的到的反而早，走直線的到的反而晚），但是我們知道 t 坐标線不是類時曲線，不可能是某個質點的世界線，也不會有觀者以這樣的順序看到四個光子依次到達。
事實上，四個光子到達奇點的事件沒有因果關系，再加上因奇點處不屬于施瓦西時空進而不可能有任何觀者看到四個光子依次到達奇點。是以，嚴格地講，光子們到達奇點的先後順序在施瓦西黑洞内是無法定義的。
下面，我們來計算有品質的粒子在施瓦西黑洞内部的運動軌迹。
仍然設定黑洞品質是3倍太陽品質，對應的視界半徑 Rs=8844.42 米。對粒子而言，我們來讨論三種情況。
情況一：設定 L=0 ，改變 E ，分别設定 E=c2 、 E=13c2 和 E=19c2 。
對粒子來說，E=c2 相當于粒子在距離黑洞無窮遠處的時候沒有動能，僅有靜品質對應的能量（ m0c2 ），進而機關品質的能量 E 就是 c2 。而 E<c2 的兩種情況相當于粒子（或者看作宇宙飛船）在引力作用下到達視界外的某處後“踩了刹車”，減少了動能，目的是盡量慢點落入奇點。
情況一的計算結果如 圖7 所示。
圖7 角動量為 0 的三個能量不同的粒子墜入黑洞奇點的世界線
在角動量為 0 的情況下，計算結果表明，能量越大的粒子墜入奇點時對應的 t 坐标越大。圖7 中最上面的那條世界線是 E=c2 的粒子的世界線。這下可能有的朋友又有點糊塗了，為什麼能量越大反而墜落到奇點“越晚”呢？其實，在黑洞内部，t 坐标具有空間坐标的屬性，并不能代表時間。事實上，我們可以了解為能量越大的粒子，在空間坐标 t 的方向上“沖”的越遠！
可能還是會有朋友想問，這三個粒子到底誰先到達奇點的呢？前面分析光子墜落奇點時已經說了，在施瓦西黑洞内部，由于時空度規極度扭曲，連穩态時空都不是（ r 坐标的切矢場雖然是類時矢量場，但是卻不是Killing矢量場，随着 r 坐标改變度規分量也在改變），是以無法良好定義哪個粒子先墜落奇點。
但是，粒子畢竟與光子不同，光子沒有固有時，而粒子有。是以，我們可以通過比較粒子的固有時來看看它們自己覺得自己經曆了多長時間墜落到了奇點。
其實，前面介紹計算方法的時候所用的參數 τ 就是粒子世界線的線長。粒子的固有時就是粒子世界線的長度除以光速。計算表明，機關品質的能量分别為 1倍、1/3倍和1/9倍 c2 的三個粒子，從視界處墜落到奇點所經曆的固有時分别為 1.93×10−5 秒、 3.14×10−5 秒和 3.82×10−5 秒。從固有時來看，确實是能量大的粒子固有時短。雖然我們不好定義它們墜落奇點的先後順序，但是從自我感覺的時間來看，還是“刹車過”的粒子墜落得“慢”，雖然這段固有時連讓人眨一下眼睛都來不及。
計算到這裡，可能會有細心的朋友“算了下賬”，從視界落到奇點的過程中，r 坐标從8844.42米變為0，而能量最大的那個粒子固有時隻有 1.93×10−5 秒，其向奇點墜落的平均速度達到 4.57×108 米/秒，顯然超光速了呀！這又是一種拿着經典時空觀向廣義相對論中套用的誤會。
用坐标變化量去除以粒子的固有時，确實能夠得到一個具有速度量綱的實體量，但是這個實體量不表征任何我們經典意義下的速度。相對論所說的速度不能超光速，指的是與粒子同處在同一個四維時空點的任何一個觀察者（觀察者也是有品質的粒子，其世界線也是類時曲線）所測量得到的這個粒子的三維速度（空間距離随時間坐标的變化率）。隻要粒子世界線為類時曲線，那麼無論哪個觀察者測量得到的粒子三維速度都不會超過光速，即使在黑洞内部也不例外。
由于相對論中的時間概念相對性很強，并不是随便找一個距離除以一個時間得到的速度都不能超光速。我們常說的宇宙膨脹的速度超光速也是類似的情況，并不是真的有哪個星系超光速運動了。
情況二：設定 E=c2 ，改變 L ，分别設定 L 為 0、 2π×103×Rs2 、 2π×104×Rs2 、 2π×105×Rs2 米^2/秒，與前面計算光子的數值相同。
計算得到的不同角動量下粒子世界線如 圖8 所示。
圖8 相同能量、不同角動量下四個粒子向奇點墜落的世界線，左邊是通常意義下的“空間”軌迹，右邊是加入了 t 坐标的粒子世界線
在改變角動量的時候我們看到，粒子與光子類似，都是角動量大的粒子到達奇點時的 t 坐标值小。我們計算這四個粒子的固有時，得到的也是同樣的結果，角動量大的粒子固有時也小。這四個粒子的固有時分别為 1.93×10−5 秒、 1.80×10−5 秒、 9.51×10−6 秒和 1.52×10−6 秒。看來，想通過巨大的角動量試圖在黑洞内多繞奇點轉轉圈是不可能的，而且越想轉圈，其結果是自我感覺越快到達奇點。
當 E=0 且 L=0 時，粒子的世界線變成了 r 坐标線，此時粒子墜落到奇點的固有時最大。利用式（3）計算得到，對3倍太陽品質的黑洞來說，粒子墜入奇點的固有時最長為 4.63×10−5 秒。看，也沒比前面那個 3.82×10−5 秒長多少。事實上，粒子是無法做到隻沿着 r 坐标線前進的，因為 E=0 的前提是 dt/dτ=0 ，可在視界外的時候，t 是時間坐标，不可能保持不變使 dt=0 ，是以粒子至多可以無限接近這個最長的固有時而已。【由于克氏符計算太複雜，之前算錯了數，僅沿着 r 坐标線運動也是一條測地線，沒有“4加速”。】