【線性代數】 抽絲剝繭系列之向量空間和子空間

1.向量空間和子空間簡介

Q1:什麼是向量空間？

設W為向量空間 V 的一個非空子集，若W在 V 的加法及标量乘法下是封閉的，就稱W為 V 的線性子空間。

簡而言之，空間 $R^n$ 由擁有 $n$ 個實數元素的

所有列向量

$\vec{v}$ 構成，對于$R^3$空間而言，其子空間包括:

• $\vec{0}$對應的零向量空間

  Z

• 經過原點的平面

  P

• 經過原點的直線

  L

• $R^3$自身

Q2:什麼是子空間？

如果 $\vec{v}$ 和 $\vec{w}$ 是該子空間中的向量， $c$ 是任一标量，那麼一個向量空間的子空間由滿足下列條件的向量集合(包括零向量)構成：

1. $\vec{v} + \vec{w}$屬于這個子空間；
2. $c\vec{v}$ 屬于這個子空間。

2.深入了解

為了更深刻的了解，請看下面這個例子：

在$R^2$空間中，對于直線

f(x) = x+10

，取其中的一個坐标對應的向量如$\vec{a} = (0,10)$，當$\vec{a}\times \vec{0} = \vec{0}$ 的時候得到

(0, 0)

，顯然其已經逃脫了直線

f(x)=x+10

的束縛（不在這條直線上面），是以直線

f(x) = x+10

不能構成一個向量空間。

==注意：能夠通過向量間的

數乘運算

離開空間的都不是真正的向量空間，是以可以通過判斷$\vec{0}$是否在向量空間中來判斷是否為子空間==

對于

矩陣A

$\begin{bmatrix}1&2\3&5\4&7\end{bmatrix}$ ，其對應的兩個列向量是無法構成向量空間的，為什麼？

那怎樣才能構成一個向量空間呢？答案是：通過

加法和乘法

實作

1. 乘法對應：$c_1\begin{bmatrix}1\3\4\end{bmatrix}$和 $c_2\begin{bmatrix}2\5\7\end{bmatrix}(c_1,c_2 為任意常數)$