四個基本子空間-線性代數課時10（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang）

        這是Strang教授的第十講，講解的内容是矩陣的4個基本子空間，包括前面介紹過的列空間、零空間還有另外兩個子空間，了解這4個基本子空間對學習線性代數十分重要。

四個基本子空間

        對于矩陣A，它的四個基本子空間指的是：

        1. 列空間 

  ，在

内；

        2. 零空間

 ，在

内；

        3. 行空間

 ，在

内；

        4. 左零空間

，在

内；

        前面的課程中已經學習過列空間

和零空間

，行空間

和左零空間

一種簡單的了解就是A轉置的列空間和零空間。行空間是A行向量生成的向量空間，左零空間是

全部解構成的向量空間，他們和列空間和行空間定義完全一樣，隻是将矩陣A的行和列互換了，也就是對A做了轉置。上一課講解了向量空間和維數的基本概念，為了了解矩陣的4個基本子空間具備的良好性質，下面分别給出4矩陣A的4個基本子空間的維數和尋找它的一組基。

        以下面的矩陣說明說明：

1.行空間

        上面的矩陣A通過消元得到行簡化階梯矩陣矩陣R，通過R我們知道矩陣的主元個數為2，也就是rank(A)=rank(R)=2,說明A的行1和行2線性無關，行3是由行1和行2線性組合得到的，說明A的行空間是由A（R）的主元所在的行向量（A的行1向量和A的行2向量）生成的，

.有一點需要說明，我們在得到R的過程中做的是行變換，是以矩陣R和局長A具有相同的行空間。上面的例子一般化之後，結論就是：

        行空間的維數是矩陣的秩r，R的非零行構成行空間的一組基

2.列空間

        矩陣A的秩r同樣代表了A的列向量中線性無關向量的個數，是以：

       列空間的維數是矩陣的秩r，A主元所在的列構成列空間的一組基

        這裡要說明的是，A和R的列空間不一樣，但他們的維數是一樣的，應為Ax=0 <=> Rx=0。

3. 零空間

        零空間是Ax=0的解構成的向量子空間，在前面通過消元法求解Ax=0的解的過程中，我們知道Ax=0有n-r個特解，也就是自由變量的數目，而

就是由這n-r個特解生成的向量空間，是以：

        零空間的維數是n-r，Ax=0的特解構成零空間的一組基

4.左零空間

        左零空間是由

的特解生成的向量空間，為什麼叫左零空間呢，将

做轉置得到，

,

是行向量位于A的左邊，這就是為什麼它被叫做左零空間。

        上例矩陣中左零空間的的維數為1，因為

和

具有相同的秩r=2，是以

的特解為1，是以左零空間的維數為1。那麼如何求得左零空間的一組基呢，方法1：當然可以通過對重頭開始對

消元求得

的所有特解構成一組基。方法2：在對A消元過程中我們知道EA=R，對于上例子中的A，E如下：

 通過EA=R我們可以直接寫出左零空間的一組基，本例中R第三行為0向量，是以左零空間的一組基是E的第三行的行向量（-1 0 1），因為利用矩陣的乘法的行方法，單獨将E的第三個行向量提出來與A相乘得到R的第三個行向量，表達式：

,正好是

的一個特解。

方法2總結就是R的零行對應的消元矩陣E所在的行向量構成矩陣A左零空間的一組基。總結：

        左零空間的維數是m-r，

的特解構成左零空間的一組基

5. 四個基本子空間總結

        通過上面的矩陣A的4個基本子空間的分析，對于mxn的矩陣A，我們可以做出如下性質美好的總結：

        行空間和零空間在實數空間

中，它們的維數分别是r和n-r.

        列空間和左零空間在實數空間

中，他們的維數分别是r和m-r.

矩陣A的子空間大圖

         大圖包含了矩陣4個基本子空間的全部資訊，大圖：

        從大圖中可以看到，它還反應了4個基本子空間的一個實際關系，前面并沒有挑明，那就是矩陣A的行空間和零空間是垂直的，垂直的意思是行空間中的向量與零空間中的向量·積為0；列空間和左零空間是垂直的。完全了解這幅圖，才能真正了解線性方程組Ax=b的背後的實際意義。

        本節課對應《INTRODUCTION TO LINEAR ALGEBRA》3.6章節。

下節課： 矩陣空間、秩1矩陣和小世界圖-線性代數課時11（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang）