向量代數：向量的内積和外積

一. 内積

        定義：兩個向量 a與 b的内積為 a ·b = |a||b|cos∠(a, b)，它是數量而不是向量。 特别地，0·a =a·0 = 0；若a，b是非零向量，則a與b正交的充要條件是a·b = 0。        幾何意義：a·b等于向量a在b上的投影πb(a)與b的長度之積：a·b = |b|a·(b/|b|) = |b|πb(a)。

        性質：

1. a^2 ≥ 0；當a^2 = 0時，必有a = 0.                         （正定性）
2. a·b = b·a.                                                                    （對稱性）
3. (λa + μb)·c = λa·c + μb·c，對任意實數λ, μ成立. （線性）
4. cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).
5. |a·b| ≤ |a||b|，等号隻在a與b共線時成立.

        餘弦定理：在△ABC中，成立 c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC，如下圖所示：

二. 外積

         定義：向量 a與 b的外積 a× b是一個向量，其長度等于| a× b| = | a|| b|sin ∠(a,b)，其方向正交于a與b。并且，(a,b,a×b)構成右手系。 特别地，0×a = a×0 = 0.此外，對任意向量a，a×a=0。         幾何意義：a與b的外積在數值上等于以a,b為鄰邊的平行四邊形的面積。         基本性質：

1. a × b = -b × a.                                   （反稱性）
2. (λa + μb) × c = λ(a ×c) + μ(b ×c). （線性）

        正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC，如下圖所示：

三. 參考

[1] 蘇步青. 空間解析幾何. 上海：上海科技出版社，1984