(0)缘由
这年复习考研，对矩阵有了更深入的理解，但对线性变换与基变换是有点混淆，偶然看了去年写的关于机器人运动学的文章，豁然开朗，遂写这篇文章分享一下所得，也是对上一片文章的拓展，所以读这篇文章前建议先看看前一片文章(还有想理解线代可以看看bilibili上3Blue1Brown的关于线性代数本质的视频，知乎上也有人整理过)。
(1)从两种变换到矩阵左右乘
{ 线 性 变 换 : u 1 ⃗ = A u 0 ⃗ 基 变 换 : u 1 ⃗ = A u 0 ⃗ \begin{cases} 线性变换: \vec{u_1}=A\vec{u_0}\\ 基变换:\vec{u_1}=A\vec{u_0}\end{cases} {线性变换:u1
=Au0
基变换:u1
=Au0
一看名字就知道这两种变换不是同一种东西，但它们的表达式竟然一模一样，让人不禁怀疑两个东西是不是等价的。
拿出这张图：
为了解释直观方便，我们这里的矩阵 A A A是一个2x2的正交方阵(也就是机器人运动学中旋转矩阵常见到的那种)，当然，矩阵 A A A非正交，只要它是一个行列式不为0的方阵，线性变换与基变换都是满足的，至于为什么，参见bilibili线性代数的本质视频。
根据上图很容易得到：( x 1 y 1 ) = ( c o s ( β ) − s i n ( β ) s i n ( β ) c o s ( β ) ) ∗ ( x 0 y 0 ) \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} cos(\beta) & -sin(\beta)\\ sin(\beta) & cos(\beta) \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} (x1y1)=(cos(β)sin(β)−sin(β)cos(β))∗(x0y0)
对应到矩阵的线性变换: u 1 ⃗ = A u 0 ⃗ \vec{u_1}=A\vec{u_0} u1
=Au0
，这个变换的作用就是将向量 u 0 ⃗ \vec{u_0} u0
在坐标系0中旋转了 β \beta β度，因为是一个正交矩阵，矩阵的行列式为1，所以向量前后长度未发生改变。
再看这副图：
同样很容易得到：( x 1 y 1 ) = ( c o s ( β ) − s i n ( β ) s i n ( β ) c o s ( β ) ) ∗ ( x 0 y 0 ) \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} cos(\beta) & -sin(\beta)\\ sin(\beta) & cos(\beta) \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} (x1y1)=(cos(β)sin(β)−sin(β)cos(β))∗(x0y0)
我们发现形式竟然和上面的形式一模一样，但这里表示的意义就不同了，这里的向量并未发生变化，只是我们转动了一下我们的视角，从另外一个坐标系去看这个向量，我们怎么转换我们的视角呢？我们将坐标系旋转了 − β -\beta −β度。所以这里的基变换: u 1 ⃗ = A u 0 ⃗ \vec{u_1}=A\vec{u_0} u1
=Au0
的意思是，我们已知在末端执行器坐标系下的向量为 u 0 ⃗ \vec{u_0} u0
,我们将坐标系旋转了 − β -\beta −β度，这样恰好变回了基坐标系中，在基坐标系下，向量的坐标为 u 1 ⃗ \vec{u_1} u1
。
(2)比较
v 2 = M 2 ∗ M 1 ∗ v 0 v_2=M_2*M_1*v_0 v2=M2∗M1∗v0(固定角)
v 2 = M 1 ∗ M 2 ∗ v 0 v_2=M_1*M_2*v_0 v2=M1∗M2∗v0（欧拉角）
对于固定角，在平面内旋转了两次 a a a与 β \beta β，最后得到 v 2 v_2 v2
对于欧拉角，末端执行器坐标系先旋转 − β -\beta −β度，再旋转 − a -a −a度，最后回到基坐标系,从末端执行器坐标系回到基坐标系，这是从左到右乘的；
若是从基坐标系到末端执行器坐标系：
v 0 = M 2 − 1 M 1 − 1 v 2 v_0=M_2^{-1}M_1^{-1}v_2 v0=M2−1M1−1v2
这又是从右到左乘的了，但它与固定角有实质的区别；可以发现欧拉角的右乘是根据欧拉角变化的逆(从基坐标到末端执行器坐标)的左乘推导而来的(定义的欧拉角是想从末端执行器坐标转换到基坐标)
这里同样可以发现，对于二维旋转 M 2 ∗ M 1 M_2*M_1 M2∗M1与 M 1 ∗ M 2 M_1*M_2 M1∗M2的效果是相同的(实际上二维的 M 2 ∗ M 1 = M 1 ∗ M 2 M_2*M_1=M_1*M_2 M2∗M1=M1∗M2)，但三维的效果就不同了，因为可能旋转轴的方向发生了改变，这时两种变换就不再相同了，但仍然可以通过线性变换与基变换的方式进行理解，因为在固定角中，坐标轴不会变，只是向量的变换；而在欧拉角中，相邻两次的坐标系他们有一个轴的方向不会发生变化，那就是旋转轴的方向。
(3)更直观的类比
好比你坐在火车上，你坐的火车不动旁边的火车向前开(线性变换)，与你做的火车向后开旁边的火车不动(基变换)，你眼前所见到的景象都是一样的，但本质是不同的。