線性代數 | (5) 線性方程組

目錄

1. 齊次線性方程組

2. 基礎解系的求法

3. 非齊次線性方程組

4. 含參數的方程組

1. 齊次線性方程組

• 齊次線性方程組解的性質

• 齊次線性方程組解的性質

• 基礎解系的求法

• 例題

2. 基礎解系的求法

基礎解系就是解空間中的一組基，通解是基礎解系的線性組合。

• 基礎解系的求法

接下來，自由未知量

分别取如下向量：

然後可以分别得到真未知量

的取值：

可以得到解空間的一組基礎解系：

證明：首先可以知道

是線性無關的，根據r維線性無關的向量組，增加n-r個分量，得到的n維向量組仍舊線性無關這一推論，

後n-r個分量線性無關，是以增加r個分量組成的n維向量組也是線性無關的。

從推導過程可以看出:基礎解系不惟一，但所含向量個數相等，都 等于 n - r(A). （n為未知量的個數或者系數矩陣的列數）。

• 定理

若齊次線性方程組的系數矩陣A的秩r(A)=r<n,則它有基礎解系，且基礎解系(解空間中的一組基)所含解向量的個數為n-r.

推論1:

• 例題

3. 非齊次線性方程組

• 非齊次線性方程組

• 非齊次線性方程組的有解判定

并非所有的非齊次線性方程組都有解，有解時，解的情況也不一樣。

• 非齊次線性方程組的解法

• 例題

• 非齊次方程組的求解步驟

• 練習

4. 含參數的方程組

• 例題

當a=0時，系數矩陣的秩為1，基礎解系包含的向量數 n-1；

當

時， 系數矩陣的秩為n-1，基礎解系包含的向量數 1；

注意例2不可以使用行列式求解，因為參數不在系數裡，之前使用的行列式是系數行列式。