【線性代數】 抽絲剝繭系列之四個基本子空間

【本文轉載自：線性代數中四個基本子空間 (The Four Fundamental Subspaces)，略有修改】

線性代數中四個基本子空間為：列向量空間 (column space), 行向量空間 (row space), 零空間 (nullspace), 和左零空間 (left nullspace)

對于

m行n列

的矩陣A而言

1.列向量空間($C(A)$)

包含矩陣A所有列的線性組合的空間，即：

由于

矩陣A

每一列含有

m

個元素，是以列向量空間為 $R^m$ 子空間。

1. 行向量空間($C(A^T)$)

包含矩陣A所有行的線性組合，為了友善計算，一般是對A轉置($A^T$)後觀察列向量,即：

由于

轉置矩陣

$A^T$每一列含有

n

個元素，是以行向量空間為$R^n$子空間。

1. 零向量空間(N(A))

   包含所有 $A\vec{x} = 0$ 的解 $\vec{x}$ ，由于 $\vec{x}$ 有$n$個元素，是以零空間為 $R^n$ 子空間。

是以：零空間垂直于行空間。

1. 左零空間(N($A^T$))

包含所有 $A^T\vec{y} = 0$的解 $\vec{y}$ ,由于 $\vec{y}$有$m$個元素，是以左零空間為 $R^m$ 子空間。

1. 彙總圖