線性空間的定義與性質

定義 1　設 是一個非空集合， 為實數域。如果在 中定義了一個 加法，即對于任意兩個元素 ，總有唯一的一個元素 與之對應，稱為 與 的 和，記作 ；在 中又定義了一個數與元素的乘法（簡稱 數乘），即對于任一數 與任一進制素 ，總有唯一的一個元素 ，并且這兩種運算滿足以下八條運算規律（設 、）：

1. ；
2. ；
3. 在 中存在 零元素 ，對任何 ，都有 ；
4. 對任何 ，都有 的 負元素 ，使 ；
5. ；
6. ；
7. ；
8. 。

那麼， 就稱為（實數域 上的）向量空間（或 線性空間）， 中的元素無論其本來的性質如何，統稱為（實）向量。

簡言之，凡滿足上述八條規律的加法及數乘運算，就稱為 線性運算；凡定義了線性運算的集合，就稱為 向量空間，其中的元素就稱為向量。

向量空間的概念是集合與運算兩者的結合。一般來說，同一個集合，若定義兩種不同的線性運算，就構成不同的向量空間；若定義的運算不是線性運算，就不能構成想來那個空間。

向量空間具有如下特征：

性質 1　零向量是唯一的。

證明見 “​​【證明】線性空間的基本性質​​”。

性質 2　任一向量的負向量是唯一的， 的負向量記作 。

證明見 “​​【證明】線性空間的基本性質​​”。

性質 3　。

證明見 “​​【證明】線性空間的基本性質​​”。

性質 4　。

證明見 “​​【證明】線性空間的基本性質​​”。

性質 5　。

證明見 “​​【證明】線性空間的基本性質​​”。

性質 6　如果 ，則 或 。

證明見 “​​【證明】線性空間的基本性質​​”。

有子空間的定義如下：

定義 2　設 是一個線性空間， 是 的一個非空子集，如果 對 中所有定義的加法和數乘兩種運算也構成一個線性空間，則稱 為 的 子空間。

因為 是 的一部分， 中的運算對于 而言，定義 1 中的規律 1、2、5、6、7、8 顯然是滿足的，是以隻要 對運算封閉且滿足定義 1 中的規律 3 和 4 即可。根據定義 1 的性質可知，若