线性空间的定义与性质

定义 1　设 是一个非空集合， 为实数域。如果在 中定义了一个 加法，即对于任意两个元素 ，总有唯一的一个元素 与之对应，称为 与 的 和，记作 ；在 中又定义了一个数与元素的乘法（简称 数乘），即对于任一数 与任一元素 ，总有唯一的一个元素 ，并且这两种运算满足以下八条运算规律（设 、）：

1. ；
2. ；
3. 在 中存在 零元素 ，对任何 ，都有 ；
4. 对任何 ，都有 的 负元素 ，使 ；
5. ；
6. ；
7. ；
8. 。

那么， 就称为（实数域 上的）向量空间（或 线性空间）， 中的元素无论其本来的性质如何，统称为（实）向量。

简言之，凡满足上述八条规律的加法及数乘运算，就称为 线性运算；凡定义了线性运算的集合，就称为 向量空间，其中的元素就称为向量。

向量空间的概念是集合与运算两者的结合。一般来说，同一个集合，若定义两种不同的线性运算，就构成不同的向量空间；若定义的运算不是线性运算，就不能构成想来那个空间。

向量空间具有如下特征：

性质 1　零向量是唯一的。

证明见 “​​【证明】线性空间的基本性质​​”。

性质 2　任一向量的负向量是唯一的， 的负向量记作 。

证明见 “​​【证明】线性空间的基本性质​​”。

性质 3　。

证明见 “​​【证明】线性空间的基本性质​​”。

性质 4　。

证明见 “​​【证明】线性空间的基本性质​​”。

性质 5　。

证明见 “​​【证明】线性空间的基本性质​​”。

性质 6　如果 ，则 或 。

证明见 “​​【证明】线性空间的基本性质​​”。

有子空间的定义如下：

定义 2　设 是一个线性空间， 是 的一个非空子集，如果 对 中所有定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性空间，则称 为 的 子空间。

因为 是 的一部分， 中的运算对于 而言，定义 1 中的规律 1、2、5、6、7、8 显然是满足的，因此只要 对运算封闭且满足定义 1 中的规律 3 和 4 即可。根据定义 1 的性质可知，若