線性代數筆記【矩陣與線性方程組】

矩陣的初等變換

方程組初等變換

• 對調兩個方程的位置
• 用一個非零的數乘某個方程的兩邊
• 把一個方程的倍數加到另一個方程上

經過這三種變換，線性方程組的解不變，将這三種變換稱為線性方程組的初等變換，或可以叫作同解變換

矩陣的初等變換

由于矩陣和線性方程組之間存在某種神秘關系，可以定義矩陣的初等變換

• 對調行變換：對調A的第i行和第j行的位置，記作 r i ↔ r j r_i \leftrightarrow r_j ri​↔rj​
• 倍乘行變換：用一個非零數k乘A的第i行，記作 r i × k r_i \times k ri​×k
• 倍加行變換：将A中的第i行的k倍加到第j行，記作 r j + k r i r_j+kr_i rj​+kri​

同理，存在用 c i 、 c j c_i 、c_j ci​、cj​（英語行row，列column，同理轉置的T來源于transpose）表示的對調列變換、倍乘列變換、倍加列變換，這兩類變換分别稱為初等行變換和初等列變換，兩類變換合稱矩陣的初等變換。 r i × 1 2 、 r j + ( − 2 ) r i r_i \times \frac{1}{2}、r_j+(-2)r_i ri​×21​、rj​+(−2)ri​這兩種記号也可寫作 r i ÷ 2 、 r j − r i r_i \div 2、r_j-r_i ri​÷2、rj​−ri​

要特别注意：倍加變換中 r j + k × r i r_j+k \times r_i rj​+k×ri​與 r i + k × r j r_i + k \times r_j ri​+k×rj​含義不同，一個是把ri乘k後加到j行，一個是把rj乘k後加到i行！

矩陣的初等變換可逆

等價

若矩陣A經過有限次初等變換變成B，則稱A與B等價，記作 A → B A \rightarrow B A→B或 A ∼ B A \sim B A∼B

A與B等價也稱A與B相抵

A與B等價，B也與A等價； A → B A \rightarrow B A→B且 B → C B \rightarrow C B→C，則 A → C A \rightarrow C A→C

線性方程組消元法的本質

常用的線性消元法就是有n個未知數、n個方程，将未知數順次排列，使用增廣矩陣表示這些方程，并用行初等變換後可以得到形如 E n [ X ] E_n [X] En​[X]這樣的矩陣，其中X就是各個未知數的解

初等矩陣

由機關矩陣E經過一次初等變換得到的矩陣叫初等矩陣

依據初等變換方式的不同可以将初等矩陣分為對調矩陣Ei,j、倍乘矩陣Ei(k)、倍加矩陣Ei,j(k)，其中倍加矩陣指的是把第j行數乘k後加到第i行所得矩陣

初等矩陣的基本性質

E i , j T = E i , j 、 E i T ( k ) = E i ( k ) E^T_{i,j}=E_{i,j}、E^T_i(k)=E_i(k) Ei,jT​=Ei,j​、EiT​(k)=Ei​(k)：轉置對對調和倍乘不起作用

E i , j T ( k ) = E j , i ( k ) E^T_{i,j}(k)=E_{j,i}(k) Ei,jT​(k)=Ej,i​(k)：轉置會讓倍加調換

以下是三種獲得機關矩陣性質

E i , j E i , j = E E_{i,j}E_{i,j}=E Ei,j​Ei,j​=E

E i ( k ) E i ( k − 1 ) = E E_i(k)E_i(k^{-1})=E Ei​(k)Ei​(k−1)=E

E i , j ( k ) E i , j ( − k ) = E E_{i,j}(k)E_{i,j}(-k)=E Ei,j​(k)Ei,j​(−k)=E

其中 i ≠ j , k ≠ 0 i \neq j,k \neq 0 i​=j,k​=0

初等矩陣+矩陣乘法=初等變換

一個矩陣左乘初等矩陣等同于對這個矩陣作同類型的初等行變換

一個矩陣右乘初等矩陣等同于對這個矩陣作同類型的初等列變換

左乘xxx就是在矩陣左邊乘xxx，右乘xxx就是在矩陣右邊乘xxx

等價标準型

基本定理1

對于任何方陣A，隻用有限次初等變換都能将A化為上三角矩陣

另一表述：

一定存在一個倍加矩陣P使 ∑ P i A 或 ∑ A P i \sum P_i A或\sum AP_i ∑Pi​A或∑APi​為上三角形矩陣

在變換中間可以交叉使用行初等變換或列初等變換

基本定理2

對于任何m x n非零矩陣A，必能用初等變換把它化為形如 F = ( E s O O O ) F=\begin{pmatrix} E_s & O \\ O & O\end{pmatrix} F=(Es​O​OO​)的矩陣，其中Es是一個機關矩陣，也可以是數1（1x1的機關矩陣，元素為1），其中F叫做矩陣A的等價标準型，s是A的秩，它由A唯一确定

秩相關的内容将在以後講解

F包括 F = ( E m O ) F=\begin{pmatrix} E_m & O\end{pmatrix} F=(Em​​O​)、 F = ( E n O ) F=\begin{pmatrix} E_n\\ O\end{pmatrix} F=(En​O​)、 F = E F=E F=E三種特殊情況，分别對應s=m<n、s=n<m、s=m=n

NxN型線性方程組

NxN型齊次線性方程組

齊次線性方程組Ax=0一定有解x=0，把這個解稱為Ax=0的零解；若 u ≠ 0 u\neq0 u​=0也是它的解，則稱u是Ax=0的非零解

而齊次線性方程組的解分為兩種情況：隻有零解或有非零解

NxN型齊次線性方程組Ax=0隻有零解（有非零解）的充要條件是 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\neq0 ∣A∣​=0，也就是A可逆

NxN型非齊次線性方程組

NxN型非齊次線性方程組Ax=b有唯一解的充要條件是 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\neq0 ∣A∣​=0（即A可逆），其解為x=A-1b

克拉默法則：當 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\neq0 ∣A∣​=0時，NxN型非齊次線性方程組Ax=b有唯一解 x i = ∣ B i ∣ ∣ A ∣ , ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) x_i=\frac{|B_i|}{|A|},(i=1,2,\cdots,n) xi​=∣A∣∣Bi​∣​,(i=1,2,⋯,n)，其中Bi是把A的第i列換為b所得的矩陣

解系數矩陣為可逆矩陣的線性方程組的三種方法

1. 初等行變換法

   運算量最小，需要将矩陣變為左邊是機關矩陣，右邊是方程的解的形式

2. 求逆矩陣法

   運算量中等，需要求出A的行列式和伴随矩陣

3. 利用克拉默法則

   運算量最大，需要算出A和b的對應矩陣、行列式