四个基本子空间-线性代数课时10（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang）

        这是Strang教授的第十讲，讲解的内容是矩阵的4个基本子空间，包括前面介绍过的列空间、零空间还有另外两个子空间，理解这4个基本子空间对学习线性代数十分重要。

四个基本子空间

        对于矩阵A，它的四个基本子空间指的是：

        1. 列空间 

  ，在

内；

        2. 零空间

 ，在

内；

        3. 行空间

 ，在

内；

        4. 左零空间

，在

内；

        前面的课程中已经学习过列空间

和零空间

，行空间

和左零空间

一种简单的理解就是A转置的列空间和零空间。行空间是A行向量生成的向量空间，左零空间是

全部解构成的向量空间，他们和列空间和行空间定义完全一样，只是将矩阵A的行和列互换了，也就是对A做了转置。上一课讲解了向量空间和维数的基本概念，为了理解矩阵的4个基本子空间具备的良好性质，下面分别给出4矩阵A的4个基本子空间的维数和寻找它的一组基。

        以下面的矩阵说明说明：

1.行空间

        上面的矩阵A通过消元得到行简化阶梯矩阵矩阵R，通过R我们知道矩阵的主元个数为2，也就是rank(A)=rank(R)=2,说明A的行1和行2线性无关，行3是由行1和行2线性组合得到的，说明A的行空间是由A（R）的主元所在的行向量（A的行1向量和A的行2向量）生成的，

.有一点需要说明，我们在得到R的过程中做的是行变换，所以矩阵R和局长A具有相同的行空间。上面的例子一般化之后，结论就是：

        行空间的维数是矩阵的秩r，R的非零行构成行空间的一组基

2.列空间

        矩阵A的秩r同样代表了A的列向量中线性无关向量的个数，所以：

       列空间的维数是矩阵的秩r，A主元所在的列构成列空间的一组基

        这里要说明的是，A和R的列空间不一样，但他们的维数是一样的，应为Ax=0 <=> Rx=0。

3. 零空间

        零空间是Ax=0的解构成的向量子空间，在前面通过消元法求解Ax=0的解的过程中，我们知道Ax=0有n-r个特解，也就是自由变量的数目，而

就是由这n-r个特解生成的向量空间，所以：

        零空间的维数是n-r，Ax=0的特解构成零空间的一组基

4.左零空间

        左零空间是由

的特解生成的向量空间，为什么叫左零空间呢，将

做转置得到，

,

是行向量位于A的左边，这就是为什么它被叫做左零空间。

        上例矩阵中左零空间的的维数为1，因为

和

具有相同的秩r=2，所以

的特解为1，所以左零空间的维数为1。那么如何求得左零空间的一组基呢，方法1：当然可以通过对重头开始对

消元求得

的所有特解构成一组基。方法2：在对A消元过程中我们知道EA=R，对于上例子中的A，E如下：

 通过EA=R我们可以直接写出左零空间的一组基，本例中R第三行为0向量，所以左零空间的一组基是E的第三行的行向量（-1 0 1），因为利用矩阵的乘法的行方法，单独将E的第三个行向量提出来与A相乘得到R的第三个行向量，表达式：

,正好是

的一个特解。

方法2总结就是R的零行对应的消元矩阵E所在的行向量构成矩阵A左零空间的一组基。总结：

        左零空间的维数是m-r，

的特解构成左零空间的一组基

5. 四个基本子空间总结

        通过上面的矩阵A的4个基本子空间的分析，对于mxn的矩阵A，我们可以做出如下性质美好的总结：

        行空间和零空间在实数空间

中，它们的维数分别是r和n-r.

        列空间和左零空间在实数空间

中，他们的维数分别是r和m-r.

矩阵A的子空间大图

         大图包含了矩阵4个基本子空间的全部信息，大图：

        从大图中可以看到，它还反应了4个基本子空间的一个实际关系，前面并没有挑明，那就是矩阵A的行空间和零空间是垂直的，垂直的意思是行空间中的向量与零空间中的向量·积为0；列空间和左零空间是垂直的。完全理解这幅图，才能真正理解线性方程组Ax=b的背后的实际意义。

        本节课对应《INTRODUCTION TO LINEAR ALGEBRA》3.6章节。

下节课： 矩阵空间、秩1矩阵和小世界图-线性代数课时11（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang）