【线性代数】 抽丝剥茧系列之四个基本子空间

【本文转载自：线性代数中四个基本子空间 (The Four Fundamental Subspaces)，略有修改】

线性代数中四个基本子空间为：列向量空间 (column space), 行向量空间 (row space), 零空间 (nullspace), 和左零空间 (left nullspace)

对于

m行n列

的矩阵A而言

1.列向量空间($C(A)$)

包含矩阵A所有列的线性组合的空间，即：

由于

矩阵A

每一列含有

m

个元素，因此列向量空间为 $R^m$ 子空间。

1. 行向量空间($C(A^T)$)

包含矩阵A所有行的线性组合，为了方便计算，一般是对A转置($A^T$)后观察列向量,即：

由于

转置矩阵

$A^T$每一列含有

n

个元素，所以行向量空间为$R^n$子空间。

1. 零向量空间(N(A))

   包含所有 $A\vec{x} = 0$ 的解 $\vec{x}$ ，由于 $\vec{x}$ 有$n$个元素，因此零空间为 $R^n$ 子空间。

因此：零空间垂直于行空间。

1. 左零空间(N($A^T$))

包含所有 $A^T\vec{y} = 0$的解 $\vec{y}$ ,由于 $\vec{y}$有$m$个元素，因此左零空间为 $R^m$ 子空间。

1. 汇总图