1、求 ∫ e x + 1 e x − 1 d x \int\frac{e^x+1}{\sqrt{e^x-1}}dx ∫ex−1
ex+1dx
分析: 先觀察分子和分母有什麼特點，有哪些相似的地方。我們發現分子分母裡的變量都隻有 e x e^x ex,而且分母的樣式很簡單，就是一個根号形式。 我們對分母的根号形式首先想到 ∫ 1 2 x d x = x \int\frac{1}{2\sqrt{x}}dx=\sqrt{x} ∫2x
1dx=x
這個公式。那我們就往這個方向去湊。
∫ e x + 1 e x − 1 d x = ∫ 1 e x − 1 d ( e x − 1 ) + ∫ 1 e x − 1 d x \int\frac{e^x+1}{\sqrt{e^x-1}}dx=\int\frac{1}{\sqrt{e^x-1}}d(e^x-1)+\int\frac{1}{\sqrt{e^x-1}}dx ∫ex−1
ex+1dx=∫ex−1
1d(ex−1)+∫ex−1
1dx
那問題是 ∫ 1 e x − 1 d x \int\frac{1}{\sqrt{e^x-1}}dx ∫ex−1
1dx怎麼算？ 看到這種分子是1，分母的變量隻有 e x e^x ex的時候，首先想到分子分母同時除以 e x 2 e^{\frac{x}{2}} e2x或 e x e^x ex,但是因為這裡的分母帶有根号，是以同除 e x 2 e^{\frac{x}{2}} e2x，于是 ∫ 1 e x − 1 d x = ∫ e − x 2 1 − ( e − x 2 ) 2 d x = − 2 ∫ 1 1 − ( e − x 2 ) 2 d ( e − x 2 ) = − 2 a r c s i n ( e − x 2 ) \int\frac{1}{\sqrt{e^x-1}}dx=\int\frac{e^{-\frac{x}{2}}}{\sqrt{1-(e^{-\frac{x}{2}}})^2}dx=-2\int\frac{1}{\sqrt{1-(e^{-\frac{x}{2}}})^2}d({e^{-\frac{x}{2}}})=-2arcsin(e^{-\frac{x}{2}}) ∫ex−1
1dx=∫1−(e−2x
)2e−2xdx=−2∫1−(e−2x
)21d(e−2x)=−2arcsin(e−2x)
2、求極限 lim x → 0 s i n ( t a n x ) − x x 3 \lim_{x\rightarrow0}\frac{sin(tanx)-x}{x^3} limx→0x3sin(tanx)−x
解法一：+tanx-tanx
分析：分子很有特點，帶有複合函數sin(tanx)，分子類似于sinx-x的形式，那我們就得想辦法構造這樣的式子。我們可以把分子寫成 sin(tanx)-tanx+tanx-x,這樣一來，原式=
lim x → 0 s i n ( t a n x ) − x x 3 = lim x → 0 s i n ( t a n x ) − t a n x x 3 + lim x → 0 t a n x − x x 3 \lim_{x\rightarrow0}\frac{sin(tanx)-x}{x^3}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{sin(tanx)-tanx}{x^3}+\lim_{x\rightarrow0}\frac{tanx-x}{x^3} limx→0x3sin(tanx)−x=limx→0x3sin(tanx)−tanx+limx→0x3tanx−x
對于 lim x → 0 s i n ( t a n x ) − t a n x x 3 \lim_{x\rightarrow0}\frac{sin(tanx)-tanx}{x^3} limx→0x3sin(tanx)−tanx這部分，我們之間把分母替換成 ( t a n x ) 3 (tanx)^3 (tanx)3,于是 lim x → 0 s i n ( t a n x ) − t a n x x 3 = lim x → 0 s i n ( t a n x ) − t a n x ( t a n x ) 3 \lim_{x\rightarrow0}\frac{sin(tanx)-tanx}{x^3}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{sin(tanx)-tanx}{(tanx)^3} limx→0x3sin(tanx)−tanx=limx→0(tanx)3sin(tanx)−tanx,把tanx看成u,于是很容易就算出這個式子結果= − 1 6 -\frac{1}{6} −61
解法二：泰勒公式
我們知道 t a n x = x + 1 3 x 3 + o ( x 3 ) ; s i n x = x − 1 6 x 3 + o ( x 3 ) tanx=x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3);sinx=x-\frac{1}{6}x^3+o(x^3) tanx=x+31x3+o(x3);sinx=x−61x3+o(x3)
然後我們把題目中的分子 s i n ( t a n x ) − x = t a n x − 1 6 ( t a n x ) 3 = x + 1 3 x 3 + o ( x 3 ) − 1 6 ( x + 1 3 x 3 + o ( x 3 ) ) 3 − x = 1 3 x 3 − 1 6 ( x + 1 3 x 3 + o ( x 3 ) ) 3 sin(tanx)-x=tanx-\frac{1}{6}(tanx)^3=x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)-\frac{1}{6}(x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3))^3-x=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{6}(x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3))^3 sin(tanx)−x=tanx−61(tanx)3=x+31x3+o(x3)−61(x+31x3+o(x3))3−x=31x3−61(x+31x3+o(x3))3 。因為分母最高是3次幂，故而我們把分子展開到3次幂就行。對于 1 6 ( x + 1 3 x 3 + o ( x 3 ) ) 3 \frac{1}{6}(x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3))^3 61(x+31x3+o(x3))3這個式子展開以後的3次幂的項是 1 6 x 3 \frac{1}{6}x^3 61x3 ，是以分子= 1 3 x 3 − 1 6 x 3 = 1 6 x 3 \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{6}x^3=\frac{1}{6}x^3 31x3−61x3=61x3， 于是分子除以分母= 1 6 \frac{1}{6} 61
解法三：洛必達法則
一邊洛必達，一邊把分式中非零常數項消掉