正交矩陣與正交變換

前置性質 1　。

證明見 “​​矩陣的運算規則​​”。

前置性質 2　。

證明見 “​​矩陣的運算規則​​”。

定義 1（正交矩陣）　如果 階矩陣

那麼稱 為 正交矩陣，簡稱 正交陣。

性質 1　方陣 為正交矩陣的充分必要條件是

證明　将式 用 的列向量表示，即是

也就是 個關系式

即

性質 2　方陣 為正交矩陣的充分必要條件是

證明　因為 ，是以 。類似性質 1 可證性質 1 對于行向量仍然成立。

由此可見， 階正交矩陣 的 個列（行）向量是構成向量空間

性質 3　若 為正交矩陣，則

證明　因為 ，是以 ，進而

性質 4　若 為正交矩陣，則 或 。

證明　因為 ，是以 ；根據前置性質 1，有 ；根據前置性質 2，有 ，進而有 或 。得證。

性質 5　若 和 都是正交矩陣，則

證明　因為 和 是正交矩陣，是以有 和 。根據兩式，有

是以

定義 2（正交變換）　若 為正交矩陣，則線性變換 稱為 正交變換。

性質 6　設 為正交變換，則有 。