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目錄
第四章 向量組的線性相關性
&5）向量空間
第五章 相似矩陣及二次型
&1）向量的内積、長度及正交性
第四章 向量組的線性相關性
&5）向量空間
定義6:設V為n維向量的集合，如果集合V非空，且集合V對于向量的加法及數乘運算封閉，那麼就稱集合V為向量空間 性質：n元齊次線性方程組的解集 S=|x|Ax=0| 是一個向量空間（稱為齊次線性方程組的解空間）因為由齊次線性方程組的解的性質1和性質2，即知其解集S對向量的線性運算封閉 同理的S=|x|Ax=b|不是向量空間(集合S對于向量的加法及數乘運算不封閉) 定義8:設V為向量空間，如果r個向量a[1],a[2],…,a[r]∈V,且滿足 （i）a[1],a[2],…,a[r]線性無關；（極大無關組） （ii）V中任一向量都可由a[1],a[2],…,a[r]線性表示 那麼，向量組a[1],a[2],…,a[r]就稱為向量空間V的一個基（極大無關組），r稱為向量空間V的維數，并稱V為r維向量空間 定義9:如果在向量空間V中取一個基a[1],a[2],…,a[r]，那麼V中任一向量x可惟一地表示為 x=𝛌[1]a[1]+𝛌[2]a[2]+…+𝛌[r]a[r] 數組𝛌[1],𝛌[2],…,𝛌[r]稱為向量x在基a[1],a[2],…,a[r]的坐标 過渡矩陣： P=A^-1·B B=PA（這裡的P是矩陣A到B的過渡矩陣） 這裡可以用初等變換
第五章 相似矩陣及二次型
&1）向量的内積、長度及正交性
定義1:設有n維向量
[x,y]稱為向量x與y的内積（其實就是向量的點乘） 内積是兩個向量之間的一種運算，其結果是一個實數，用矩陣記号表示，當x與y都是列向量時，有 [x,y]=(x^T)·y 内積具有下列性質（其中x,y,z為n維向量，𝛌為實數）： （i）[x,y]=[y,x]; （ii）[𝛌x,y]=𝛌[x,y]; （iii）[x+y,z]=[x,z]+[y,z] （iv）當x=0時，[x,x]=0;當x!=0時，[x,x]>0 施瓦茨不等式： [x,x]^2<=[x,x]+[y,y] 定義2：令 ||x||=([x,x])^(1/2)=(x[1]^2+x[2]^2+..+x[n]^2) ||x||稱為n維向量x的長度（或範數） 向量長度具有下述性質： （i）非負性 當x!=0，||x||>0;當x=0時，||x||=0; （ii）齊次性 ||𝛌x||=|𝛌|·||x||； 當||x||=1時，稱x為機關向量，若a!=0，取x=a/||a||，則x是一個機關向量，由向量a得到x的過程稱為把向量a機關化 正交向量組：是指一組兩兩正交的非零向量 注：零和任何向量都正交 定理1 若n維向量a[1],a[2],…,a[r]是一組兩兩正交的非零向量，則a[1],a[2],…,a[r]線性無關 定義3:設n維向量e[1],e[2],…,e[r]是向量空間的V(V⊆R^n（n是維數）)的一個基，如果e[1],e[2],…,e[r]兩兩正交，且都是機關向量，則稱e[1],e[2],…,e[r]是V的一個标準正交基，例如
施密特正交化
定義4:如果n階矩陣A滿足 A^T·A=E(即A^-1=A^T) 那麼稱A為正交矩陣，簡稱正交陣 正交矩陣的性質： （I）若A為正交陣，則A^-1=A^T也是正交陣，且|A|=1或（-1）； （ii）若A和B都是正交陣，則AB也是正交陣 定義5：若P為正交矩陣，則線性變換y=Px稱為正交變換，則有 ||y||=(y^T·y)^(1/2)=(x^T·P^T·P·x)^(1/2)=(x^T·x)^(1/2)=||x|| 正交變換的長度保持不變
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