向量空間及相關定義

前置性質 1　若 為齊次線性方程的解，則

證明見 “齊次線性方程組的解向量和基礎解系”。

前置性質 2　若 為齊次線性方程的解， 為實數，則

證明見 “齊次線性方程組的解向量和基礎解系”。

定義 1（向量空間）　設 為 維向量的集合，如果集合 非空，且集合 對于向量的加法及數乘兩種運算封閉，那麼就稱集合 為 向量空間。

所謂 封閉，是指在集合 中可以進行向量的加法及數乘兩種運算。具體地說，就是：若 ，則 ；若 ，則 。

定理 1　

是一個向量空間（稱為齊次線性方程組的 解空間）。

證明　根據前置性質 1 和前置性質 2 可知，因為齊次線性方程組的解集對向量的加法和數乘運算封閉，是以是一個向量空間。得證。

定義 2（子空間）　設有向量空間 及 ，若 ，就稱 是 的 子空間。

例如任何由 維向量所組成的向量空間 ，總有 ，這樣的向量空間總是

定義 3（基、維數）　設 為向量空間，如果 個向量 ，且滿足

• 中任一向量都可由

那麼，向量組 就稱為向量空間 的 一個基， 稱為向量空間 的 維數，并稱 為 。

如果向量空間 沒有基，那麼 的維數為 。 維向量空間隻含一個零向量 。

若把向量空間 看作向量組，則由最大無關組的等價定義可知， 的基就是向量組的最大無關組，