①設 O A ⃗ = a ⃗ , A B ⃗ = b ⃗ \vec{OA}=\vec a,\vec{AB}=\vec b OA
=a
,AB
=b
則向量 O B ⃗ = a ⃗ + b ⃗ \vec{OB}=\vec a+\vec b OB
=a
+b
② a ⃗ + b ⃗ = b ⃗ + a ⃗ \vec a+\vec b=\vec b+\vec a a
+b
=b
+a
(見圖1.2)
③ ( a ⃗ + b ⃗ ) + c ⃗ = a ⃗ + ( b ⃗ + c ⃗ ) (\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c) (a
+b
)+c
=a
+(b
+c
)(見圖1.3)
④ a ⃗ + 0 ⃗ = a ⃗ \vec a+\vec0=\vec a a
+0
=a
⑤ a ⃗ + ( − a ⃗ ) = 0 ⃗ \vec a+(-\vec a)=\vec0 a
+(−a
)=0
⑥ a ⃗ − b ⃗ = a ⃗ + ( − b ⃗ ) \vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b) a
−b
=a
+(−b
)(見圖1.4)
⑦ ∣ a ⃗ + b ⃗ ∣ ≤ ∣ a ⃗ ∣ + ∣ b ⃗ ∣ |\vec a+\vec b|≤|\vec a|+|\vec b| ∣a
+b
∣≤∣a
∣+∣b
∣
從②~⑥可知,向量的加法與減法的基本運算規律與實數的加法和減法完全相同
解析幾何 直線與平面 向量代數(1.1)
3.向量的數量乘法:
解析幾何 直線與平面 向量代數(1.1)
① λ ( μ a ⃗ ) = ( λ μ ) a ⃗ λ(μ\vec a)=(λμ)\vec a λ(μa
)=(λμ)a
② ( λ + μ ) a ⃗ = λ a ⃗ + μ a ⃗ (λ+μ)\vec a=λ\vec a+μ\vec a (λ+μ)a
=λa
+μa
③ λ ( a ⃗ + b ⃗ ) = λ a ⃗ + λ b ⃗ λ(\vec a+\vec b)=λ\vec a+λ\vec b λ(a
+b
)=λa
+λb
這裡 λ , μ λ,μ λ,μ是任意實數, a ⃗ , b ⃗ \vec a,\vec b a
,b
是任意向量
解析幾何 直線與平面 向量代數(1.1)
4.向量共線:
解析幾何 直線與平面 向量代數(1.1)
解析幾何 直線與平面 向量代數(1.1)
定理1:①設 A , B A,B A,B為不同的2點,則點 X X X在直線 A B AB AB上的充要條件是:存在唯一1對實數 λ 1 , λ 2 λ_1,λ_2 λ1,λ2,使得 x ⃗ = λ 1 a ⃗ + λ 2 b ⃗ ( λ 1 + λ 2 = 1 ) ( 1.1.4 ) \vec x=λ_1\vec a+λ_2\vec b\,(λ_1+λ_2=1)\qquad(1.1.4) x
=λ1a
+λ2b
(λ1+λ2=1)(1.1.4)這裡向量的公共起點不在直線 A B AB AB上.特别地,點 X X X落線上段 A B AB AB上的充要條件是:存在唯一1對非負實數 λ 1 , λ 2 λ_1,λ_2 λ1,λ2,使(1.1.4)式成立
②設 A , B , C A,B,C A,B,C為不在同一直線上的3點,則點 X X X在 A , B , C A,B,C A,B,C所決定的平面 π \pi π上的充要條件是:存在唯一1組實數 λ 1 , λ 2 , λ 3 λ_1,λ_2,λ_3 λ1,λ2,λ3,使得 x ⃗ = λ 1 a ⃗ + λ 2 b ⃗ + λ 3 c ⃗ ( λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1 ) ( 1.1.5 ) \vec x=λ_1\vec a+λ_2\vec b+λ_3\vec c\,(λ_1+λ_2+λ_3=1)\qquad(1.1.5) x
=λ1a
+λ2b
+λ3c
(λ1+λ2+λ3=1)(1.1.5)這裡向量的公共起點不在平面 π \pi π上.特别地,點 X X X落線上段 Δ A B C \Delta ABC ΔABC上的充要條件是:存在唯一1組非負實數 λ 1 , λ 2 , λ 3 λ_1,λ_2,λ_3 λ1,λ2,λ3,使(1.1.5)式成立
③設 A , B , C , D A,B,C,D A,B,C,D為不在同一平面上的4點,則點 X X X在 A , B , C A,B,C A,B,C所決定的四面體内的充要條件是:存在唯一1組非負實數 λ 1 , λ 2 , λ 3 , λ 4 λ_1,λ_2,λ_3,λ_4 λ1,λ2,λ3,λ4,使得 x ⃗ = λ 1 a ⃗ + λ 2 b ⃗ + λ 3 c ⃗ + λ 4 d ⃗ ( λ 1 + λ 2 + λ 3 + λ 4 = 1 ) ( 1.1.6 ) \vec x=λ_1\vec a+λ_2\vec b+λ_3\vec c+λ_4\vec d\,(λ_1+λ_2+λ_3+λ_4=1)\qquad(1.1.6) x
=λ1a
+λ2b
+λ3c
+λ4d
(λ1+λ2+λ3+λ4=1)(1.1.6)
解析幾何 直線與平面 向量代數(1.1)
解析幾何 直線與平面 向量代數(1.1)
解析幾何 直線與平面 向量代數(1.1)
解析幾何 直線與平面 向量代數(1.1)
二.内積/外積/混合積與直角坐标系
1.内積
(1)向量的夾角:
解析幾何 直線與平面 向量代數(1.1)
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(2)内積的定義:
解析幾何 直線與平面 向量代數(1.1)
(3)内積的性質:
①交換律: a ⃗ ⋅ b ⃗ = b ⃗ ⋅ a ⃗ \vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a a
⋅b
=b
⋅a
② a ⃗ ⋅ b ⃗ = 0 ⇒ a ⃗ ⊥ b ⃗ \vec a\cdot\vec b=0⇒\vec a⊥\vec b a
⋅b
=0⇒a
⊥b
,即 a ⃗ = 0 ⃗ \vec a=\vec0 a
=0
或 b ⃗ = 0 ⃗ \vec b=\vec0 b
=0
或 a ⃗ ⊥ b ⃗ ( a ⃗ , b ⃗ ≠ 0 ⃗ ) \vec a⊥\vec b\,(\vec a,\vec b≠\vec0) a
⊥b
(a
,b
=0
)
③ a ⃗ ⋅ a ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ 2 \vec a\cdot\vec a=|\vec a|^2 a
⋅a
=∣a
∣2
④結合律: ( λ a ⃗ ) ⋅ b ⃗ = λ ( a ⃗ ⋅ b ⃗ ) = a ⃗ ⋅ ( λ b ⃗ ) ( λ ∈ R ) (λ\vec a)\cdot\vec b=λ(\vec a\cdot\vec b)=\vec a\cdot(λ\vec b)\,(λ∈R) (λa
)⋅b
=λ(a
⋅b
)=a
⋅(λb
)(λ∈R)
⑤配置設定律: ( a ⃗ + b ⃗ ) ⋅ c ⃗ = a ⃗ ⋅ c ⃗ + b ⃗ ⋅ c ⃗ (\vec a+\vec b)\cdot\vec c=\vec a\cdot\vec c+\vec b\cdot\vec c (a
+b
)⋅c
=a
⋅c
+b
⋅c
( λ a ⃗ + μ b ⃗ ) ⋅ c ⃗ = λ ( a ⃗ ⋅ c ⃗ ) + μ ( b ⃗ ⋅ c ⃗ ) ( λ , μ ∈ R ) ( 1.1.48 ) (λ\vec a+μ\vec b)\cdot\vec c=λ(\vec a\cdot\vec c)+μ(\vec b\cdot\vec c)\,(λ,μ∈R)\qquad(1.1.48) (λa
+μb
)⋅c
=λ(a
⋅c
)+μ(b
⋅c
)(λ,μ∈R)(1.1.48)
解析幾何 直線與平面 向量代數(1.1)
⑥施瓦茨不等式(Schwarz Inequality): ∣ a ⃗ ⋅ b ⃗ ∣ ≤ ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ |\vec a\cdot\vec b|≤|\vec a|\,|\vec b| ∣a
⋅b
∣≤∣a
∣∣b
∣,當且僅當 a ⃗ / / b ⃗ \vec a//\vec b a
//b
時等号成立
(4)向量的投影:
解析幾何 直線與平面 向量代數(1.1)
2.外積
(1)外積的定義:
解析幾何 直線與平面 向量代數(1.1)
(2)外積的性質:
①反稱性: a ⃗ × b ⃗ = − b ⃗ × a ⃗ \vec a×\vec b=-\vec b×\vec a a
×b
=−b
×a
② a ⃗ × b ⃗ = 0 ⃗ ⇒ a ⃗ / / b ⃗ \vec a×\vec b=\vec0⇒\vec a//\vec b a
×b
=0
⇒a
//b
,即 a ⃗ = 0 ⃗ \vec a=\vec0 a
=0
或 b ⃗ = 0 ⃗ \vec b=\vec0 b
=0
或 a ⃗ / / b ⃗ ( a ⃗ , b ⃗ ≠ 0 ⃗ ) \vec a//\vec b\,(\vec a,\vec b≠\vec 0) a
//b
(a
,b
=0
)
③結合律: ( λ a ⃗ ) × b ⃗ = λ ( a ⃗ × b ⃗ ) = a ⃗ × ( λ b ⃗ ) ( λ ∈ R ) (λ\vec a)×\vec b=λ(\vec a×\vec b)=\vec a×(λ\vec b)\,(λ∈R) (λa
)×b
=λ(a
×b
)=a
×(λb
)(λ∈R)
④ ∣ a ⃗ × b ⃗ ∣ 2 + ∣ a ⃗ ⋅ b ⃗ ∣ 2 = ∣ a ⃗ ∣ 2 ∣ b ⃗ ∣ 2 |\vec a×\vec b|^2+|\vec a\cdot\vec b|^2=|\vec a|^2|\vec b|^2 ∣a
×b
∣2+∣a
⋅b
∣2=∣a
∣2∣b
∣2
⑤配置設定律: ( a ⃗ + b ⃗ ) × c ⃗ = a ⃗ × c ⃗ + b ⃗ × c ⃗ (\vec a+\vec b)×\vec c=\vec a×\vec c+\vec b×\vec c (a
