本課不存在于MIT Linear Algebra 公開課視訊中，是線性代數基礎概念介紹，在Strang教授得《Introduction to linear algebra》第一章能找到相關内容。
向量的基本概念
知識點：
- 向量和線性組合（Vectors and Linear Combinations）
- 向量内積（點積 ·）和長度（Lengths and Dot Products）
- 矩陣A，線性方程組Ax =b 和它的解inv(A)b
向量和線性組合（Vectors and Linear Combinations）
向量的線性組合： 對于向量v，w ，v，w的線性組合：cv+dw，線性組合包括種運算：向量的加法和标量與向量相乘。
向量加法：對于兩個列向量v,w
向量的基本概念 - 線性代數課時0（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang） 向量的基本概念 ,
向量的基本概念 - 線性代數課時0（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang） 向量的基本概念 ，
向量的基本概念 - 線性代數課時0（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang） 向量的基本概念 标量乘向量：對于标量c 和向量v
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向量的基本概念 - 線性代數課時0（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang） 向量的基本概念 向量的線性組合是線性代數中最基礎也是最核心的概念之一，向量加法和标量乘向量是最基礎和核心的兩個運算操作。
向量内積（點積 ·）和長度（Lengths and Dot Products）
内積定義：以二維向量為例，向量v=（v1,v2）和w=（w1，w2）的内積v·w = v1*w1 + v2*w2，推廣到多元向量v·w：
向量的基本概念 - 線性代數課時0（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang） 向量的基本概念 内積聯系了線性代數和空間幾何，它包含了同緯空間中兩個向量的角度關系和兩個向量本身的幾何長度資訊，是以内積是一個很重要也經常使用的概念（運算），比如兩個向量内積為零表明這兩個向量在幾何空間中互相垂直。
長度：向量長度||v||定義為向量和自身求内積開平方：
向量的基本概念 - 線性代數課時0（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang） 向量的基本概念 , 在二維空間對這個定義很好了解：2維空間中的向量分量v1=x，v2=y，向量v=（x,y）的長度等于從原點（0,0） 到（x，y）的距離，由勾股定理知道這個距離=
向量的基本概念 - 線性代數課時0（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang） 向量的基本概念 =
向量的基本概念 - 線性代數課時0（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang） 向量的基本概念 ，很容易推論到高緯空間中的向量距離||v|| =
向量的基本概念 - 線性代數課時0（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang） 向量的基本概念 。由向量長度的定義了解到向量的内積包含了向量的幾何長度資訊在裡面。
我們定義長度為1的向量為機關向量，u=v/||v||。
通過機關向量我們可以推出兩個向量的夾角
向量的基本概念 - 線性代數課時0（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang） 向量的基本概念 的計算公式：
向量的基本概念 - 線性代數課時0（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang） 向量的基本概念 上面公式推導的過程其實很簡單，還是在2維空間中推導，假設2維空間中的兩個機關向量與x軸的夾角為
向量的基本概念 - 線性代數課時0（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang） 向量的基本概念 和
向量的基本概念 - 線性代數課時0（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang） 向量的基本概念 ，兩個向量之間的夾角為
向量的基本概念 - 線性代數課時0（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang） 向量的基本概念 ，那麼
向量的基本概念 - 線性代數課時0（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang） 向量的基本概念 的，假設（
向量的基本概念 - 線性代數課時0（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang） 向量的基本概念 ）以保證我們求得的夾角為正，那麼這兩個向量分别是(
向量的基本概念 - 線性代數課時0（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang） 向量的基本概念 )和(
向量的基本概念 - 線性代數課時0（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang） 向量的基本概念 )，那麼這兩個向量的内積為
向量的基本概念 - 線性代數課時0（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang） 向量的基本概念 ,有三角公式可知上式等于
向量的基本概念 - 線性代數課時0（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang） 向量的基本概念 即為
向量的基本概念 - 線性代數課時0（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang） 向量的基本概念 ，講兩個普通向量轉化為向量方向上的機關向量角度不會改變即推導出夾角
向量的基本概念 - 線性代數課時0（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang） 向量的基本概念 的計算公式。
從
向量的基本概念 - 線性代數課時0（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang） 向量的基本概念 的計算公式出發，我們還可以得出以下幾個結論：向量垂直内積為0，向量夾角大于90度内積小于0，向量夾角小于90度内積大于0，機關向量的内積在[-1,1]之間，以及兩個重要的不等式：柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz-Buniakowsky inequality）和三角不等式：
向量的基本概念 - 線性代數課時0（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang） 向量的基本概念 向量的基本概念 - 線性代數課時0（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang） 向量的基本概念 矩陣A，線性方程組Ax =b 和它的解inv(A)b
線上性代數中矩陣與向量來源于對線性方程組的表達，舉例，有如下線性方程組：
向量的基本概念 - 線性代數課時0（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang） 向量的基本概念 将x1，x2，x3在方程組中的系數提取組成3個向量u=（1；-1；0），v=（0；1；-1），w=（0；0；1），方程組等式右邊以向量b=（b1；b2；b3）表示，3個未知數x1，x2，x3表示成未知數向量x=（x1；x2；x3），那麼上面的線性方程組可以改寫成如下向量線性組合的形式：
向量的基本概念 - 線性代數課時0（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang） 向量的基本概念 向量形式改寫成矩陣乘法形式：
向量的基本概念 - 線性代數課時0（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang） 向量的基本概念 A是系數線性方程組的系數矩陣，x是未知數組成的向量，b也是一個向量，是以線性方程組可以寫成Ax=b的形式，線性代數的核心問題就是求解Ax=b。 從上面的改寫過程可以看書求解Ax=b就是找到一個合适的x向量使得通過u，v，w的線性組合x1u+x2v+x3w的結果為b向量，這是線性代數很重要的一個思想：求解線性方程組就是找到系數矩陣列向量合适的線性組合，使得線性組合的結果等于向量b。
這裡還要引出另外一個矩陣A的逆矩陣，表示為
向量的基本概念 - 線性代數課時0（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang） 向量的基本概念 或inv(A),方程組Ax=b的解為x=
向量的基本概念 - 線性代數課時0（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang） 向量的基本概念 b, A
向量的基本概念 - 線性代數課時0（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang） 向量的基本概念 =I,I是機關陣。關于逆矩陣的知識Strang教授會在後面的課程相信介紹，這裡對Ax=b的讨論線性代數課程内容的一個引入。
下節課：方程組的幾何解釋-線性代數課時1（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang）
