數學知識--外積和内積

1、外積（叉積、向量積、叉乘）

向量積，數學中又稱外積、叉積，實體中稱矢積、叉乘，是一種在向量空間中向量的二進制運算。它的運算結果是一個向量而不是一個數。兩個向量的叉積與兩個向量組成的坐标平面垂直。

對于向量U和向量V：

U = ( x 1 , y 1 , z 1 ) U=(x_1, y_1, z_1) U=(x1​,y1​,z1​)

V = ( x 2 , y 2 , z 2 ) V=(x_2, y_2, z_2) V=(x2​,y2​,z2​)

a和b的叉乘公式為：

U × V = ∣ i j k x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 ∣ = ( y 1 z 2 − y 2 z 1 ) i − ( x 1 z 2 − x 2 z 1 ) j + ( x 1 y 2 − x 2 y 1 ) k U\times V=\begin{vmatrix} i &j &k \\ x_1 &y_1 &z_1 \\ x_2 &y_2 &z_2 \end{vmatrix}=(y_1z_2-y_2z_1)i-(x_1z_2-x_2z_1)j+(x_1y_2-x_2y_1)k U×V=∣∣∣∣∣∣​ix1​x2​​jy1​y2​​kz1​z2​​∣∣∣∣∣∣​=(y1​z2​−y2​z1​)i−(x1​z2​−x2​z1​)j+(x1​y2​−x2​y1​)k

其中：

      i = ( 1 , 0 , 0 ) i=(1,0,0) i=(1,0,0)    j = ( 0 , 1 , 0 ) j=(0,1,0) j=(0,1,0)    k = ( 0 , 0 , 1 ) k=(0,0,1) k=(0,0,1)

根據 i , j , k i,j,k i,j,k之間關系，有：

U × V = ( y 1 z 2 − y 2 z 1 . − ( x 1 z 2 − x 2 z 1 ) , x 1 y 2 − x 2 y 1 ) U\times V =(y_1z_2-y_2z_1.-(x_1z_2-x_2z_1),x_1y_2-x_2y_1) U×V=(y1​z2​−y2​z1​.−(x1​z2​−x2​z1​),x1​y2​−x2​y1​)

                       

兩個向量叉乘後的向量大小為：

U ⃗ × V ⃗ = ∣ U ⃗ ∣ ⋅ ∣ V ⃗ ∣ ⋅ s i n θ \vec{U}\times \vec{V}=|\vec{U}|\cdot |\vec{V}|\cdot sin \theta U

×V

=∣U

∣⋅∣V

∣⋅sinθ

叉乘的幾何意義：

• 在三維幾何中，向量a和向量b的叉乘結果是一個向量，更為熟知的叫法是法向量，該向量垂直于a和b向量構成的平面。

• 在3D圖形學中，叉乘的概念十分有用，可以通過兩個向量的叉乘，生成第三個垂直于a、b的法向量，進而建構X,Y,Z坐标系。如下圖所示：

                   

  

• 在二維空間中，叉乘還有另外一個幾何意義就是：|aXb|=|a||b|sinθ=由向量a和向量b構成的平行四邊形的面積。

2、内積（點乘，數量積）

對于向量a和向量b：

a = ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) a=(a_1,a_2,...,a_n) a=(a1​,a2​,...,an​)

b = ( b 1 , b 2 , . . . , b n ) b=(b_1,b_2,...,b_n) b=(b1​,b2​,...,bn​)

向量a和b 的點積公式為：

a ⋅ b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n a⋅b=a1​b1​+a2​b2​+...+an​bn​

點乘的幾何意義：

點乘的幾何意義是可以用來表征或計算兩個向量之間的夾角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式：

a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ c o s θ a \cdot b=|a||b|cos \theta a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ

θ = a r c c o s ( a ⋅ b ∣ a ∣ ∣ b ∣ ) \theta =arc cos(\frac{a \cdot b} {|a||b|}) θ=arccos(∣a∣∣b∣a⋅b​)