【线性代数】 抽丝剥茧系列之向量空间和子空间

1.向量空间和子空间简介

Q1:什么是向量空间？

设W为向量空间 V 的一个非空子集，若W在 V 的加法及标量乘法下是封闭的，就称W为 V 的线性子空间。

简而言之，空间 $R^n$ 由拥有 $n$ 个实数元素的

所有列向量

$\vec{v}$ 构成，对于$R^3$空间而言，其子空间包括:

• $\vec{0}$对应的零向量空间

  Z

• 经过原点的平面

  P

• 经过原点的直线

  L

• $R^3$自身

Q2:什么是子空间？

如果 $\vec{v}$ 和 $\vec{w}$ 是该子空间中的向量， $c$ 是任一标量，那么一个向量空间的子空间由满足下列条件的向量集合(包括零向量)构成：

1. $\vec{v} + \vec{w}$属于这个子空间；
2. $c\vec{v}$ 属于这个子空间。

2.深入理解

为了更深刻的理解，请看下面这个例子：

在$R^2$空间中，对于直线

f(x) = x+10

，取其中的一个坐标对应的向量如$\vec{a} = (0,10)$，当$\vec{a}\times \vec{0} = \vec{0}$ 的时候得到

(0, 0)

，显然其已经逃脱了直线

f(x)=x+10

的束缚（不在这条直线上面），所以直线

f(x) = x+10

不能构成一个向量空间。

==注意：能够通过向量间的

数乘运算

离开空间的都不是真正的向量空间，所以可以通过判断$\vec{0}$是否在向量空间中来判断是否为子空间==

对于

矩阵A

$\begin{bmatrix}1&2\3&5\4&7\end{bmatrix}$ ，其对应的两个列向量是无法构成向量空间的，为什么？

那怎样才能构成一个向量空间呢？答案是：通过

加法和乘法

实现

1. 乘法对应：$c_1\begin{bmatrix}1\3\4\end{bmatrix}$和 $c_2\begin{bmatrix}2\5\7\end{bmatrix}(c_1,c_2 为任意常数)$