题目描述
这是 LeetCode 上的 757. 设置交集大小至少为2 ，难度为 困难。
Tag : 「贪心」
一个整数区间 () 代表着从
a
到
b
的所有连续整数，包括
a
和
b
。
给你一组整数区间
intervals
，请找到一个最小的集合
S
，使得
S
里的元素与区间
intervals
中的每一个整数区间都至少有
输出这个最小集合
S
的大小。
示例 1:
输入: intervals = [[1, 3], [1, 4], [2, 5], [3, 5]]
输出: 3
解释:
考虑集合 S = {2, 3, 4}. S与intervals中的四个区间都有至少2个相交的元素。
且这是S最小的情况，故我们输出3。 示例 2:
输入: intervals = [[1, 2], [2, 3], [2, 4], [4, 5]]
输出: 5
解释:
最小的集合S = {1, 2, 3, 4, 5}. 注意:
-
intervals
-
intervals[i]
-
intervals[i][j]
贪心
不要被样例数据误导了，题目要我们求最小点集的数量，并不规定点集
S
是连续段。
为了方便，我们令
intervals
为
ins
。
当只有一个线段时，我们可以在线段内取任意两点作为
S
成员，而当只有两个线段时，我们可以两个线段重合情况进行决策：
- 当两个线段完全不重合时，为满足题意，我们需要从两个线段中各取两个点，此时这四个点都可以任意取；
- 当两个线段仅有一个点重合，为满足
S
- 当两个线段有两个及以上的点重合，此时在重合点中任选两个即可。
不难发现，当出现重合的所有情况中，必然可以归纳某个线段的边缘点上。即不存在两个线段存在重合点，仅发生在两线段的中间部分：
因此我们可以从边缘点决策进行入手。
具体的，我们可以按照「右端点从小到大，左端点从大到小」的双关键字排序，然后从前往后处理每个区间，处理过程中不断往
S
中添加元素，由于我们已对所有区间排序且从前往后处理，因此我们往
S
中增加元素的过程中必然是单调递增，同时在对新的后续区间考虑是否需要往
S
中添加元素来满足题意时，也是与
S
中的最大/次大值（点集中的边缘元素）做比较，因此我们可以使用两个变量
a
和
b
分别代指当前集合
S
中的次大值和最大值（
a
和
b
初始化为足够小的值 ），而无需将整个
S
存下来。
不失一般性的考虑，当我们处理到
- 若（当前区间的左端点大于当前点集
S
S
- 若（即当前区间与点集
S
b
a
b
- 其余情况，说明当前区间与点集
S
a
b
上述情况是对「右端点从小到大」的必要性说明，而「左端点从大到小」目的是为了方便我们处理边界情况而引入的：若在右端点相同的情况下，如果「左端点从小到大」处理的话，会有重复的边缘点被加入
S
。
上述决策存在直观判断，需要证明不存在比该做法取得的点集
S
更小的合法解：
若存在更小的合法集合方案
A
（最优解），根据我们最前面对两个线段的重合分析知道，由于存在任意选点均能满足覆盖要求的情况，因此最优解
A
的具体方案可能并不唯一。
因此首先我们先在不影响
A
的集合大小的前提下，对具体方案
A
中的非关键点（即那些被选择，但既不是某个具体区间的边缘点，也不是边缘点的相邻点）进行调整（修改为区间边缘点或边缘点的相邻点）。
这样我们能够得到一个唯一的最优解具体方案，该方案既能取到最小点集大小，同时与贪心解
S
的选点有较大重合度。
此时如果贪心解并不是最优解的话，意味着贪心解中存在某些不必要的点（可去掉，同时不会影响覆盖要求）。
然后我们在回顾下，我们什么情况下会往
S
中进行加点，根据上述「不失一般性」的分析：
- 当时，我们会往
S
即此时原本在最优解
A
中不存在，在贪心解
S
中存在的「不必要点」会变成「必要点」。
- 当时，我们会往
S
综上，我们可以经过两步的“调整”，将贪心解变为最优解：第一步调整是在最优解的任意具体方案
A
中发生，通过将所有非边缘点调整为边缘点，来得到一个唯一的最优解具体方案；然后通过反证法证明，贪心解
S
中并不存在所谓的可去掉的「不必要点」，从而证明「贪心解大小必然不会大于最优解的大小」，即 不成立， 恒成立，再结合
A
是最优解的前提（），可得 。
Java 代码：
class Solution {
public int intersectionSizeTwo(int[][] ins) {
Arrays.sort(ins, (a, b)->{
return a[1] != b[1] ? a[1] - b[1] : b[0] - a[0];
});
int a = -1, b = -1, ans = 0;
for (int[] i : ins) {
if (i[0] > b) {
a = i[1] - 1; b = i[1];
ans += 2;
} else if (i[0] > a) {
a = b; b = i[1];
ans++;
}
}
return TypeScript 代码：
function intersectionSizeTwo(ins: number[][]): number {
ins = ins.sort((a, b)=> {
return a[1] != b[1] ? a[1] - b[1] : b[0] - a[0]
});
let a = -1, b = -1, ans = 0
for (const i of ins) {
if (i[0] > b) {
a = i[1] - 1; b = i[1]
ans += 2
} else if (i[0] > a) {
a = b; b = i[1]
ans++
}
}
return - 时间复杂度：
- 空间复杂度：
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第
No.752
篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。